Лекция 5. Определение необходимого объема выборки

План лекции:

• 1 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат для одной выборки.
• 2 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат при сравнении двух выборок
• 3 Формулы приближенной оценки статистических показателей

Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат для одной выборки

При всем разнообразии методов исследовательской работы задача планирования эксперимента сводится к тому, чтобы при возможно минимальных объемах наблюдений получать достаточно полную информацию об изучаемых объектах. Планирование эксперимента основывается на установленной надежности, которая обеспечивается за счет увеличения количества измерений и уменьшения их погрешностей. Представленные в литературе формулы оценки оптимального числа измерений имеют значительные численные расхождения [6, 7, 11]. Очевидно, что данные расхождения объясняются допущениями, вводимыми авторами в ходе вывода конечных формул. Количественная взаимосвязь представленных параметров выражена в предлагаемых формулах.

Оптимальная схема исследования основана на проведении минимального количества измерений при обязательном условии получения достоверного результата. Необходимая численность выборки — n, отвечающая точности получения среднего результата, зависит от величины ошибки выборочной средней и выводится из формулы вычисления средней квадратической ошибки среднего арифметического т формулы (6) [1, 2, 3].

(6а),.

где — среднее квадратическое отклонение, откуда домножив и разделив данное выражение, приведенное в скобках, на среднюю величину — М и критерий Стьюдента — t, произвели замену второго сомножителя на р^-1, и третьего сомножителя на коэффициент вариации — С_v.

Для уровня надёжности Р=0,95 и величины критерия Стьюдента t=2, соответствующего достоверной выборке (n30), значение формулы упрощается:

n=0.16 (12а).

Значения численности выборки, основанной на нормальном законе распределения признаков и имеющей количественную градацию в зависимости от коэффициента вариации при уровне надёжности Р=0,95, представлены в таблице 5.

Таблица 5. Значение минимального объема выборки n в зависимости от коэффициента вариации для количественного анализа при P=0,95

Пример. В случае если величина среднеквадратического отклонения исследуемого нами признака равна пяти (=5), а среднее арифметическое двадцати (М=20), коэффициент вариации для данной выборки составляет двадцать пять процентов (С_v=(5/20)100=25%). Тогда минимальное количество измерений, обеспечивающее достоверный результат с уровнем надежности 0,95, равно сто (n=0.1625² =100). Относительная погрешность измерения соответствует поставленному критерию надежности.

При альтернативной группировке данных, основанных на биномиальном распределении признаков и не имеющих количественных градаций, когда численность выборочных групп выражается в долях единицы, планируемый объем наблюдений определяется следующим образом:

(12б),.

где W-вероятность, величина, определяемая как отношение числа случаев N₀, при которых это событие произошло, к общему числу наблюдений N:

и [3, 7], тогда:

(12в).

Для выборки, основанной на биномиальном законе распределения признаков и не имеющей количественной градации, при уровне надёжности 0.95, оптимальное количество измерений представлено в таблице 6.

Таблица 6. Значение минимального объема выборки n в зависимости от средней вероятности W, для качественного анализа при Р=0.95.

Пример. В случае если вероятность изучаемого нами признака составляет восемьдесят пять процентов (W=85%), то величина среднеквадратического отклонения для данной выборки составит около тридцати шести измеряемых единиц (=35,7). Таким образом, необходимо провести не менее двухсот восьмидесяти пяти измерений, чтобы получить достоверный результат с заданным уровнем надёжности (n=1600(15/85)=285).

Обобщая полученные результаты, можно сделать следующее заключение: для уменьшения ошибки выборочной средней в К раз нужно увеличить объем выборки в К² раз. Если величина количества измерений, обеспечивающего требуемую достоверность значения, настолько велика, что её невозможно реализовать на практике, то в отдельных случаях следует планировать опыт, основываясь на оценке достоверности различия средних значений контроля и эксперимента.