Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

В схеме цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов, число ветвей, не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего уравнений. Для узлов формируются уравнения первого закона Кирхгофа, а для независимых контуров — уравнения второго закона Кирхгофа, всего топологических уравнений. Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений.

Рассмотрим пример ранее рассмотренной цепи рис. 2.2, схема которой показана на рис. 2.6. В ней изменены обозначения напряжений на элементах и .

Рис. 2.6.

В цепи узла и ветвей (идеальные источники тока отсутствуют). Для каждого элемента цепи по закону Ома запишем подсистему компонентных уравнений для комплексных амплитуд напряжений и токов:

.

.

(2.1).

.

.

Для двух верхних узлов цепи запишем уравнения первого закона Кирхгофа.

(2.2).

В цепи (рис. 2.6) имеется независимых контура, для которых можно записать уравнения второго закона Кирхгофа.

(2.3).

Подставляя (2.1) в (2.3) совместно с (2.2) получим систему уравнений для токов ветвей.

Решить систему уравнений можно методом подстановки. Из второго уравнения (2.4), а с учетом этого из первого уравнения, тогда получим.

(2.5).

Из последнего уравнения (2.5) можно записать.

(2.6).

при этом из (2.5) получим систему двух уравнений вида.

(2.7).

Из последнего уравнения (2.7) выразим ток :

(2.8).

и, подставив его в первое уравнение, определим ток :

. (2.9).

Тогда из (2.8) получим.

(2.10).

а из (2.6) с учетом (2.9) соответственно.

. (2.11).

Из уравнений первого закона Кирхгофа определим остальные токи,.

(2.12).

. (2.13).

Численные расчеты токов проведены с помощью пакета программ MathCAD2001, листинг программы и результаты показаны на рис. 2.7. Как видно, получены те же значения комплексных амплитуд токов в алгебраической форме, что и в предыдущем примере.

По найденным токам ветвей с помощью уравнений закона Ома (2.1) определяются напряжения на элементах цепи.

При выполнении курсовой работы расчеты токов и напряжений необходимо провести аналитически, получив соответствующие выражения (формулы), подобные (2.9) — (2.13). Это позволяет:

• — контролировать правильность расчетов по размерности складываемых в формулах величин;
• — изучать зависимость полученных результатов от частоты сигнала и параметров цепи;
• — получать необходимые выражения для расчетов характеристик цепи.

Рис. 2.7.