Первый закон термодинамики

1. Первый закон термодинамики:

.

где дQ — элементарное количество теплоты, сообщенное термодинамической системе;

dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии термодинамической системы;

дA — элементарная работа, совершенная термодинамической системой.

2. Количество теплоты, полученное или отданное системой в процессе,.

.

где T₁ и T₂ — температуры начального и конечного состояния газа;

v — количество молей газа; - молярная теплоемкость газа в процессе.

3. Внутренняя энергия идеального газа.

.

Изменение внутренней энергии идеального газа в процессе:

.

4. Элементарная работа газа (работа газа при равновесном, бесконечно малом изменении объема).

.

Работа газа в процессе.

.

где V₁ и V₂ — объемы начального и конечного состояния газа.

5. Теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и постоянном давлении:

.

6. Соотношение Майера:

.

7. Уравнение адиабатного (происходящего без теплообмена) процесса:

.

где — коэффициент Пуассона.

8. Уравнение политропного (происходящего при постоянной теплоемкости) процесса:

.

где n — показатель политропы.

Примеры решения задач.

Задача 1. Газообразный водород, находившийся при нормальных физических условиях в закрытом сосуде объемом 5,0 л, охладили на 55 К. Определить приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.

Дано: Решение:

р_о= 10⁵ Па Первый закон термодинамики:

Т_о= 273 К. (1).

V_o= 5,0?10^-3 м³ Для изохорного процесса работа газа.

?Т = - 55 К. (2).

Q, ?E — ?

Изменение внутренней энергии идеального газа.

. (3).

Уравнение состояния идеального газа:

. (4).

Решая систему уравнений (1) — (4), получаем.

.

Для молекулярного водорода число степеней свободы молекулы i=5.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задача 2. Три моля идеального газа при температуре 300 К изотермически расширили в 4 раза, а затем изохорно нагрели так, что его давление стало равно первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество теплоты 67 кДж. Определить коэффициент Пуассона для этого газа.

Дано: Решение:

Т₁= 300 К В процессе изотермического расширения.

газа из состояния в состояние.

Q= 6,7?10⁴ Дж к газу подводится теплота.

.

В процессе изохорного нагрева к газу подводится количество теплоты Для нахождения T₃ воспользуемся уравнениями изохорного и изотермического процессов:

.

Для T₃ получим.

.

Коэффициент Пуассона связан с числом степеней свободы молекулы газа соотношением.

.

Из этого выражения следует, что .

Для окончательно получаем.

.

При переходе газа из состояния I в состояние III затрачивается количество теплоты.

. (1).

Из (1) выразим коэффициент Пуассона.

.

Убедимся, что соотношение является безразмерной величиной:

.

Вычисления:

.

Ответ: 1,4.

Задача 3. Объем одного моля идеального газа с коэффициентом Пуассона г = 5/3 изменяют по закону VT = a, где, а — положительная константа. Определить количество теплоты, полученное газом в этом процессе, если его температура возросла на 60 К.

Дано: Решение:

Первый закон термодинамики:

н = 1 моль.

. (1).

?Т = 60 К Бесконечно малое изменение внутренней энергии.

. (2).

Элементарная работа.

. (3).

Перепишем первый закон термодинамики, выразив изменения термодинамических функций через изменения термодинамических параметров, т. е. подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1):

. (4).

Выразим уравнение процесса в параметрах P и V. Для этого воспользуемся уравнением состояния газа и уравнением процесса, данным в условии задачи:

.

Исключая температуру, получим.

. (5).

Выразим число степеней свободы через коэффициент Пуассона:

. (6).

Подставляя уравнения (5) и (6) в уравнение (4) приходим к выражению.

. (7).

Интегрируя (7), получаем.

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 0,25 кДж.

Задача 4. Определить молярную теплоемкость идеального газа в политропном процессе, если n = 3, а коэффициент Пуассона этого газа г = 5/3.

Дано: Решение:

n = 3 Первый закон термодинамики:

г = 5/3.

. (1).

Выразив изменения термодинамических функций через изменения термодинамических параметров,.

, ,.

и подставив их в уравнение (1), получаем.

. (2).

Выразив давление из уравнения процесса, данного в условии, и подставив в уравнение (2), получаем.

