Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных

Требования, предъявляемые к образованию в современном педагогическом вузе, поставили перед методикой преподавания математики новые цели и задачи, одной из которых является вопрос о методике преподавания математического анализа в вузе. Курс «Математический анализ» входит в блок предметной подготовки и занимает среди них важное место в процессе подготовки будущих педагогов-математиков.

Интегральное исчисление функции двух переменных изучается на втором курсе математического факультета педагогического вуза. Двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Впервые двойной интеграл встречается в 1756 году в письме Жозефа Луи Лагранжа Леонарду Эйлеру, причем Лагранж выражает его с помощью объема цилиндрического тела и площади криволинейной поверхности. Первое изложение теории двойных интегралов опубликовал Л. Эйлер в 1770 году. В настоящее время двойной интеграл имеет широкое применение в геометрии для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел и площади поверхности; и в физике для вычисления массы пластинки с переменной поверхностной плотностью, нахождения статических моментов и момента инерции пластинки, а также для вычисления координат центра тяжести пластинки. При переходе к решению таких задач очень важно, чтобы студенты обладали навыками вычисления двойного интеграла путем сведения его к повторному интегралу по прямоугольной и криволинейной областям, а также умели вычислять двойной интеграл путем замены переменных и перехода к полярным координатам. Поэтому необходимо повышать эффективность процесса обучения, используя новые образовательные технологии. В поиске и выборе таких технологий и заключается научная проблема данного исследования.

Объектом исследования является процесс преподавания дисциплины «Математический анализ» в педагогическом вузе. В качестве предмета исследования выступает методика преподавания раздела математического анализа «Двойной интеграл».

Целью работы является исследование вопросов интегрального исчисления функции двух переменных, разработка методических рекомендаций к преподаванию темы «Двойной интеграл» с применением новых образовательных технологий, создание конспекта фондовых лекций и практических занятий, а также обучающе-контролирующей компьютерной программы по данной теме.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1) изучение данного вопроса в научно-методической литературе;

2) выявление направленности учебной мотивации изучения математического анализа у студентов;

3) рассмотрение методического аспекта преподавания темы «Двойной интеграл» с применением новых образовательных технологий;

4) создание компьютерной обучающе-контролирующей программы по теме;

5) создание конспекта фондовых лекций и практических занятий по теме «Двойной интеграл»;

6) апробация предложенной методики проведения лекционных и практических занятий.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1) анализ методической, математической и психолого-педагогической литературы, публикаций в периодической печати;

2) анкетирование;

3) изучение педагогического опыта преподавателей факультета математики и информатики СГПИ.

Практическую значимость работы составляют: методические рекомендации для преподавания раздела математического анализа «Двойной интеграл»; компьютерная обучающе-контролирующая программа; электронный конспект фондовых лекций и практических занятий.

интегральный функция компьютерный программа

1. Психолого-педагогический и методический аспекты преподавания раздела математического анализа «двойной интеграл»

1.1 Высшее образование в перспективе XXI столетия

Мир вступил в этап истории, одной из главных примет которого являются перемены, но эти перемены коренным образом отличаются от тех, что происходили в прошлом.

Приведя к геополитическим и политическим потрясениям последних десятилетий, которые глубоко изменили положение дел на мировой политической арене, перемены вместе с тем приобрели общецивилизационное значение. Им свойственны три особенности: они непрерывны, постоянны; они стремительны и характеризуются тенденцией к ускорению; они касаются всей планеты и практически всех областей и условий деятельности и жизни человека и общества. Меняется все, даже сам характер труда, в котором все большая доля приходится на умственную составляющую; меняется экономическая деятельность, ее техническая база и организационные формы, ее структура, условия и требования, которые она предъявляет к уровню знаний и квалификации своего главного действующего лица — человека в целях обеспечения нормального функционирования экономики, что отныне подразумевает развитие в условиях непрерывных перемен и нововведений. Появляются и получают развитие новые виды и типы деятельности, некоторые из прежних, напротив, приходят в упадок и постепенно исчезают. Эти перемены приводят к изменению спроса на квалификационную структуру различных категорий самодеятельного населения и требуют их социальной и профессиональной мобильности, непрерывного образования и профессионального совершенствования.

Впечатляющее развитие образования во второй половине XX века, которое иногда называют «взрывом образования», и весьма ощутимое повышение среднего уровня образованности населения планеты представляет собой одну из крупнейших перемен общемирового значения. Его воздействие на социальную, экономическую, культурную и политическую жизнь проявились еще далеко не в полной мере. В конечном счете оно, бесспорно, окажется куда сильнее, чем можно предполагать. Именно развитие высшего образования, темпы которого были наиболее высокими, стало одним из решающих факторов процесса образования в целом и необычайного прогресса знаний. И именно это развитие за несколько десятилетий обеспечило невиданный рост потенциала для продвижения вперед и распространения знаний, их практического применения и внедрения технических новшеств.

