Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

В исследуемой цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов, число ветвей, не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Затем для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего уравнений. Для узлов формируются уравнения первого закона Кирхгофа, а для независимых контуров — уравнения второго закона Кирхгофа, всего топологических уравнений.

Выражая токи ветвей через напряжения из компонентных уравнений, и подставляя их в уравнения первого закона Кирхгофа, получим систему из уравнений для напряжений ветвей (метод напряжений ветвей). Если же выразить из компонентных уравнений напряжения ветвей через их токи и подставить их в уравнения второго закона Кирхгофа, то получим уравнений для токов ветвей (метод токов ветвей).

Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений. Рассмотрим пример цепи показанной на рис. 6.3 при кОм, мГн, В и мА. В ней введены обозначения и заданы положительные направления всех токов и напряжений. Определим комплексные амплитуды сигналов источников, при этом ЭДС источника напряжения необходимо преобразовать к виду.

Рис. 6.3.

мА, Тогда.

Запишем подсистему компонентных уравнений цепи,.

, .

В цепи на рис. 6.3 два узла (), поэтому по первому закону Кирхгофа необходимо составить уравнение.

.

Имеется три ветви, не содержащих идеальные источники тока, тогда по второму закону Кирхгофа необходимо составить уравнений для контуров и соответственно (обход контура по часовой стрелке),.

В результате получим систему уравнений цепи рис. 6.3,.

, ,.

.

Подставляя в уравнения законов Кирхгофа компонентные уравнения, получим.

.

Из третьего уравнения получим.

.

а из первого.

.

Подставляя полученные токи во второе уравнение, можно записать соотношение.

.

из которого определяется ток индуктивности.

.

Остальные токи равны.

.

.

В результате вычислений (проделайте их самостоятельно) получим.

мА, мА,.

мА.

По закону Ома (из компонентных уравнений) нетрудно вычислить напряжения на элементах цепи,.

В, В,.

В.

Как видно напряжения на индуктивности и сопротивлении одинаковы, так как они соединены параллельно. Кроме того, начальные фазы токов и напряжений в сопротивлениях совпадают, а разность фаз между напряжением и током индуктивности равна.

или, прибавив 3600, получим, то есть напряжение на индуктивности опережает ток через нее на 900.

Подставьте полученные результаты в уравнения первого и второго законов Кирхгофа и убедитесь, что они выполняются. Постройте векторную диаграмму токов и напряжений в цепи рис. 6.3.