. (3).

Определим производную. Для этого воспользуемся уравнениями политропического процесса и состояния идеального газа и выразим уравнение процесса в параметрах V и T:

. (4).

Дифференцируя (4), получаем и подставляем в (3):

.

Проверка размерности:

.

Предельные случаи:

• 1) при n = 0 получаем р = const, т. е. теплоемкость дли изобарного процесса C_мn = C_мp;
• 2) при n = г получаем S = const, т. е. теплоемкость адиабатного процесса C_мn = 0.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

• 3.1. Для газообразного ацетона (СН3СОСНз) определить коэффициент Пуассона.
• 3.2. Определить удельную теплоемкость при постоянном давлении двухатомного газа, если его плотность при нормальных условиях равна 1,43· 10−3 г/см3.
• 3.3. Определить удельную теплоемкость при постоянном объеме смеси 2 молей азота и 5 молей гелия.
• 3.4. Молярная масса газа равна 18 г/моль. Коэффициент Пуассона равен 1,33. Определить удельную теплоемкость при постоянном давлении этого газа.
• 3.5. Какой из указанных газов при комнатной температуре имеет наибольшую удельную теплоемкость при постоянном объеме: 1) О2; 2) H2; 3) Не; 4) Ne; 5) I2?
• 3.6. Определить молярную теплоемкость при постоянном давлении смеси 0,5 молей паров воды и 0,2 моля азота.
• 3.7. Приняв массу атома гелия, равной 6,6· 10−27 кг, определить удельную теплоемкость гелия при постоянном объеме.
• 3.8. Удельная теплоемкость влажного воздуха при постоянном объеме равна 1,2· 10³ Дж/(кг· К). Определить относительную влажность воздуха. Молярная масса сухого воздуха 29 г/моль. Температура 300 К.
• 3.9. Определить коэффициент Пуассона газовой смеси, состоящей из 3,0 молей гелия и 2,0 молей водорода.
• 3.10. Молярная масса газа равна 32 г/моль, коэффициент Пуассона — 1,4. Определить удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении.
• 3.11. Плотность газа равна 1,76· 10−3 г/см3 при нормальных условиях. Определить удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении.
• 3.12. Определить удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении для углекислого газа.
• 3.13. Определить коэффициент Пуассона для смеси, состоящей из 2,0 молей кислорода и 3,0 молей углекислого газа.
• 3.14. Определить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении для смеси, состоящей из 7 г азота и 20 г аргона.
• 3.15. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении равна 970 Дж/(кг· К), а молярная масса равна 30 г/моль. Определить число степеней свободы молекулы этого газа.
• 3.16. Разность между удельной теплоемкостью при постоянном давлении и удельной теплоемкостью при постоянном объеме некоторого газа равна 260 Дж/(кг· К). Определить молярную массу газа.
• 3.17. Для газа коэффициент Пуассона равен 1,4, а плотность при нормальных условиях — 1,25 кг/м3. Определить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении этого газа.
• 3.18. Отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме смеси, состоящей из азота и 5 молей аммиака, равно 1,35. Определить число молей азота в смеси.
• 3.19. Определить удельную теплоемкость при постоянном давлении смеси, состоящей из 1 моля азота, 4 молей метана и 8 г аргона.
• 3.20. Воздух содержит 25% (по массе) водяного пара. Определить удельную теплоемкость при постоянном объеме влажного воздуха. Для сухого воздуха молярную массу принять равной 29 г/моль.
• 3.21. Определить удельную теплоемкость при постоянном объеме и удельную теплоемкость при постоянном давлении воздуха, считая, что в его состав входит 76% азота, 23% кислорода, 1% аргона.
• 3.22. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа на 25 К при постоянном давлении, равно 500 Дж. Количество теплоты, выделяемое этим газом при охлаждении на 75 К при постоянном объеме, равно 1,07 кДж. Определить коэффициент Пуассона.
• 3.23. При изотермическом сжатии 14 г азота, взятого при 20 °C, была совершена работа 2 200 Дж. Во сколько раз возросло давление газа?
