Явный вид оператора спина электрона и нерелятивистское уравнение Паули

Поскольку проекция спина электрона на любую ось может принять лишь два возможных значения ±h/2, то Паули ввел две волновые функции Ф±, описывающие вероятность обнаружения электрона с проекциями в заданном направлении +й/2 и —hj2 соответственно. Таким образом, состояние одноэлектронной системы описывается вектор-столбцом из двух волновых функций,.

названным спинором :

причем физический смысл компонент спинора сохраняется: величины dw± = '&±(х, у, z, t)²dV есть вероятности обнаружения электрона в момент t в объеме dV с соответствующей проекцией спина, а величина.

есть полная вероятность обнаружения электрона в объеме dV в момент времени t.

Если ввести сопряженный спинор как вектор-строку.

то выражение (4.340) для вероятности обнаружения электрона может быть переписано в более компактном виде:

где предполагается, что умножение строки на столбец производится по закону умножения матриц, давая в итоге совпадение с (4.340).

Соответственно, условие нормировки вероятности должно принять вид.

а формула для среднего значения наблюдаемой, которой сопоставлен оператор F, также трансформируется очевидным образом:

Спиноры отличаются от векторов законом преобразования при повороте системы координат. Этот вопрос рассматривается в курсах квантовой механики.

Бели имеется в виду любой из ранее введенных операторов, действующих на волновые функции (компоненты спинора), то действие такого оператора на спинор должно сводиться к соответствующему действию на компоненты спинора:

Далее Паули догадался, каким должен быть оператор спина, и как при этом трансформировать стационарное уравнение Шрёдингера, чтобы находить сразу две волновые функции, а не одну. По мысли Паули, оператор спина не должен был действовать на переменные волновых функций Ф±(ж, у,z, t), а должен был действовать на спинор, переставляя местами (с точностью до фазового множителя) компоненты спинора. Другими словами, оператор спина должен был иметь три компоненты в виде матриц порядка 2×2. Вводя вместо размерного оператора S безразмерный оператор а с помощью соотношения.

Паули вычислил явный вид матриц порядка 2×2, удовлетворяющих коммутационным соотношениям (4.325)—(4.327) для оператора спина S и называемых матрицами Паули.

Матрицы Паули являются операторами, действующими на спиноры, но правилу перемножения матриц: умножение матрицы Паули на спинор определяет некоторый новый спинор.

Пользуясь обычным правилом умножения для матриц, нетрудно найти действие матриц Паули на спинор:

Далее осталось только сформулировать нерелятивистское волновое уравнение, учитывающее наличие у электрона спина, что Паули сделал, дополнив гамильтониан членом, отвечающим потенциальной энергии собственного магнитного момента электрона, возникающей во внешнем магнитном поле и определяемой формулой (4.321), которая в операторной форме должна очевидным образом видоизменить гамильтониан Н^т, в котором не учитывалось наличие спина у электрона:

гак как из уравнений (4.329) и (4.345) следует, что

а потенциальная энергия магнитного момента в магнитном иоле определяется формулой (4.321).

Подставив гамильтониан (4.348) во временное уравнение Шрёдингера, Паули получил уравнение, названное в его честь нерелятивистским уравнением Паули, которое на самом деле является системой двух дифференциальных уравнений относительно двух волновых функций Ф±:

Действие операторов dfdt и Н^ш на спинор определяется правилом (4.344), тогда как действие матриц Паули на спинор сводится с точностью до фазового множителя к перестановке компонент спинора.

Поскольку оператор спина (4.345) коммутирует^[1] с Я^ш, то одна из проекций спина будет сохранять определенное значение в любом электростатическом поле (то есть при В = 0), если в начальном состоянии эта проекция имела определенное значение, так как взаимная коммутативность с гамильтонианом любого не зависящего от времени оператора означает обращение в нуль полной производной оператора по времени.

В однородном магнитном поле проекция спина сохраняет постоянное значение на направление магнитного ноля, в чем нетрудно убедиться. Действительно, направив ось г вдоль магнитного поля, получим, что гамильтониан (4.349) будет содержать магнитный член, пропорциональный лишь оператору S₂. Так как последний оператор коммутирует с гамильтонианом Н^ш и с самим собой, то соответствующая величина будет сохранять определенное значение, если она имела определенное значение в начальном состоянии.

