Метод Данилевского для построения характеристического многочлена матрицы

В методе Данилевского исходная матрица А с помощью подобных преобразований Ф = S US приводится к так называемой канонической форме Фробениуса.

Разложив определитель матрицы (Ф — ХЕ) по элементам первой строки, получим.

т. е. элементы первой строки матрицы (1.37) являются коэффициентами характеристического многочлена матрицы Ф, и так как матрица Ф получена подобными преобразованиями матрицы А, то они являются также и коэффициентами характеристического многочлена исходной матрицы А.

Переход от матрицы А к матрице Ф осуществляется за (п — 1) преобразование подобия, последовательно преобразующее строки матрицы А, начиная с последней, в строки матрицы Ф. Рассмотрим схему преобразований. Пусть после некоторого шага матрица А приведена к виду.

(здесь и далее индекс шага для сокращения опущен).

Приведение А-й строки к строке матрицы Фробениуса осуществляется следующим образом. Весь (А - 1)-й столбец делится на Ь_к,_к _ так что вместо элемента Ь_{к (к} _ ₁₍ получаем 1. Далее этот столбец умножается на элемент — Ь_к1 и складывается с i-м столбцом, при этом i изменяется от 1 до п (кроме, очевидно, г = (A - 1)). В результате A-я строка принимает форму Фробениуса. Нетрудно показать, что описанная процедура эквивалентна умножению матрицы В справа на матрицу S, имеющую вид.

Непосредственным умножением легко убедиться, что матрица S ¹, обратная матрице S, имеет вид.

При умножении матрицы В на матрицу S справа k-я строка матрицы В принимает требуемый вид, а строки матрицы Фробениуса с (А — 1)-й по п-ю сохраняют свой вид.

Однако матрица BS не подобна матрице А, и, чтобы сделать ее подобной, нужно матрицу BS умножить слева на матрицу S'¹.

Умножение матрицы BS слева на матрицу S¹ не меняет строк с А-й по п-ю этой матрицы. Применив последовательно описанный процесс к строкам матрицы Л, начиная с последней, получим матрицу Фробениуса (1.37).

ФРОБЁНИУС ФЕРДИНАНД ГЕОРГ (Frobenius Ferdinand Georg; 1849—1917) — немецкий математик. Его основные работы относятся к алгебре, в частности, теории матриц, теории конечных групп и их представлений матрицами.