• 3.24. В закрытом сосуде находится 14 г азота при давлении 10⁵ Па и температуре 27 °C. После нагревания давление повысилось до 5· 10⁵ Па. Какое количество теплоты сообщено газу? Определить приращение внутренней энергии.
• 3.25. Из баллона, содержащего водород под давлением 10⁶ Па и при температуре 18 °C, выпустили половину находящегося в нем газа. Считая процесс адиабатным, определить конечную температуру и давление газа в баллоне.
• 3.26. При изобарном расширении водород совершил работу 4 000 Дж. Какое количество теплоты подведено к газу? Определить приращение его внутренней энергии.
• 3.27. В адиабатном процессе внутренняя энергия кислорода уменьшилась на 2 000 Дж, а его объем увеличился в 10 раз. Начальная температура газа 47 °C. Определить работу, совершенную газом, и массу газа.
• 3.28. Углекислый газ массой 3,2 кг находится в термостате при температуре 17 °C. Объем газа изотермически уменьшают в 3 раза. Какую работу совершил газ? Как изменилась внутренняя энергия газа? Какое количество теплоты выделилось?
• 3.29. При изобарном расширении 2 кг кислорода совершена работа 98 Дж. Начальная температура 0 °C. Определить приращение внутренней энергии газа. Какое количество теплоты получил газ? До какой температуры нагрели газ?
• 3.30. Какое количество теплоты надо сообщить кислороду, находящемуся в сосуде объемом 30 л при температуре 27 °C и давлении 400 мм рт. ст., чтобы нагреть газ на 120 °C? Определить приращение внутренней энергии газа и совершенную газом работу.
• 3.31. Водяной пар при изобарном расширении совершил работу, равную 2 100 Дж. Какое количество теплоты подвели к пару? Определить изменение внутренней энергии пара.
• 3.32. Находившийся при нормальных условиях азот, расширился адиабатно. Его конечный объем увеличился по отношению к первоначальному в 7 раз. Количество вещества азота равно 1 моль. Определить работу газа.
• 3.33. При адиабатном сжатии 10 г водорода температура повысилась на 100 °C. Определить работу газа, совершенную при сжатии.
• 3.34. Водород под давлением 105 Па занимает объем 5 л. Газ адиабатно сжали до объема 1 л. Определить работу газа, совершенную в этом процессе.
• 3.35. Водород массой 4 г нагрет при постоянном давлении на 50 °C. Определить количество теплоты, переданное газу, приращение его внутренней энергии и работу, совершенную газом.
• 3.36. При изобарном расширении двухатомный газ совершил работу 2· 106 Дж. Какое количество теплоты подвели к газу?
• 3.37. Кислород массой 4 г находится в термостате при нормальных условиях. При изотермическом расширении объем газа увеличился до 12 л. Определить работу, совершенную газом, и количество теплоты, сообщенное газу.
• 3.38. При изобарном расширении внутренняя энергия трехатомного газа увеличилась на 1 кДж. Какую работу совершил газ? Какое количество теплоты сообщили газу?
• 3.39. Трехатомный газ находится в начальном состоянии при температуре 27 °C. Количество вещества газа 1 кмоль. Далее газ охлаждается изохорно, при этом давление газа уменьшается в 3 раза. Затем газ расширяется изобарно так, что в конечном состоянии его температура равна первоначальной. Изобразить процессы на диаграмме рV. Определить количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе.
• 3.40. Двухатомный газ расширяется изобарно. Какая часть теплоты расходуется на увеличение его внутренней энергии, а какая на совершенную им работу?
• 3.41. Баллон, содержащий 20 г водорода и 1 г гелия, нагрели на 50 °C. Определить приращение внутренней энергии смеси и сообщенное количество теплоты.
• 3.42. Газ, расширяясь, переходит из одного и того же состояния с объемом V₁ в состояние с объемом V₂: а) изобарно; б) адиабатно; в) изотермически. Изобразить процессы на диаграмме рV. В каких процессах газ совершает наименьшую, а в каких наибольшую работу?
• 3.43. Один моль идеального газа находился при нормальных условиях. При изотермическом расширении газу подвели 2,27 кДж теплоты. Какую работу совершит этот газ, расширяясь изобарно до того же объема, что и в первом случае?