Этот огромный количественный прорыв в сфере образования, и в частности высшего образования, который произошел в столь сжатые сроки, не сопровождался ни концептуальными, ни качественными переменами сравнимого с ним масштаба, соответствующими новой ситуации, новым требованиям, новым потребностям. В начинающемся веке высшее образование должно учитывать в своей учебной деятельности, в научных исследованиях и разработках результаты воздействия и последствия процессов глобализации и интернационализации жизни общества, развития информационных технологий, стремительного изменения структуры потребностей в области занятости и постоянного увеличения потребностей в высококвалифицированных кадрах. В то же время необходимость обновления и совершенствования общей и профессиональной подготовки и профессиональной переориентации дает о себе знать все настойчивее. Перед высшим образованием стоит задача решительно повернуться к новым требованиям и нуждам и полностью учитывать их в своей деятельности. Учитывать означает не просто и не столько адаптироваться, сколько предвидеть, предвосхищать, влиять, направлять. Высшее образование призвано расширить и более целенаправленно вносить свой вклад в солидарное и устойчивое развитие человечества, неустанно проводя линию на обмен знаниями, на сокращение неравенства на международном уровне и внутри отдельных стран, на борьбу с отчуждением и безработицей, на искоренение бедности, различных форм эксплуатации и дискриминации.

Растущее значение знаний в современном мире, с одной стороны, и рост численности тех, кого готовит высшая школа, с другой, повышают ее ответственность перед обществом и ее влияние изнутри него. Как четко явствует из выводов региональных конференций по высшему образованию, состоявшихся в 1996;1998 годах в Гаване, Дакаре, Токио, Бейруте и Палермо, и из всей подготовительной работы к Всемирной конференции (Париж, октябрь 1998 г.) и ее итогов, чтобы быть на высоте в решении стоящих перед ней задач, высшая школа нуждается в серьезных преобразованиях. А для этого ей нужна помощь всего общества и его более широкая поддержка, в частности, со стороны государства.

В числе противоречий и парадоксов, характерных для нашего времени, те, что касаются высшей школы — не самые малозначимые. Никогда еще подъем образования в целом, и высшего образования в частности, не был так необходим обществу для его нормального функционирования, развития и экономического, общественного, культурного, духовного и политического прогресса, как в настоящее время. Между тем создается впечатление, что общество не решается выделить для образования, и особенно высшего образования, ресурсы, позволяющие им удовлетворительным образом выполнять свои задачи на службе того же самого общества. Если это противоречие не удастся устранить, его отрицательные последствия серьезным образом отразятся в XXI веке на различных областях и различных аспектах жизни общества.

1.2 Проблемы современного педагогического образования

За последние годы в подготовке педагогических кадров произошли существенные изменения.

Сегодня педагогическое образование определяется как «гуманитарное образование, обеспечивающее готовность выпускника к трансляции культуры на основе гуманистически ориентированной профессиональной позиции и профессиональных умений к моделированию и проектированию вариативных способов деятельности». Посмотрим, как реализуется гуманистическая концепция педагогического образования в учебных планах подготовки специалистов.

Учебные планы традиционно регулярно обновлялись каждые пять лет на основе анализа деятельности выпускников педагогических вузов в школе, выявленных недостатков их подготовки и предложений педагогической общественности. Стратегия обновления сводилась к:

— сокращению числа нормативных дисциплин в учебных планах при условии непрерывности изучения дисциплин каждого цикла в течение всех лет обучения;

— дифференциации числа обязательных аудиторных занятий по курсам;

— сокращению числа курсовых и государственных экзаменов, признанию дипломной научно-исследовательской работы по специальности оптимальной формой государственного экзамена;

— уменьшению числа специальных дисциплин, обеспечивающих предметную подготовку будущих учителей, за счет исключения вспомогательных предметов при увеличении объема математических методов исследования с применением новых компьютерных технологий;

— сокращению до трех числа нормативных дисциплин психолого-педагогического блока: психология, педагогика и частные методики;

— переносу определения уровня профессиональной квалификации специалиста на год после сдачи государственных экзаменов и практической работы в школе в качестве преподавателя.

Анализ образовательных стандартов по педагогическим специальностям показывает, что стремление к обеспечению «всесторонней» подготовки учителя привело к резкому возрастанию количества учебных предметов. Результатом стало снижение фундаментальности и уровня профессиональной подготовки будущих учителей, сошла на нет работа по формированию мировоззрения и гражданско-нравственной позиции, потребности служить обществу, воспитывая подрастающие поколения в духе любви к своему Отечеству.

Самое большое недоумение вызывает резкое сокращение (фактически на 1/3 часов) профессиональной (по предметам специальности) подготовки будущих учителей.

Предметом собственно педагогического образования является знание о человеке в процессе его становления. Отсюда часто делаются выводы, что психолого-педагогическая и методическая составляющие — главное, основное в подготовке учителя, что специфика педагогического образования заключается исключительно в овладении способами передачи информации. Но каждый учитель обучает и воспитывает учеников посредством своей дисциплины, через познание истории развития, особенностей и закономерностей, свойственных только этому предмету. Наконец, учитель должен «передать» обучаемому само содержание учебной дисциплины, помочь понять методологию изучаемой науки. Таким образом, фундаментальность предметной составляющей должна быть правилом при подготовке будущего специалиста.

