Натуральные числа. 
Числовые системы

Натуральный ряд Формирование определения

Использование натуральных чисел при счете формирует представление о них как о бесконечно длинном «числовом строе» с единицей «во главе»:

1,2, 3,4, 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,21,…

Постараемся сформулировать наиболее существенные свойства этого «числового строя» и его описание примем за аксиоматическое определение натурального ряда. Замечаем, что взаимное расположение чисел можно охарактеризовать с помощью словосочетания «непосредственно следует за». Так, за 1 непосредственно следует 2, за 2 непосредственно следует 3, и так далее. Помечая отношение «непосредственно следует за» значком «штрих», можно записать: Г = 2, 2' = 3, …

Рассматриваемое множество натуральных чисел обозначим через N. Отметим в нем наличие первого числа — и это даст нам первую аксиому, описывающую натуральный ряд: в N существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом. Далее, видим, что за каждым натуральным числом непосредственно следует и притом только одно натуральное число — это вторая аксиома натурального ряда. Третья аксиома подмечает, что всякое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом, учитывая, что 1 не следует ни за каким натуральным числом. Наконец, четвертая аксиома дает признак, когда подмножество натуральных чисел совпадает со всем множеством N. Она утверждает, что если подмножество М cz 7V содержит единицу (первое условие) и вместе с каждым своим числом содержит непосредственно следующее за ним число (второе условие), то М должно совпадать с N. К такому заключению нас приводят следующие рассуждения. По первому условию 1 е М, но тогда по второму условию 2 g М, так как 2 непосредственно следует за 1; снова по второму условию заключаем, что ЗеЛ/, итак далее. Таким образом, мы убеждаемся, что МN. Четвертая аксиома формализует метод рассуждений по принципу «и так далее». Кроме того, эта аксиома, как будет показано в дальнейшем, позволяет обосновать доказательства по индукции, поэтому ее называют аксиомой индукции.

Итак, натуральный ряд описывается четырьмя подмеченными аксиомами, которые называются аксиомами Пеано по имени итальянского математика Дж. Пеано (1858−1932). Сформулируем строгое определение натурального ряда.

2.1.1. Определение. Натуральным рядом называется система (N,') с основным множеством N, элементы которого называются натуральными числами, бинарным отношением «штрих», которое записывается в виде п = т читается: «/? непосредственно следует за т «, причем выполняются следующие аксиомы Пеано:

Р_х. В N существует элемент 1, называемый единицей, который непосредственно не следует ни за каким натуральным числом, то есть 1 *п' для любого hgN.

Р₂. За каждым натуральным числом непосредственно следует и притом только одно натуральное число. Другими словами, для всякого т е N существует п е N такое, что п = т, причем, если т = к, то т = к'.

Р_г. Каждое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом, то есть для любых т_ук g N, если т = к', то т — к.

Р₄. (Аксиома индукции). Пусть подмножество М с N удовлетворяет следующим условиям:

• 1) 1 gM (другими словами, М содержит элемент, который непосредственно не следует ни за каким натуральным числом);
• 2) для любого натурального числа п, если п е М, то п' е М.

Тогда М совпадаете N.

Подчеркнем абстрактный характер определения натурального ряда. Множество N может быть любой природы, отношение «штрих» может быть как угодно задано, но если выполняются аксиомы Пеано, то система (;V,') является натуральным рядом. Так, натуральным рядом можно было бы назвать номерки на бесконечно длинной вешалке, бесконечно длинный поезд с локомотивом в начале поезда, бесконечную очередь за дефицитом с первым счастливчиком в начале очереди, и так далее.

С натуральным рядом тесно связано понятие последовательности.

2.1.2. Определение. Пусть А — непустое множество. Всякое отображение / :N —> А называется последовательностью. Образ элемента hgN при отображении / называется п-ым членом последовательности. Если f (n) = a_n для любого hgN, то последовательность записывается в виде (а").

Всякую последовательность (а_п) можно превратить в натуральный ряд, введя отношение непосредственного следования естественным образом: а_п =а_п> для любого neN. Если JV, — множество всех членов последовательности, то система очевидно, удовлетворяет всем аксиомам Пеано, а значит, является натуральным рядом. Здесь «единицей» будет первый член последовательности а_х, за «единицей» непосредственно следует «натуральное число» а₂, и так далее.