Многомассовые механические системы

Механическая часть электропривода в общем случае содержит элементы конечной жесткости. Обращаясь к кинематической схеме подъемной лебедки в качестве таких элементов можно назвать канат К и валы, соединяющие двигатель с редуктором и редуктор с барабаном.

При наличии упругих элементов в результате выполнения операции приведения в ряде случаев не удается получить одномассовую расчетную, и в зависимости от числа упругих элементов получаются многомассовые механические системы двухмассовая, трехмассовая и т. д.

При рассмотрении движения таких систем вводится понятие коэффициента жесткости с упругого элемента. Он представляет собой коэффициент пропорциональности между линейной, или угловой деформациями и возникающими в упругом элементе силой F_у или моментом М_у

(1.13).

(1.14).

Коэффициенты жесткости с₁ и с₂ определяются геометрическими размерами упругого элемента и зависят от материала, из которого он изготовлен. Для упругого стержня при его растяжении или сжатии коэффициент жесткости, Н/м, определяется как.

(1.15).

где L —- длина стержня, м; S—площадь поперечного сечения, м²; Е — модуль упругости, Па.

Для вала радиусом R при его кручении коэффициент жесткости, Нм,.

(1.16).

где J_s = R⁴/2 — момент инерции поперечного сечения вала, м⁴; G—модуль упругости кручения, Па; L—длина вала, м.

Чем больше коэффициент жесткости упругого элемента, тем меньшая деформация в нем возникает. Величина, обратная коэффициенту жесткости, носит название податливости.

При составлении расчетных схем механической части осуществляется приведение к валу двигателя коэффициента жесткости упругого элемента по следующим формулам, которые здесь даются без вывода:

для упругого вала при кручении.

(1.17).

для упругого поступательно движущегося элемента при растяжении и сжатии.

(1.18).

где i, соответственно передаточное число и радиус приведения кинематической схемы между валом двигателя и упругим элементом.

При параллельном соединении упругих элементов с коэффициентами жесткости c₁, c₂, c₃ … эквивалентная жесткость определяется по формуле.

(1.19).

а при последовательном.

(1.20).

Двухмассовая расчетная механическая система получается, если учитывается один упругий элемент в реальной кинематической схеме. Двухмассовая система может быть также получена и при наличии нескольких упругих элементов в кинематической схеме при ее эквивалентировании с помощью формул (1.19) и (1.20). Обычно первую массу I образуют масса ротора двигателя и элементов между двигателем и упругим элементом, а вторую массу II исполнительный орган и элементы между ним и упругим элементом. Обе инерционные массы связаны упругим элементом с коэффициентом жесткости с, и в общем случае их скорости ₁ и ₂, а также углы поворота (положения) ₁ и ₂ соответственно не равны между собой.

Движение двухмассовой системы описывается следующей системой уравнений:

(1.21).

Движение двухмассовой механической системы оказывается более сложным. Как правило, оно имеет колебательный характер, который Определяется процессом обмена энергией между массами через упругий элемент. При этом может возникнуть явление механического резонанса, связанное с резким возрастанием амплитуды движения масс системы. Анализ такого движения достаточно сложен и проводится в фундаментальных трудах по теории электропривода, например в [33 и 35].

Еще более сложное движение имеет место в трехмассовой механической системе, которая получается при учете упругостей двух элементов механической части электропривода. Расчетная трехмассовая система содержит три массы, соединенные двумя упругими элементами, движение которых описывается системой уравнений, аналогичной (1.21). Более подробно о движении трехмассовой системы см. в [33].

Многомассовые расчетные схемы получаются и в том случае, когда учитываются зазоры между элементами механической части привода. Приведение зазоров осуществляется по следующим правилам:

для элемента с вращательным движением и угловым зазором ₁, рад, приведенное значение зазора = ₁i, рад;

для элемента с поступательным движением и линейным зазором ₂, м, = ₂/, рад.

Наличие зазора придает движению нелинейный характер, рассмотрение которого требует специальных математических методов, а в ряде случаев и применения ЭВМ.