Безусловно, положительный учебный эффект может достигаться и за меньшее количество часов, но это возможно лишь при наличии хороших обучающих технологий.

Трудности реализации целей образования обуславливаются противоречиями между:

непрерывным ростом научно-технической информации и возрастающими требованиями к общекультурной и общетеоретической подготовке выпускников;

постоянным усложнением технического оснащения производства, технологических процессов и ростом требований общества к практической готовности выпускников творчески решать производственные задачи;

тем и другим и невозможностью увеличивать время на формирование профессиональной готовности учащихся к самостоятельному производительному труду.

В связи со сказанным остро встает проблема не только фундаментализации и гуманитаризации, но и технологизации профессиональной подготовки будущих педагогов и всех других участников педагогического процесса.

Чтобы целенаправленно совершенствовать систему образования (педагогическую, в частности), необходимо все ее элементы (цели, содержание, средства, формы и методы педагогического воздействия и коммуникации; качество и уровень подготовки учащихся; профессионализм педагогов) привести в соответствие с новыми требованиями нашего общества и государства как на уровне регионов, так и целостных педагогических коллективов, циклов дисциплин и отдельных предметов.

Для этого необходимо анализировать эффективность деятельности системы образования в целом и отдельных ее подсистем. Имеющиеся исследования свидетельствуют, что активное овладение информацией, умениями применять новые педагогические приемы (системное моделирование, установки на искомый результат и др.) способствует творческому саморазвитию студента, обеспечивая в дальнейшем путь к совершенствованию его педагогической деятельности.

Поскольку будущий педагог призван готовить своих учеников к вхождению в последующую педагогическую систему или в материальное производство, то недопустимо снижение качества его предметной подготовки. Необходимо, чтобы будущий педагог не только совершенствовал свои профессионально-педагогические навыки, но и вел самостоятельный научный поиск в своей предметной области в целях овладения методологией науки, а также навыками саморазвития. Только таким образом возможно повышение образовательного и культурного уровня населения страны и ускорение научно-технического прогресса.

1.3 Особенности развития личности студента

Термин «студент» латинского происхождения, в переводе на русский язык означает «усердно работающий, занимающийся», т. е. овладевающий знаниями.

Если изучать студента как личность, то 18−20 лет — это период наиболее активного развития нравственных и эстетических чувств, становления и стабилизации характера и, что особенно важно, овладения полным комплексом социальных ролей взрослого человека. С этим периодом связано начало «экономической активности», под которой демографы понимают включение человека в самостоятельную производственную деятельность. Преобразование мотиваций, всей системы ценностных ориентаций с одной стороны, интенсивное формирование специальных способностей в связи с профессионализацией — с другой, выделяют этот возраст в качестве центрального периода становления характера и интеллекта.

Факт поступления в вуз укрепляет веру молодого человека в собственные силы и способности, порождает надежду на полнокровную, интересную жизнь. Вместе с тем на втором и третьем курсах нередко возникает вопрос о правильности выбора вуза, специальности, профессии. К концу третьего курса окончательно решается вопрос о профессиональном самоопределении. Довольно часто профессиональный выбор человека определяют случайные факторы. Поэтому чрезвычайно важна профориентационная работа с молодыми людьми, поступающими в высшую школу.

Для определения способностей, необходимых для овладения той или иной профессии, которой обучают в вузе, требуется предварительное описание профессиограмм. В соответствии с требованиями, предъявляемыми профессиограммой к психике человека, выделяются три уровня способностей:

1) абсолютно необходимые;

2) относительно необходимые;

3) желательные.

Использование этих профессиограмм дает положительные результаты.

Студенческий возраст, по утверждению Б. Г. Ананьева, является сенситивным периодом для развития основных социогенных потенций человека. Высшее образование оказывает огромное влияние на психику человека, развитие его личности. За время обучения в вузе, при наличии благоприятных условий у студентов происходит развитие всех уровней психики. Они определяют направленность ума, т. е. формируют склад мышления, который характеризует профессиональную направленность личности. Для успешного обучения в вузе необходим довольно высокий уровень общего интеллектуального развития, в частности восприятия, представлений, памяти, мышления, внимания, эрудированности, широты познавательных интересов, уровня владения определенным кругом логических операций. При некотором снижении этого уровня возможна компенсация за счет повышенной мотивации или работоспособности, усидчивости, тщательности и аккуратности в учебной деятельности.

Молодые люди, претендующие на поступление на естественные факультеты, должны обладать, в первую очередь, высокоразвитым логическим и абстрактным мышлением, способностью произвольно управлять собственными мыслительными процессами, т. е. быстро и активно сосредотачиваться на интересующем объекте, полностью отвлекаясь от всего остального. Последнее возможно лишь при наличии высокой степени концентрации внимания. Строгость и логичность суждений у них должна быть безупречной.

Качества ума, необходимые для овладения естественными профессиями, должны быть хорошо сформированы уже ко времени поступления в вуз.