Решение нерелятивистского уравнения Паули в отсутствие магнитного поля или при наложении на систему однородного магнитного поля распадается на произведение волновой функции для «бесспинового» электрона и зависящей лишь от времени спинорной части:

Непосредственная подстановка (4.350) в (4.349), при которой волновая функция Ф (г J.) выносится из-под знака оператора д_вВ<�т, дает, во-первых, временное уравнение Шрёдингера в бесспиновом приближении (см. предыдущий подразд. 4.7.1), определяющее общую для обеих компонент спинора пространственную зависимость волновой функции Ф (г,?) и имеющее вид.

и, во-вторых, уравнение относительно зависящего только от времени спинора.

Предполагая обычную нормировку для решения Ф (г, t) временного уравнения Шрёдингера, нужно потребовать удовлетворения нормировочного условия и для спинорной части:

Бели выбрать ось г вдоль однородного магнитного поля, то уравнение (4.352) с учетом действия d_z на спинор упростится:

Уравнение (4.354) есть система двух однородных дифференциальных уравнений первого порядка, нетривиальное решение которой должно иметь вид.

где с₊ и с_ — постоянные числа, удовлетворяющие в силу условия нормировки (4.353) соотношению |с+|² + |с_|² = 1.

Подстановка (4.355) в (4.354) дает систему двух алгебраических уравнений относительно трех величин ?₃, с+ и с_:

Очевидно, что если ?_s Ф ±ц_вВ_г, то система (4.357)—(4.357) имеет только тривиальное решение с₊ = с_ = 0.

Если же ?_s = ilqB_z, то система (4.357)—(4.357) имеет нетривиальное нормированное решение.

а если ?_s = —ц_вВ_г, то система (4.357)—(4.357) имеет другое нетривиальное нормированное решение.

Нетрудно убедиться, что спиноры х± являются собственными спинорами оператора д_г: спинор х+ принадлежит собственному значению +1, а спинор принадлежит собственному значению — 1. Других собственных значений оператор d_z не имеет^[2].

Поскольку состояние с определенной энергией ?, являющееся решением временного уравнения Шрёдингера (4.351) должно иметь вид

то с учетом (4.355) зависимость общего решения от времени определится выражением.

Подстановка решения (4.3С0) в нерелятивистское уравнение Паули (4.349) дает уравнение на собственные значения гамильто;

У-Ч пиана Н^т + /7_вВ?

показывающее, что величина ? -I- ?_s является полной энергией электрона при наложении на одночастичную систему однородного статического магнитного ноля, если без магнитного ноля одночастичная система находилась в состоянии с определенной энергией ?.

Всего, таким образом, у нерелятивистского уравнения Паули возникло два решения при наложении на одноэлектронную систему статического однородного магнитного поля: состояние с энергией ? + p_bB_z, описываемое спинором вида.

и состояние с энергией ? — //_в/?_г, описываемое спинором вида.

Первое решение соответствует состоянию с определенной положительной проекцией спина электрона на вектор индукции магнитного поля («спин по полю»), а второе — с определенной отрицательной проекцией («спин против поля»).

Действительно, если спин по полю, то магнитный момент электрона пащхюлеп против поля, и потенциальная энергия в соответствии с (4−321) полоэ/сительна. Отсюда становится ясен выбор индексов ± у спиноров (4.361)—(4.362). Кроме того, в любом состоянии определенное значение имеет квадрат спина.

Таким образом, спинор, описывающий состояние одноэлектронной системы в постоянном магнитном поле, есть произведение волновой функции (решения временного уравнения Шрёдингера для бесспиновой частицы) и собственно спинора. Часто спиноры (4.361)—(4.302) называют «полными волновыми функциями», каждая из которых является произведением пространственной и спиновой частей волновой функции.

Полученные в нодразд. 7.4.1 и 7.4.2 результаты свидетельствуют, что уровень энергии основного состояния (и остальных.

.s-состоя ни ft) водородоподобного иона при помещении последнего в постоянное магнитное ноле расщепляется на два подуровня, смещенных от уровня энергии основного состояния без магнитного поля на величину ±//_в/?₂, соответствующую энергии взаимодействия магнитного момента //_Б, ориентированного против или, но направлению постоянного магнитного поля величины B_z .

Влияние магнитного ноля на р, d и прочие состояния водородоподобного нона сложнее, так как наличие у электрона в этих состояниях и орбитального, и спинового моментов импульса ведет к появлению в водородоподобном ионе ранее не рассматривовшегося взаимодействия «спин-орбита», описываемого в следующем подразделе.

• [1] Убедитесь в этом.
• [2] См. задачи 4.16 и 4.17.