Сложное движение. 
Исследование механизмов

Сложное движение точки Примером сложного движения точки может служить:

• а) лодка (если ее принять за материальную точку), плывущая от одного берега реки к другому;
• б) шагающий по ступенькам движущегося эскалатора метро человек, который также совершает сложное движение относительно неподвижного свода туннеля.

Таким образом, при сложном движении точка, двигаясь относительно некоторой подвижной материальной среды, которую условимся называть подвижной системой отсчета, одновременно передвигается вместе с этой системой отсчета относительно второй системы отсчета, условно принимаемой за неподвижную.

Движение некоторой точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы отсчета вместе со всеми связанными с ней точками материальной среды по отношению к неподвижной системе отсчета для точки М называется переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется сложным, или абсолютным.

Для того чтобы видеть сложное (абсолютное) движение точки, наблюдатель сам должен быть связан с неподвижной системой отсчета. Если же наблюдатель находится в подвижной системе отсчета, то он видит лишь относительную часть сложного движения.

Представим, что точка М за некоторое время переместилась относительно подвижной системы координат O1X1Y1 из начального положения M0 в положение М1 по траектории M0М1 (траектории относительного движения точки) (8.1). За это же время t подвижная система координат O1X1Y1 вместе со всеми неизменно связанными с ней точками, а значит, и вместе с траекторией относительного движения точки М переместилась в неподвижной системе координат OXY в новое положение:

S абс S пер Sотн. К анализу сложного движения точки Разделим обе части этого равенства на время движения t: S абс Sпер Sотн t t t и получим геометрическую сумму средних скоростей: абс. ср пер. ср отн. ср, которые направлены вдоль соответствующих векторов перемещений. Если теперь перейти к пределам при t0, то получим уравнение выражающее теорему сложения скоростей: при сложном движении точки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. Если задан угол (пер, отн), то модуль абсолютной скорости.

Углы, образуемые векторами абсолютной скорости с векабсторами пер и отн, определяются по теореме синусов.

В частном случае при пер отн при сложении этих скоростей образуется ромб (8.2, а) или равнобедренный треугольник (8.2, б) и, следовательно, абс 2 пер cos 2 отн cos .

Плоскопараллельное движение тела

Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, называется плоскопараллельным (8.3).

Плоскопараллельное движение твердого тела Изучая плоскопараллельное движение тела М, достаточно рассматривать движение его плоского сечения q плоскости ХОY.

К анализу плоскопараллельного движения твердого тела Выберем в сечении q произвольную точку A, которую назовем полюсом. С полюсом, А свяжем некоторую прямую KL, а в самом сечении вдоль прямой KL проведем отрезок AB, перемещая плоское сечение из положения q в положение q1. Можно сначала передвинуть его вместе с полюсом, А поступательно, а затем повернуть на угол ц.

Плоскопараллельное движение тела — движение сложное и состоит из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.

Закон плоскопараллельного движения можно задать тремя уравнениями:

x f1 t; y f 2 t; ц f 3 t .

Дифференцируя заданные уравнения плоскопараллельного движения, можно в каждый момент времени определить скорость и A ускорение aA полюса, а также угловую скорость щ и угловое ускорение е тела.

Пример 8.1. Пусть движение катящегося колеса диаметром d (8.5) задано уравнениями.

x0 5t ,.

d y0 2 ,.

ц 20t .

где x0 и y0 — м, ц — рад, t — с.

Продифференцировав эти уравнения, находим, что скорость полюса O dx0 5 м, угловая скорость колеса щ dц 20 рад .

0 dt с dt с Ускорение полюса и угловое ускорение колеса в данном случае равны нулю. Зная скорость полюса и угловую скорость тела, можно затем определить скорость любой его точки.

К примеру 8.1.

Определение скорости любой точки тела при плоскопараллельном движении Пусть дано плоское сечение q, угловая скорость и скорость полюса которого в некоторый момент времени соответственно щ и 0. Требуется определить скорость какой-либо точки, А (8.6).

Расчленим плоскопараллельное движение на составные части — поступательную и вращательную. При поступательном движении вместе с полюсом (переносное движение) все точки сечения, и точка, А в том числе, имеют переносную скорость 0, равную скорости полюса. Одновременно с поступательным сечение q совершает вращательное движение с угловой скоростью щ (относительное движение): AO щ AO, где AO — относительная скорость точки A (AO AO).

К определению скорости тела при плоскопараллельном движении Следовательно, в каждый данный момент времени A O AO, т. е. абсолютная скорость точки тела при плоскопараллельном движении равна геометрической сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки вокруг полюса.

Модуль абсолютной скорости может быть определен по формуле 2 2 2 перотн cos, абс, а направление — с помощью теоремы синусов. Если же направление абсолютной скорости известно, то ее модуль проще определить на основании следующей теоремы: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Допустим, что известны скорости и точек A и В какого A B либо тела (. Приняв за полюс точку A, получим Векторы скоростей точек плоской фигуры Относительная скорость перпендикулярна АВ. Следовательно, AA1 BB1 или A cos б B cosв. Теорема доказана.