Студенты естественных специальностей отличаются повышенной серьезностью и независимостью суждений. Однако им присущ низкий уровень социабельности, т. е. недостаточно развитое умение общаться с людьми. Интровертированность личности высоко значимо коррелирует с уровнем успеваемости студентов-математиков. Значит, интровертированность - необходимое условие успешного обучения в вузе, и ее также следует включить в структуру специальных способностей студентов естественных факультетов. Обнаружена еще одна характерная черта личности студентов этих специальностей: самооценочные суждения у них (особенно о своих социальных свойствах) в основном неадекватны. Себя они знают плохо и в этом плане нуждаются в помощи.

Необходимым условием успешной деятельности студента является освоение новых для него особенностей учебы в вузе, устраняющее ощущение внутреннего дискомфорта и блокирующее возможность конфликта со средой. На протяжении начальных курсов складывается студенческий коллектив, формируются навыки и умения рациональной организации умственной деятельности, осознается призвание к выбранной профессии, вырабатывается оптимальный режим труда, досуга и быта, устанавливается система работы по самообразованию и самовоспитанию профессионально значимых качеств личности.

Резкая ломка многолетнего привычного рабочего стереотипа иногда приводит к нервным срывам и стрессовым ситуациям. По этой причине период адаптации, связанный с ломкой прежних стереотипов, может на первых порах обусловить и сравнительно низкую успеваемость, и трудности в общении.

В проведенных исследованиях процесса адаптации первокурсников к вузу обычно выделяются следующие главные трудности: отрицательные переживания, связанные с уходом из школьного коллектива с его взаимной помощью и моральной поддержкой; неопределенность мотивации выбора профессии; недостаточная психологическая подготовка к ней; неумение осуществлять психологическое саморегулирование поведения и деятельности, усугубляемое отсутствием привычки повседневного контроля педагогов; поиск оптимального режима труда и отдыха в новых условиях; налаживание быта и самообслуживания; наконец, отсутствие навыков самостоятельной работы, неумение конспектировать, работать с первоисточниками, словарями, справочниками.

Все эти трудности различны по своему происхождению. Одни из них объективно неизбежны, другие носят субъективный характер и связаны со слабой подготовкой, дефектами воспитания в семье и школе.

Преподаватели вуза должны относиться к студентам с пониманием, так как именно они помогают сделать процесс обучения в вузе мотивированным, влияют на сознание и волю студентов, процесс их социальной и профессиональной адаптации.

Основные характеристики студенческого возраста приведены в таблице приложения 1.

1.4 Логика и интуиция при изучении двойного интеграла в педагогическом вузе

Важное условие обеспечения способности мышления к опосредованному отражению действительности — использование дедукции и умозаключений, на основе которых можно получать новые знания. Отличительной особенностью логического мышления является то, что оно от истинных посылок всегда приводит к истинному заключению, не опираясь при этом на опыт, интуицию и другие внешние факторы.

Но не только и не столько умением использовать строгую логику обусловлена способность мышления открывать новые факты. Подобное сомнение высказывал еще Г. Галилей: «Мне кажется, что логика учит познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых рассуждений и доказательств, но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства — этому я не верю». Вторым важным условием этого процесса выступает способность мышления к интуитивным суждениям. «Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции», — утверждал французский математик А. Пуанкаре. Его мнение разделял русский математик В. А. Стеклов: «Метод открытия и изобретения один и тот же, та же интуиция. Ибо при помощи логики никто ничего не открывает».

Интуиция представляет собой способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью логически строгого доказательства (латинское слово intuitio означает «пристальное всматривание»). Таким образом, интуиция — это своего рода антипод, противовес логике и строгости.

Различают два вида интуиции в научном познании: интуицию-суждение и интуицию-догадку. Первая характеризуется тем, что прямое усмотрение истины, объективной связи вещей осуществляется без логически строгого доказательства, и такого доказательства для данной истины не существует и не может существовать в принципе.

Интуиция-догадка — это прямое внелогическое усмотрение такого факта, который по прошествии определенного времени будет обоснован и доказан строго логическим путем. Способность к интуиции-догадке наиболее ярко проявляется в человеке при его занятиях математикой. Если эта способность оказывается развита в нем сильно, он становится выдающимся математиком.

Высокая степень развитости способности к интуиции-догадке характеризует интуицию открытия. Именно последняя движет вперед многочисленные научные области и, в первую очередь, математику. Менее развитая способность к интуиции-догадке характеризует интуицию узнавания. О ней писал Декарт в своих «Правилах для руководства ума»: «Всякий может интуитивно постичь умом, что он существует, что он мыслит, что треугольник ограничивается только тремя линиями, что шар имеет только одну поверхность, и подобные этим истины, гораздо более многочисленные, чем это замечает большинство людей вследствие того, что не считает достойными внимания такие простые вещи». Интуиция узнавания исключительно важна в процессе обучения математике. Более того, и обучение математике, в свою очередь, способствует развитию интуиции, которое может быть доведено до весьма высокого уровня. Я. Стюарт считает, что «главной целью подготовки математиков следовало бы сделать оттачивание их интуиции до такой степени, чтобы она превратилась в управляемое орудие исследования».

