Анализ устойчивости разностных схем для простейшего уравнения диффузии

Анализ устойчивости проведем для одномерного параболическо.

го уравнения вида Рассмотрим устойчивость явной и неявной разностных схем. Явная схема. Рассмотрим явную разностную схему.

аппроксимирующую исходное дифференциальное уравнение с порядком 0(т + /?²). Простейшим алгебраическим преобразованием эта схема приводится к рассмотренной выше слоистой структуре:

Рассмотрим устойчивость этой разностной схемы относительно возмущения начальных данных. Пусть задача поставлена в неограниченной по х области и начальные данные имеют гармоническое возмущение:

где a — вещественный параметр, характеризующий длину волны возмущения. Решение задачи Коши при таких начальных условиях имеет вид

Здесь е^*^аг является собственной функцией оператора перехода, а Л (о;) — соответствующим этой гармонике собственным числом. Подставив (5.6) в (5.5), получим соотношение для Л:

которое, используя формулу Эйлера (e^*^Q + е ^J'*^a) /2 = cos, а и известное тригонометрическое соотношение 1—cos, а = sin²(a/2), можно преобразовать к виду.

откуда следует, что спектр оператора перехода представляет собой отрезок действительной оси (рис. 5.1, а-б). Задача будет устойчива, если |А| < 1, что выполнимо при а > 0, 2ат/h² < 1.

Разностную схему (5.5) называют условно устойчивой. Условие устойчивости т </г/(2а) накладывает довольно жесткое ограничение на величину временного шага.

Рис. 5.1. Спектры собственных чисел разностных схем для уравнения теплопроводности: а — явная схема, условие устойчивости выполнено, б — явные схемы, условие устойчивости нарушается; в — неявная схема, безусловная устойчивость.

Неявная схема. Рассмотрим для этого же уравнения неявную разностную схему.

Проведя аналогичным образом анализ устойчивости, но начальным данным, получим.

откуда видно, что спектр собственных чисел представляет собой отрезок вещественной оси.

и всегда (при > 0) лежит внутри круга единичного радиуса (рис.

5.1, в). Разностная схема (5.8) является безусловно устойчивой. Порядок аппроксимации тот же, что и в первом случае: 0(г + Л.²).

Для обеспечения устойчивости явных разностных схем требуется использовать малый временной шаг, который часто оказывается значительно более мелким, чем эго необходимо. Неявные схемы требуют для расчета одного временного слоя значительно большей вычислительной работы, однако позволяют вести расчет с большим временным шагом.

Для одномерного уравнения (5.3) объем вычислительных работ на один временной шаг по неявной схеме примерно в пять раз больше, чем в случае явного счета. Применение неявной схемы выгодно, если расчет можно (из соображений точности) проводить с шагом, в пять раз превышающим тот, который определен условием устойчивости для явной схемы.

Это свойство в особой мере проявляется при решении стационарной задачи с помощью метода установления, когда эволюционное развитие процесса во времени носит лишь вспомогательный характер и практически никаких ограничений на временной шаг не накладывается. В этом случае может быть достигнута значительная экономия времени счета при применении неявной схемы. Следует отметить, однако, что для нелинейных уравнений (таковыми являются в общем случае уравнения газодинамики) отмеченное преимущество неявных схем (безусловная устойчивость) нс всегда выполняется.