Статистическая обработка данных при сертификации продукции

Задание

Производится исследование точности измерения дальности с помощью радиальности. Зарегистрированы следующие ошибки показаний прибора (в метрах):

дальность радиальность дисперсия гистограмма.

• 1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
• 2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 — б) = 0,85).
• 3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 — 1) .
• 4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности ((1 — б) = 0,90).
• 5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
• 6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 — б) = 0,90).
• 7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
• 8. Используя критерий согласия ч² и критерий Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения при заданном уровне значимости (б = 0,05).

Решение

Располагаем экспериментальные данные в порядке возрастания:

• 1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 90, по формулам:
  • — для математического ожидания MX — выборочное среднее:

— для дисперсии DX — исправленная дисперсия:

— выборочная дисперсия — DX.

• 2. Находим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для доверительной вероятности (1 — б) = 0,85.
• 1) 2Ц (е_б) = 1 — б, Ц (е_б) — функция Лапласа

Ц (е_б) = (1 — б)/2 = 0,85/2=0,425.

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 1,44.

2) а) доверительный интервал для математического ожидания:

Mx1 = 2,0 — 1,44 М.

Mx2 = 2,0 +1,44 М.

б) доверительный интервал для дисперсии:

Dx1 = = 446,10.

Dx2= = 688,96.

3. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 — 1), то есть 1,4? ? 2:

.

m = 4 — число значений, попавшее в данный интервал,.

n = 90 — общее число значений.

• 4. Доверительный интервал для вероятности попадания случайной величины с доверительной вероятностью (1 — б) = 0,90:
• 2Ц (е_б) = 1 — б, Ц (е_б) — функция Лапласа

Ц (е_б) = (1 — б)/2 = 0,90/2=0,45.

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 1,65.

Р1 = =0,020.

Р2 = =0,095.

5. 1) Для построения гистограммы Г (x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0;316) и разбиваем его на 10 равных разрядов.

Значение гистограммы Г (x) находим по формуле :

.

где — число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

— его длина.

величина интервала:

количество разрядов: k =.

величина разряда:

Гистограмма представлена на рисунке 1.

Рисунок 1.

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

.

где — число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

Таблица значений F (x).

Ее график представлен на рисунке 2.

Рисунок 2.

• 6. Построение доверительных областей для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности (1 — б) = 0,90.
• 1) Построение доверительной области для функции распределения F (x):
  • — (1 — б) = 0,90 по таблице Колмогорова = 1,23
  • — максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции:

D =.

— искомая область выражается следующим образом:

F (x).

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

График эмпирической функции распределения F (x) с доверительной областью.

Рисунок 3.

• 2) Построение доверительной области для плотности распределения f (x):
  • — для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х

.

где n_i — число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд Это было определено в 5 пункте.

• — находим доверительную вероятность (1-б₁) для построения доверительной области на каждом разряде:
  • (1-б₁) = 1 — б/r, r = 12 — число разрядов, включая полубесконечные.
  • (1-б₁) = 1 — 0,10/12 = 0,99 б₁ = 0,01
• — находим величину е_б из условия: 2Ц (е_б) = 1 — б₁, Ц (е_б) — функция Лапласа

Ц (е_б) = (1 — б₁)/2 = 0,99/2=0,495.

По таблице для функции Лапласа находим е_б = 2,61.

— для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам:

— для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения:

и (для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области).

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Гистограмма с доверительной областью изображена на рисунке 4.

Рисунок 4.

7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией.

.

.

Определим Fг (Х) для нескольких Х, полученные результаты занесем в таблицу.

Эмпирическая F (X) и гипотетическая F_г(Х) функции распределения.

Рисунок 5.

Для плотности распределения:

Значение f_г(x) при разных значениях Х.

График для плотности распределения представлен на рисунке 6.

Рисунок 6.

• 8. Проверка правдоподобия гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости б = 0,05.
• 1) Для проверки гипотезы с уровнем значимости используем критерий Пирсона. Экспериментальное значение находим по формуле:

.

где — число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды),.

— номер разряда.

— вероятность попадания случайной величины вй разряд при гипотезе ,.

— число экспериментальных точек, попавших вй разряд,.

— общее число экспериментальных точек, n = 90.

— экспериментальная частота попадания случайной величины вй разряд.

Распределение критерия зависит от числа степеней свободы, которое находится по формуле:

.

где — число параметров гипотетического распределения.

Если гипотетическим распределением является нормальное, то .

Таким образом, при и из таблицы находим.

ч_э² ч_б² и, следовательно, гипотеза по критерию согласия является правдоподобной.

2) Для проверки гипотезы с уровнем значимости используем критерий Колмогорова Л.

Если величина D равна максимальной разнице между эмпирической и гипотетической F_г(x) функциями распределения:

D = 0,9872,.

и n — общее число экспериментальных данных, то.

Л_э = 0,9872= 9,365.

При уровне значимости б = 0,05 Л_б = 1,36.

Л_э > Л_б гипотеза не правдоподобна.

Вывод: по критерию Пирсона гипотеза является правдоподобной, а по критерию Колмогорова она не правдоподобна. Но критерий Пирсона более весом, чем критерий Колмогорова, следовательно, гипотеза является правдоподобной, то есть выбранный закон распределения совпадает (по критерию Пирсона) с истинным законом распределения при уровне значимости б = 0,05.