Логика и интуиция, являясь неотъемлемыми и неразделимыми компонентами математического творчества, призваны занять свое место и в математическом образовании. Обучение математике будет развивающим, если оно сумеет обеспечить такое их сочетание в учебном процессе, в котором они присутствуют в научном математическом поиске. К числу формально-логических относят следующие умения: умение определять понятие (через род и видовое отличие), умение классифицировать совокупности объектов (группировать объекты по заданному признаку, выделять признак, общий для данных объектов и т. п.), проводить дедуктивные рассуждения, опровергать общие утверждения с помощью примера, уметь выдерживать полноту дизъюнкций при переборах возможностей, формулировать гипотезы и ставить вопросы, проводить действия по алгоритму, составлять алгоритм деятельности. Среди компонентов интуитивного характера — зрительное угадывание закономерностей как на числовом материале, так и на геометрических чертежах, высказывание гипотез и проведение рассуждений по аналогии и по индукции, построение обобщений и конкретизаций.

В процессе обучения математике вопрос о взаимоотношении логики и интуиции встает особенно остро, когда приходится решать проблему уровня строгости преподавания того или иного ее раздела. Попробуем обсудить некоторые аспекты проблемы логической строгости в изложении математических курсов. Математика зарождается в определениях и развивается в теоремах. Поэтому рассмотрим вопрос о дидактически целесообразном соотношении логики и интуиции в выборе формулировок математических определений и доказательств теорем при изучении раздела математического анализа «Двойной интеграл» в педагогическом вузе.

Практика преподавания курса математики как в школе, так и в вузе показывает, что на окончательное формирование представления о некотором математическом понятии интуитивная деятельность учащихся оказывает не меньшее влияние, чем непосредственное изучение формального определения этого понятия.

Чтобы процесс формирования понятия шел у учащихся наиболее успешно, преподавателю необходимо выработать такое определение этого понятия, в котором дидактически целесообразно соотносились бы интуиция и логика. При этом по мере изучения предмета логическая строгость определений изучаемых понятий может усиливаться.

При изучении функций нескольких переменных в курсе математического анализа, их свойств, дифференцирования и интегрирования, используется метод аналогий с функцией одной переменной. В частности. Интеграл от функции двух переменных является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай плоской области. К моменту введения понятия двойного интеграла у студентов накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия — опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении, на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях. Перед формулировкой определения двойного интеграла рассматривается задача об объеме цилиндрического тела, вводятся понятия интегральной суммы, диаметра плоской области, делаются ссылки на аналогичные понятия для функции одной переменной, что значительно упрощает понимание вводимого определения.

Теперь обратимся к теоремам и их доказательствам. Теоремы составляют существо математической науки, а их доказательства образуют ее живую ткань. Теоремы, лишенные доказательства, безжизненны, мертвы. Поэтому изучать математику путем усвоения теорем без их доказательства бессмысленно. Понять структуру теоремы, метод ее доказательства и само доказательство помогает математическая логика. Доказательство теоремы, проведенное в полном соответствии с требованиями логики, и есть ее логически строгое доказательство.

Нестрогие доказательства должны возникать из строгих путем изъятия из них некоторых частей, которые при необходимости могут быть восстановлены самими учащимися или с помощью преподавателя. Например, не рассмотрены до конца все возможные случаи, при условии, что их рассмотрение происходит аналогично. Или дается лишь общая логическая схема доказательства без углубления в его детали. В самом крайнем случае может быть сообщена лишь общая идея доказательства, полная реализация которой потребует значительных усилий.

Изучение логически строгих математических доказательств составляет ту сторону математики, которая в большей степени развивает, нежели образовывает, воспитывает целеустремленность, волю, настойчивость, развивает культуру и мышление. Кроме того, строгие логические доказательства помогают глубже раскрыть смысл вводимых понятий, овладеть ими и правильно применять на практике, помогают установить логическую структуру всего математического курса и связи между отдельными его частями, что существенно облегчает его запоминание и усвоение по сравнению с лишенным внутренней логики рецептурным методом изложения. Логические доказательства помогают полнее овладеть математическими методами, выработать необходимые для их использования навыки, лучше осознать границы применимости этих методов.

Выдающийся математик и педагог академик А. Д. Александров предостерегал, что при чрезмерно высоком уровне логической строгости преподавания математики многие учащиеся не столько усваивают и понимают логику формулировок и доказательств, сколько заучивают их. Одно из средств преодоления этой опасности, по его мнению, состоит в том, чтобы «уменьшить число формулировок и особенно доказательств, которые ученик должен знать — выучить, запомнить… Если мы хотим учить логическому мышлению, то и надо учить ему, а не заучиванию готовых рассуждений. Поэтому излагаемые формулировки и доказательства должны рассматриваться скорее как упражнения в логическом мышлении, чем как-то, что надо знать».

Одной из основных задач всякого педагога является достижение осмысленного усвоения его учениками излагаемого им материала. Абсолютно логически строгое и пошагово безупречное доказательство теоремы не всегда приводит к пониманию учащимися этого доказательства. Ж. Адамар отмечает, что «всякое математическое рассуждение, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идею».

