Динамические модели управления запасами

В случае, если рассматривается функционирование системы за n периодов, причем спрос непостоянен, приходят к динамическим моделям управления запасами. Эти задачи, как правило, не поддаются аналитическому решению, однако оптимальные уровни запасов на каждый период можно вычислить, применив метод динамического программирования.

Рассматривается задача управления запасами, когда спрос за j-ый период (j=1,n) определяется величиной. Пусть — уровень запаса в начале j-го периода, а — объем пополнения запаса в этом периоде. Пополнение запасов осуществляется мгновенно в начале периода, дефицит продукции не разрешается. Графически условия задачи показаны на рис. 1.

управление запас динамический программирование.

Рис. 1.

Пусть — общие затраты на хранение и пополнение на j-том периоде. Значение задано, а, т.к. в конце функционирования систем запас не нужен.

Требуется определить оптимальные объемы заказов в каждом периоде по критерию минимума суммарных затрат.

Математическая модель задачи будет иметь вид.

здесь необходимо определить, которые удовлетворяли бы ограничениям (2)-(6) и минимизировали целевую функцию (1).

В этой модели целевая функция сепарабельная, ограничения (2) имеют рекуррентный вид. И эта особенность модели наталкивает на мысль о возможности применения для ее решения метода динамического программирования. Модель (1)-(6) отличается от стандартной модели динамического программирования наличием условия это условие можно преобразовать следующим образом. Из (2) и (3) следует, что, или можно записать.

Тогда из (7) с учетом (4) определяется область возможных значений: или окончательно:

Таким образом, условие (3)-(4) заменяется условием (8), и модель (1),(2),(5)-(6),(8) имеет стандартный вид для метода динамического программирования.

В соответствии с методом динамического программирования решение этой задачи состоит из следующих этапов:

1. Решается задача минимизации затрат на последнем участке, т. е. отыскивается значение.

если желаемый уровень запаса в конце планового периода задан, то решение рассматриваемой задачи есть.

т.к. в этом случае существует лишь единственный объем производства, обеспечивающий желаемое значение при спросе и фиксированном значении. В противном случае минимизация осуществляется в области (8).

Решаются задачи для k=n-1, n-2…1:

задача (10) решается для любого допустимого фиксированного значения. В результате находятся две функции и. При k=1 задача (10) решается только для одного заданного значения .

После этого проводится обратное движение, и находятся оптимальные значения:

В случае, когда значение задано, можно метод динамического программирования алгоритмизировать так, что рекуррентные уравнения будут решаться в прямом порядке следования номеров периодов (этапов). Для этого проведем аналогичные рассуждения, которыми пользовались для получения рекуррентных уравнений Беллмана.

Наряду с задачей (1)-(6) рассмотрим аналогичную задачу, соответствующую первым K участкам:

Введем обозначение.

Область определения переменной следует из ограничения (12)-(14).

Выражение (17) определяет рекуррентное уравнение Беллмана. Оно справедливо при k=.

Для k=1 соотношение Беллмана имеет вид.

Так как, то каждому фиксированному значению при заданном значении соответствуют единственное значение, которое и является точкой минимума.

Алгоритм метода динамического программирования в этом случае состоит из следующих этапов:

Решается задача (18) и находятся и. Далее решается задача (17) и находятся и (j=2,n).

Проводится обратное движение алгоритма, в результате находятся оптимальные значения искомых переменных и. Минимальное значение целевой функции (1) определяется величиной.

Модель управления запасами при вероятностном стационарном спросе и мгновенных поставках Простейшим случаем УЗ при вероятностном спросе является однократное принятие решения на пополнение запаса. Практическими примерами таких ситуаций являются все однократные процессы с относительно небольшой потребностью в материалах и оборудовании, а также снабжение потребителей в труднодоступных и удаленных районах (например, арктические рейсы).

Пусть z— запас продукции до начала пополнения (известная величина), y— запас после пополнения (), v=y-z- объем заказа на пополнение, x— случайный спрос за время операции Т, f (x)— плотность распределения спроса, функция c (y-z)— расходы на пополнение запаса.

В момент реализации объема пополнения конкретное значение x неизвестно, но задана плотность f (x). Предполагается, что заказ на пополнение исполняется мгновенно.

Если к концу операции на складе остается часть невостребованного запаса (y-x)>0, то система снабжения несет избыточные расходы на хранение, задаваемые функцией. При функция =0.

При неполном удовлетворении спроса (x>y) система платит штраф .

Тогда математическое ожидание суммарных расходов будет равно:

(1).

Теперь можно поставить следующую задачу:

• (2)
• (3)

Таким образом, нужно найти такое значение y, которое минимизирует функцию (2) при ограничении (3). Для этого можно найти точки минимума без учета ограничения (3), а потом выбрать те, которые удовлетворяют (3). Те решения, которые получаются из уравнения (точки экстремума).

(4).

И которым соответствуют положительная вторая производная (точки минимума):

(5).

дадут локальные точки минимума функции (2). В общем случае график для фиксированного значения z имеет несколько локальных минимумов:

Обозначим через y₁-глобалную точку минимума, через y₃— глобальную точку минимума в области y>y₁, y₅— глобальная точка минимума в области y>y₃ т.д. Очевидно, что y₃— наименьшая из локальных точек минимума без учета y₁ и расположена правее этой точки. Обозначим точку y₂, которая удовлетворяет условиям: y₁₂₃,. Аналогично вводятся точки y₃₄₅, и т. д. Пусть введенные величины найдены:,. Теперь можно указать оптимальную стратегию управления запасами:

• 1. Если z₁, то нужно заказать продукцию в объеме v=y₁-z. Таким образом, уровень запаса доводится до y₁, который минимизирует общие затраты.
• 2. Если, то ничего не нужно заказывать, так как и любой заказ ухудшит общие затраты.
• 3. Если, то нужно заказать v=y₃-z. В этом случае значение целевой функции уменьшается до .
• 4. Если, то ничего не нужно заказывать, так как значение целевой функции возрастает: .
• 5. И так далее.

Таким образом, при, заказ не нужно делать, а при нужно заказать .