Модели лечения онкологических заболеваний

Модель химиотерапии. Примем, что на делящиеся клетки действует вещество, уничтожающее их со скоростью пропорциональной концентрации делящихся клеток. Тогда модель (2) принимает вид:

(3).

где _ концентрация вещества, уничтожающего делящиеся клетки.

Матрица Якоби этой системы уравнений:

.

Система уравнений (3) имеет следующие стационарные точки.

1., .

Эта стационарная точка будет неустойчивой, поскольку одно из двух собственных значений, будет положительным. Второе собственное значение будет отрицательным, если будет выполняться неравенство. В этом случае в линейном приближении в окрестности этой стационарной точки функция должна возрастать, а функция _ убывать.

2., .

В этой стационарной точке собственные значения и матрицы Якоби будут отрицательными. Соответственно эта стационарная точка будет устойчивой.

3., .

Эта стационарная точка будет устойчивой, поскольку собственные значения матрицы Якоби и будут отрицательными.

4., .

Поскольку физический смысл имеют только неотрицательные стационарные значения и, то рассматривается только случай, когда выполняется неравенство. В этой стационарной точке второе из двух собственных значений:

.

будет отрицательным. Собственное значение при выполнении неравенств будет отрицательным, а при выполнении неравенств _ положительным. То есть в зависимости от значения параметра эта точка может быть как устойчивой, та и неустойчивой.

5., .

Эта стационарная точка имеет физический смысл при выполнении неравенства, которое при малых значениях параметра выполняется. Характеристический полином матрицы Якоби в этой стационарной точке имеет корни противоположных знаков. Поэтому эта стационарная точка будет неустойчивой.

Стационарные точки, (вторая) и, (третья) будут устойчивыми. При малых значениях параметра четвертая стационарная также будет устойчивой. Пятая стационарная точка, если она и имеет физический смысл, будет неустойчивой. Таким образом, между двумя устойчивыми стационарными точками (,) и (,) существует неустойчивая стационарная точка (,).

Поскольку две первые стационарные точки устойчивые при малых значениях, четвертая неустойчивая, то значение, при условии что, следует считать пороговым: если в момент времени поступления будет выполняться неравенство, то решение уравнений (3) будет со временем стремиться в стационарную точку,. В противном случае решение будет стремиться в стационарную точку,. То есть, значение параметра удовлетворяющего в момент времени неравенству, решение будет стремиться в стационарную точку с нулевым число делящихся клеток.

Лечение онкологических больных в Российской Федерации осуществляется различными методами. Основными из них являются: хирургическое, комбинированное, лучевое, лекарственное и химиолучевое [32]. При хирургическом лечении в момент времени удаляются делящиеся клетки, а при остальных методах начиная с момента времени в организм периодически вводятся химические препараты, уничтожающие делящиеся клетки. Поэтому ниже рассматриваются только две модели лечения.

Модель лекарственного лечения. В модели предполагается, что вводимые в функциональное пространство химические препараты, уничтожают делящиеся клетки. Ввод препаратов концентрации происходит по гармоническому закону и начинается в момент времени. Скорость уничтожения делящихся клеток пропорциональна концентрации препаратов и концентрации делящихся клеток. С учетом этих предположений в системе уравнений (3) считается функцией времени:

На рис. 33 для случая, ,, , отражено изменение концентрации делящихся клеток от времени для и. Зависимость при преждевременном окончании введения препаратов (кривая) стремится в стационарную точку (покоящиеся клетки отсутствуют). Если процесс подачи препаратов длится достаточно долго (), то зависимость стремится в стационарную точку (делящиеся клетки погибают).

Рисунок 33. Изменение концентрации делящихся клеток от времени в модели хирургического лечения

Модели хирургического и комбинированного лечения. В хирургическом методе лечения в конкретный момент времени удаляется опухоль или ее часть. Последующее применение химических препаратов переводит лечение в комбинированное. Возможен и вариант комбинированного лечения, когда сначала используются химические препараты, затем применяется хирургический метод с последующим применением химических препаратов. Общая модель таких вариантов лечения можно представить следующей системой уравнений:

при ,.

при ,.

при ,.

В этой системе уравнений _ момент времени проведения одноразового хирургического вмешательства, _ момент времени окончания лечебных процедур, _ часто удаленной опухоли, и _ программы лекарственного лечения.

На рис. 34 отражено изменение функции для двух рассмотренных выше (рис. 33) вариантов «лечения» (и) и варианта комбинированного лечения (): на лекарственное лечение продолжительность до в момент времени накладывается хирургические лечение с удалением половины делящихся клеток.

Рисунок 34. Изменение концентрации делящихся клеток при комбинированном методе лечения