Таким образом, понимание доказательства теоремы не сводится к пониманию и проверке правильности каждого шага формального доказательства, а достигается пониманием той общей идеи, которая привела именно к этой последовательности шагов. Можно использовать этот факт для проверки понимания и усвоения теоремы. Для прояснения этой идеи невозможно обойтись без нестрогих, интуитивных соображений и образов. Интуитивные аспекты доказательства той или иной конкретной теоремы, а также целой математической теории помогают учащимся лучше понять их строгую логику и исключительно важны для преподавания.

Важную роль строгая доказательность математического курса играет и в формировании научного мировоззрения, в воспитании его основы, которую образует безусловное уважение к установленной истине, требование доказывать то, что выдвигается в качестве истины, не допуская подмены доказательства ни верой, ни ссылкой на авторитет.

Что же касается проблемы логической строгости математических доказательств в процессе преподавания математики будущим учителям в педвузе, то здесь уместно вспомнить слова А. Пуанкаре по этому поводу: «Имеются ученики, не столь многочисленные, которые должны стать учителями. Последние должны дойти до конца: для них прежде всего обязательно глубокое и строгое изучение основных принципов. Но отсюда не следует, что в них не следует культивировать интуиции. Ибо они могут составить себе ложное представление о науке, если всегда будут смотреть на нее с одной только стороны, и они не сумеют развить в своих питомцах того качества, которым сами не обладают».

Думается, что преподавание математических курсов в педвузе будущим учителям математики должно быть преимущественно строго доказательным. Те, кто в недалеком будущем сами будут обучать математике других, должны как можно большую часть своего предмета изучить обстоятельно и с логически строгими доказательствами. При этом материал, входящий в школьный курс, должен быть весь обоснован с полной логической строгостью. Материал математических курсов, выходящий за рамки школьной математики, должен быть профессионально ориентирован на школьный курс, тесно с ним связан, и его преподавание должно вестись на уровне разумной строгости. При этом знание основ логики — необходимый инструмент будущего учителя математики. Он, во-первых, поможет ему ориентироваться в уровне строгости доказательств теорем вузовского курса, научит отличать логически строгие доказательства от нестрогих, эвристических. Во-вторых, он создаст основу для будущей методической работы над школьным курсом математики, когда самостоятельно придется решать вопрос об уровне строгости преподавания этого курса в конкретных условиях учебного процесса.

1.5 Диагностика направленности учебной мотивации студентов 2 курса факультета математики СГПИ

В качестве психолого-педагогической основы изучения двойного интеграла был выбран один из компонентов учебной деятельности - мотивация учения, в частности, познавательные мотивы.

В современном постоянно меняющемся, динамичном мире на первый план выходит не просто обучение учащегося предметным знаниям, умениям, навыкам (некоторые из которых могут оказаться либо устаревшими, либо невостребованными), а личность обучающегося, как будущего активного деятеля, обеспечивающего общественный прогресс, сохранение и развитие жизни на Земле и в космосе. Именно личность и индивидуальность человека с присущими ему характеристиками являются результатом образовательного процесса. При этом воспитание личности заключается прежде всего в развитии системы его потребностей и мотивов. Характер мотивации учения и особенности личности являются, по сути, показателями качества образования.

Фактор мотивации для успешной учебы сильнее, чем фактор интеллекта. Осознание высокой значимости мотива учения для успешной учебы привело к выделению мотивационного принципа мотивационного обеспечения учебного процесса.

Среди разнообразных мотивов учения принято, в частности, выделять внешние и внутренние мотивы. Л. М. Фридман так характеризует их отличие: «Если мотивы, побуждающие данную деятельность, не связаны с ней, то их называют внешними по отношению к этой деятельности; если же мотивы непосредственно связаны с самой деятельностью, то их называют внутренними».

Мотив является внутренним, если он совпадает с целью деятельности. То есть в условиях учебной деятельности овладение содержанием учебного предмета выступает одновременно и мотивом, и целью.

Внутренние мотивы связаны с познавательной потребностью субъекта, удовольствием, получаемым от процесса познания. Овладение учебным материалом служит целью учения, которое в этом случае начинает носить характер учебной деятельности. Учащийся непосредственно включен в процесс познания, и это доставляет ему эмоциональное удовлетворение. Доминирование внутренней мотивации характеризуется проявлением собственной активности учащегося в процессе учебной деятельности.

Внешне мотивированной учебная деятельность становится при условии, что овладение содержанием учебного предмета служит не целью, а средством достижения других целей. Это может быть получение хорошей оценки (аттестата, диплома), стипендии, похвалы, признания товарищей, подчинение требованию учителя и др. При внешней мотивации знание не выступает целью учения, учащийся отчужден от процесса познания. Изучаемые предметы для учащегося не являются внутренне принятыми, внутренне мотивированными, а содержание учебных предметов не становится личностной ценностью.

Преподаватель, заинтересованный в повышении эффективности своей деятельности, естественно, обращает внимание на мотивацию учения и стремится к ее активизации и поддержанию на высоком уровне, но при этом он лишен методического инструментария, позволяющего определить наличный уровень мотивации учащихся и ее динамику при использовании различных форм, методов обучения, подбора содержания предмета.

В связи с этим кандидатом психологических наук Т. Д. Дубовицкой была разработана методика диагностики направленности мотивации изучения предмета, которая может использоваться в образовательном процессе и служить основой повышения эффективности обучения.