• 3.44. Моль идеального газа изотермически сжимают до объема в 2,7 раза меньше начального и отводят от газа 2,24 кДж количества теплоты. Какую работу необходимо совершить, чтобы изобарно вернуть газ в состояние с объемом, равным начальному? Изобразить процессы на диаграмме рV.
• 3.45. Идеальный газ, расширяясь один раз изобарно, другой раз изотермически из одного и того же состояния, увеличивает объем в 5 раз. Изобразить процессы на диаграмме рV. Определить отношение работы газа при изобарном расширении к работе газа при изотермическом расширении.
• 3.46. Кислород, расширяясь один раз изотермически, другой раз адиабатно из одного и того же состояния, увеличивает объем в 4 раза. Изобразить процессы на диаграмме рV. Определить отношение работы газа при изотермическом расширении к работе газа при адиабатном расширении.
• 3.47. Один моль идеального газа, находящегося при температуре 300 К, изотермически увеличивает объем в 2 раза, затем газ изохорно увеличивает давление до значения, равного начальному. За весь процесс газу сообщают количество теплоты, равное 7,96 кДж. Изобразить процессы на диаграмме рV. Определить коэффициент Пуассона этого газа.
• 3.48. Определить молярную теплоемкость идеального газа в процессе, при котором температура газа пропорциональна квадрату его объема.
• 3.49. Определить молярную теплоемкость идеального газа в процессе, при котором температура газа обратно пропорциональна его объему.
• 3.50. Объем 3 молей гелия изменяется по закону V=бT4, где б>0. Определить количество теплоты, полученное газом в этом процессе, если его температура увеличилась на 40 К.
• 3.51. Работа идеального газа пропорциональна приращению его внутренней энергии. Определить уравнение данного процесса (выразить давление, как функцию объема.
• 3.52. Определить молярную и удельную теплоемкости кислорода в процессе pV2=const.
• 3.53. В политропном процессе pV2 =const азоту сообщили количество теплоты, равное 3,0 кДж. Какую работу совершил газ?
• 3.54. В политропном процессе pV1,2 =const кислород расширяется. При этом он отдает количество теплоты 5,0 кДж. Определить работу, совершаемую газом.
• 3.55. В политропном процессе pV2 =const два моля кислорода нагревают на 40 К. Определить количество теплоты, сообщенное газу.
• 3.56. Определить молярную и удельную теплоемкости азота в процессе TV0,2=const.
• 3.57. Два моля азота совершают политропный процесс, подчиняющийся уравнению TV0,2=const. Температура газа увеличивается на 30 К. Определить количество теплоты, отведенное от газа.
• 3.58. Один моль гелия совершает процесс, в котором температура меняется по закону T=To+бV, где Т₀=200 К, б=10⁴ К/м³. Определить количество теплоты, сообщенное газу при расширении от объема 10 л до объема 20 л.
• 3.59. Один моль кислорода совершает процесс, в котором давление изменяется по закону p=p_o+бV, где р_о=0,1 МПа, б=10 кПа/м³. Определить количество теплоты, сообщенное газу при расширении от объема 10 л до объема 20 л.
• 3.60. Один моль неона совершает политропный процесс с показателем политропы n=1,5. Температура газа понижается на 26 К. Определить: а) количество теплоты, полученное газом; б) работу, совершенную газом; в) изменение внутренней энергии газа.
• 3.61. Идеальный двухатомный газ расширяется так, что давление в процессе изменяется по закону p=бV, где б=10⁷ Па/м³. Объем газа в начальном состоянии 1 л, в конечном 3 л. Определить: а) изменение внутренней энергии газа; б) работу, совершенную газом; в) молярную теплоемкость газа.
• 3.62. Идеальный газ совершает процессы: а) pVг=const; б) pV=const; в) pV2=const. В каком из этих процессов внутренняя энергия газа увеличивается при увеличении объема газа?
• 3.63. 3Идеальный газ совершает процессы: а) pV2=const; б) pV=const; в) pV½=const. В каком из этих процессов газ совершает максимальную работу при равном приращении объема?
• 3.64. Воздух, поднимаясь в атмосфере, расширяется. Определить зависимость температуры воздуха от высоты. Считать воздух идеальным газом. На сколько уменьшится его температура при подъеме на высоту 1 км?