Пример расчета (задача № 12)

На брус заданного поперечного сечения (a = 1,05 м, b = 1 м, с = 0,15 м, d = 0,2 м) в точке D верхнего торца действует продольная сила Р = 150 кН (рис. 5.33). Требуется:

• 1. Найти положение нулевой линии;
• 2. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения;
• 3. Построить ядро сечения.

Решение.

• 1. Найти положение нулевой линии.
• 1.1. Нахождение положения главных центральных осей. Так как поперечное сечение бруса (рис. 5.33) имеет две оси симметрии xС и yС, то они и будут главными центральными осями инерции. Площадь поперечного сечения бруса равна:

м2.

1.2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции. Моменты инерции определяем по формулам:

= 521,6104 м;

м4 .

Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

м2 ;

м2 .

1.3. Определение положения нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

м;

м, где xP = 0,525 м и yP = 0,5 м координаты точки приложения силы Р (точка D на рис. 5.33). Отложив отрезки и, соответственно, на осях xC и yC, и проведя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, т. е. геометрическое место точек, где нормальные напряжения равны нулю (= 0). На рис. 5.33 эта линия обозначена nn.

2. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения. Точка D, координаты которой xD = = 0,525 м и yD = 0,5 м, наиболее удалена от нулевой линии в сжатой зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле:

=1,436 кН/м2 .

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К, имеющей координаты xK = 0,525 м и yK = 0,5 м :

=0,996 кН/м2.

По полученным значениям D и К строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.33).

3. Построить ядро сечения. Для построения ядра симметричного сечения рассмотрим два положения касательной к контуру сечения II и IIII (рис. 5.33). Отрезки, отсекаемые касательной II на осях координат, равны:

=; = 0,5 м.

Координаты граничной точки I ядра сечения определяются по формулам:

м.

Касательная IIII отсекает отрезки = 0,525 м, = .

Соответственно, координаты граничной точки 2:

.

Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, т.к. сечение бруса симметричное. Учитывая это, для касательных IIIIII, IVIV координаты граничных точек 3 и 4 будут:

м; .

Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4 прямыми, получим ядро рассматриваемого сечения (рис. 5.33).