Цель методики — выявление направленности и уровня развития внутренней мотивации учебной деятельности учащимися при изучении ими конкретных предметов.

Методика состоит из 20 суждений и предложенных вариантов ответа. Ответы в виде плюсов и минусов записываются либо на специальном бланке, либо на простом листе бумаги напротив порядкового номера суждения. Обработка производится в соответствии с ключом. Методика может использоваться в работе со всеми категориями обучающихся, способными к самоанализу и самоотчету, начиная примерно с 12-летнего возраста. Содержание тест-опросника и ключ для обработки результатов см. в приложении 2.

Предложенная методика может использоваться:

1) для выяснения причин неуспеваемости учащихся;

2) для выявления категорий учащихся в зависимости от направленности мотивации изучения предмета (с доминированием внешней мотивации, доминированием внутренней мотивации и среднего типа);

3) для обеспечения психологического сопровождения учащихся в процессе обучения;

4) для исследования эффективности преподавания учебных дисциплин и поиска резервов его совершенствования;

5) в преподавании курсов педагогической психологии, педагогики и психодидактики в вузах и педагогических колледжах для практического знакомства студентов с различными видами мотивов учебной деятельности и поиска методов и приемов активизации мотивационной сферы учащихся.

Результаты исследования могут рассматриваться:

1) как показатель эффективности (качества) применяемой учителем методики (технологии) обучения (сравнение результатов исследования мотивации в контрольных и экспериментальных классах);

2) как показатель способности учителя активизировать мотивационную сферу учащихся;

3) как основа для повышения эффективности педагогической деятельности и совершенствования педагогического мастерства.

С целью выявления направленности учебной мотивации у студентов 2 курса факультета математики и информатики Славянского-на-Кубани государственного педагогического института было проведено анкетирование по изложенной выше методике.

Результаты анкетирования приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Из приведенных в таблице данных следует, что интерес к математическому анализу стоит среди мотивов, привлекающих студентов в институте.

Исходя из данных таблицы 1, можно утверждать, что наиболее значимыми факторами, под воздействием которых возник интерес к данному предмету, студенты считают его практическое применение в будущем и важное значение в своей предметной подготовке, а также влияние преподавателя.

Данные таблицы показывают, что, прежде всего в изучаемом предмете студентов привлекает то, что все знания по нему являются ценными (76% ответов), на втором месте-то, что этот предмет дает возможность проявить свои способности (67% ответов), на третьем — влияние преподавателя (32% ответов)

Таким образом, из ответов студентов на вопросы анкеты и анализа результатов, можно сделать следующие выводы:

Если учесть то, что возможность получать знания, проявить свои способности как цель изучения математического анализа в основном ставится на первое и второе места, и эта цель лежит в основе подлинно познавательного интереса, то можно утверждать, что познавательный интерес является одним из наиболее сильных мотивов учения.

У студентов интерес к данному предмету часто связан с его полезностью.

3. Многих студентов привлекает в учебном предмете соответствие их интересам.

1.6 Методические рекомендации по проведению лекционных занятий

Тематическое планирование и методические рекомендации по организации лекций

В соответствии с учебной программой на изучение раздела математического анализа «Двойной интеграл» отводится 10 часов. В таблице 2 дано примерное разбиение материала этого раздела на лекции.

Основными учебниками для изучения данной темы в педагогическом вузе являются учебные пособия Фихтенгольца Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Бохана К. А. «Курс математического анализа» и Кудрявцева Л. Д. «Курс математического анализа». В них наиболее доступно и полно изложен лекционный материал, который должны знать студенты, а также содержатся задания с решением.

Фундаментальный учебник «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца, в трех томах, предназначен для студентов вузов, где математика является профилирующим предметом. Материал по двойным интегралам изложен в томе III. Материал изложен доступным математическим языком, так как данный труд является результатом долгих лет педагогической и лекторской деятельности Г. М. Фихтенгольца. Как правило, математические выкладки снабжены многочисленными примерами и задачами, для которых приведены решения. Определение двойного интеграла, многие понятия и теоремы даются с опорой на аналогию с интегральным исчислением функции одного переменного.

В учебнике Бохана К. А. двойной интеграл вводится с геометрической точки зрения, все свойства и теоремы имеют наглядное геометрическое истолкование, что значительно облегчает понимание задач на применение двойного интеграла в геометрии и физике. Учебник содержит много примеров, которые значительно облегчают усвоение теоретической части.

Учебник Кудрявцева Л. Д. «Курс математического анализа» сложнее, материал изложен на высоком уровне абстракции, при изучении двойного интеграла, а особенно при рассмотрении замены переменных в двойном интеграле, используются средства высшей алгебры.

Был также проанализирован учебник «Курс математического анализа» под ред. Н. Я. Виленкина, предназначенный для студентов заочного отделения математического факультета. Поскольку пособие рассчитано на самостоятельное изучение математического анализа, то материал в нем изложен на самом доступном для понимания уровне, что может значительно облегчить самостоятельную работу студентов.

