Измерение емкости конденсаторов

Цель работы: изучить методы измерения электроемкостей; проверить формулы расчета емкостей при соединении конденсаторов в батареи.

Приборы и принадлежности: источник регулируемого переменного напряжения, вольтметр, амперметр, генератор звуковой частоты, реохорд, эталонные емкости, индикатор тока (осциллограф), конденсаторы неизвестной емкости.

Теоретическое введение Емкостью конденсатора называется величина, определяемая отношением заряда на обкладках конденсатора к разности потенциалов (напряжению) между ними.

(1)

Конденсаторы могут быть соединены в батареи. При последовательном соединении n конденсаторов (см. рис.1) емкость батареи С' определяется из соотношения:

(2).

При параллельном соединении (см. рис.2) общая емкость С" равна сумме емкостей конденсаторов.

(3).

Единицей измерения электроемкости в системе СИ является Фарад (Ф). На практике широко используются:

• 1 микроФарад ( 1 мкФ=10^-6 Ф) и
• 1 пикоФарад ( 1пФ=10^-12 Ф).

Иногда емкость конденсатора может быть рассчитана по формуле. Например, известны формулы для емкости плоского и сферического конденсаторов:

С= (4).

Однако чаще емкость конденсатора определяют из электрических измерений. Существует несколько способов измерения емкости. Один из них основан на измерениях, так называемого, емкостного сопротивления конденсатора R_c в цепи переменного тока (см. рис. 3). Из теории переменного тока известно:

(5).

где — циклическая частота тока (= 2), U_эф, I_эф -эффективные значения напряжения и тока.

Используя выражение (5), получим формулу для расчета емкости:

(6).

Другой метод измерения емкости основан на сравнении двух емкостей, включенных в схему моста переменного тока. Такая схема показана на рис. 4. Здесь С_о — конденсатор с известной емкостью, С_х — конденсатор с искомой емкостью. R₁ , R₂ — омические сопротивления переменной величины, И — индикатор тока. Изменяя соотношение между сопротивлениями R₁ и R₂, можно добиться равенства потенциалов точек 3 и 4, что соответствует условию равновесия моста переменного тока, т. е. ₃=₄. Это равенство можно преобразовать так:

(7).

(8).

Пусть в состоянии равновесия по плечам 1−3-2 моста течет ток с эффективным значением I₁, а по плечам 1−4-2 — ток I₂.

Тогда в соответствии с законом Ома для плеч 2−3 и 2−4 можно записать:

.

с учетом соотношения (7).

(9).

Аналогично:

.

и с учетом уравнения (5).

(10).

Из сравнения (9) и (10) вытекает.

(11).

Таким образом, неизвестная емкость легко может быть найдена по эталонной емкости и отношению сопротивлений.

Порядок выполнения работы.

I. Измерения с помощью амперметра и вольтметра.

• 1. Собрать цепь по схеме рис. 3. В качестве С_х взять одну из неизвестных емкостей (С₁)
• 2. Включить цепь в сеть. Постепенно увеличивая напряжение, провести измерения эффективного напряжения и тока 5 раз. Полученные данные занести в таблицу 1. Желательно проводить измерения при U>80 В (см. замечания об электроизмерительных приборах).

Таблица 1.

Результаты измерений и вычислений.

Измеряемая емкость.	Uэф , B	Iэф , мA	Cх , мкФ	Относительная погрешность. , мкФ	Абсолютная погрешность. (Сх)сл, мкФ
С1
С2
Последова; Тельное соединение. С'
Параллельное соединениеC"

С помощью регулятора уменьшить напряжение до нуля и выключить цепь из сети.

• 3. В качестве С_х взять другой конденсатор (С₂). Повторить операции, указанные в п. 2.
• 4. Соединить емкости С₁ и С₂ последовательно, повторить операции, указанные в п. 2.
• 5. Соединить емкости С₁ и С₂ параллельно, повторить операции, указанные в п. 2.
• 6. Рассчитать емкости по формуле (6) для каждого случая. (Частота тока в сети = 50Гц). Найти средние значения С₁, С₂, C' и С", а также случайные погрешности по методу Стьюдента.
• 7. Рассчитать относительную приборную погрешность измерений по формуле:

(12).

где I_эф = I_пред0,01е_n', U_эф = U_пред0,01е_n",, е_n', е_n" - класс точности амперметра и вольтметра (см. сведения о приборах). По значению относительной погрешности найти абсолютные погрешности С_1, С₂, С', С'' из формулы: С_х = е· С_х, где С_х — средние значения искомых емкостей в таблице 1.

Записать окончательный результат с указанием доверительного интервала, рассчитанного по случайной и приборной погрешности по формуле ДС_полн. = (ДС_сл² + ДС_приб.²)^½ .

8. Провести проверку формул последовательного (2) и параллельного (3) соединений конденсаторов. Для этого рассчитать С' и С" по формулам (2) и (3). Расчетные величины С' и С" сравнить со средними опытными. Сделать вывод.

II. Измерения с помощью моста.

1. Собрать цепь по схеме моста, представленной на рис. 5. Эта схема является разновидностью схемы 4. Вместо сопротивлений R1 и R2 использованы плечи реохорда длиной l1 и l2.

Так как, то формула (11) принимает вид:

(13).

В качестве индикатора используется осциллограф. Равновесие моста контролируется по минимуму амплитуды осциллограммы. Показанный в схеме конденсатор С_o расположен на панели с известными емкостями, в качестве источника переменного тока используется генератор звуковой частоты.

• 2. Движок реохорда поставить на середину (l₁ = l₂ = 50 см), подобрать наиболее подходящее для С₁ значения С_o. Затем с помощью движка реохорда добиться полного уравновешивания моста. Полученные данные С_o, l₁ и l₂ записать в таблицу 2
• 3. Аналогичные измерения выполнить для емкости С₂ и соединений С' и С".
• 4. Рассчитать измеряемые емкости по формуле (12) для каждого случая. Найти средние значения С₁, С₂, С' и С".
• 5. Рассчитать относительную погрешность измерений каждой емкости по формуле:

(14).

приняв 0,10, l₁=l₂ =0,2 см.

Случайная погрешность в этом методе не рассчитывается, т.к. она значительно меньше приборной.

Найти абсолютную погрешность (C_x = C_x) и записать окончательный результат в таблицу.

6. Сравнить результаты двух методов. Сделать анализ и записать выводы.

Таблица 2.

Результаты измерений и вычислений.

Контрольные вопросы.

• 1. Что называется емкостью конденсатора? Единицы ее измерения.
• 2. Как доказать справедливость формулы для расчета последовательного и параллельного соединений конденсаторов?
• 3. Как влияет сопротивление приборов на точность измерения по схеме (см. рис.3). С какими величинами внутренних сопротивлений следует выбрать вольтметр и амперметр для повышения точности измерений?
• 4. Что представляет собой мост переменного тока? Условие равновесия моста.
• 5. Почему желательно уравновесить мост при условии l₁=l₂? (Обратите внимание на формулу (13)).
• 6. Какой из рассмотренных методов, по вашему мнению, предпочтительней и почему?

• 1.
• 2. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики для втузов: в 3 т. Т. 2. — М.: Наука, 1974. — 340 с.
• 3. Калашников С. Г. Электричество. -М.: Наука. 1970.