При подготовке конспекта фондовых лекций использовались также учебные пособия: Зорич В. А. «Математический анализ», Коровкин П. П. «Математический анализ», Никольский С. М. «Курс математического анализа», Райков Д. А. «Многомерный математический анализ».

Помимо этих материалов для более полного приобретения и усвоения знаний можно пользоваться другими источниками, указанными в предложенном списке литературы.

Таблица 2

В качестве основных требований к чтению лекции выдвигают:

— высокий, научный уровень излагаемой информации, имеющий, как правило, мировоззренческое значение;

— большой объем четко и плотно систематизированной и методически переработанной современной научной информации;

— доказательность и аргументированность высказанных суждений;

— достаточное количество приводимых убедительных фактов, примеров, текстов и документов;

— ясность изложения мыслей и активизация мышления слушателей, постановка вопросов для самостоятельной работы по обсуждаемым проблемам;

— анализ разных точек зрения на решение поставленных проблем;

— выведение главных мыслей и положений, формулировка выводов;

— разъяснение вводимых терминов и названий; предоставление студентам возможности слушать, осмысливать и кратко записывать информацию;

— умение устанавливать педагогический контакт с аудиторией, использование дидактических материалов и технических средств;

— применение основных материалов текста, конспекта, блок — схем, чертежей, таблиц, графиков.

Лекция должна быть органически связана с другими видами учебных занятий: семинарами, лабораторными работами, учебной и производственной практикой, самостоятельной работой студентов".

«Учебная лекция должна отражать актуальные проблемы современного производства, науки, культуры и перспективы их развития. Необходимо соблюдать логическую последовательность в изучении тем и разделов, обеспечить эффективную взаимосвязь с другими видами учебных занятий и особенно с самостоятельной работой студентов.

Лекционный курс, составляющий 6 часов, позволяет изложить материал, входящий в содержание курса, и создает теоретическую основу для всех видов учебной деятельности по математическому анализу. При чтении лекций рекомендуется использовать новейшие информационные технологии (подробный обзорный материал о подготовке и проведении таких лекций изложен в следующих разделах). Можно указать следующие методические рекомендации к использованию информационных технологий в процессе изучения раздела математического анализа «Двойной интеграл»:

1) В соответствии с учебной программой можно организовать изучение отдельных вопросов на практических занятиях в компьютерных классах:

а) изучение теоретических вопросов;

б) изучение практического содержания темы;

в) комплексное изучение предлагаемых тем.

2) Можно проводить контрольные мероприятия по отдельным разделам темы. Проводится контроль:

а) усвоения теоретического содержания темы;

б) уровня сформированности умений и навыков по решению базовых задач, включенных в обязательные результаты обучения.

3) На первом занятии преподавателем даются указания к работе с обучающими программами. После чего студентам предлагается самостоятельно изучить темы во внеаудиторное время. Контрольные мероприятия преподаватель может проводить либо с использованием тестовых систем, либо с использованием других форм (устные и письменные опросы, фронтальные проверки).

Для контроля усвоения студентами части лекционного материала рекомендуется провести коллоквиум.

Резкое сокращение аудиторного времени на изучение курса «Математический анализ» ставит задачу усиления самостоятельной работы студентов по проработке важнейших разделов курса. На лекции преподаватель может успеть лишь в тезисной форме изложить основные вопросы курса. Все остальное изучение материала ложится на плечи студентов в виде их самостоятельной работы.

В процессе изучения раздела «Двойной интеграл» предусматриваются следующие виды самостоятельной работы студентов над изучаемым материалом:

— проработка и осмысление лекционного материала;

— работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу;

— самостоятельная проработка тем и вопросов, предусмотренных программой, но нераскрытых полностью на лекции (доказательство свойств сумм Дарбу, теоремы о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции двух переменных);

— подготовка к коллоквиумам по учебникам, учебным пособиям и лекционному материалу.

Планирование самостоятельной работы студентов необходимо проводить в соответствии с уровнем подготовки студентов к изучаемому курсу. Студент может получить разъяснения по непонятным вопросам у преподавателя на индивидуальных консультациях в соответствии с графиком консультаций.

Студент может также обратиться к рекомендуемым преподавателем учебникам и учебным пособиям, в которых теоретические вопросы изложены более широко и подробно, чем на лекциях и с достаточным обоснованием.

Средством итогового контроля по теме «Двойной интеграл» является экзамен на втором курсе в 4 семестре.

Использование информационных технологий в образовании

Современное общество начала третьего тысячелетия характеризуется рядом особенностей, к которым прежде всего следует отнести возросшую значимость интеллектуального труда, ориентированного на использование информационного ресурса глобального масштаба; усилившуюся миграцию населения, обусловленную как политическими, так и социокультурными причинами; потребность в осуществлении оперативной коммуникации между отдельными личностями, группами или сообществами людей; стремление к взаимному приятию и уважению культур разных народов; необходимость решения глобальных экологических проблем совместными усилиями специалистов различных стран или общественных организаций. Эти особенности современного социума влекут за собой необходимость постоянного повышения профессионального уровня как отдельного человека, так и групп специалистов или целых коллективов в области владения информационными и коммуникационными технологиями.