Кривые 2-го порядка

От прямых, которые, как мы только что выяснили, задаются линейными уравнениями, перейдем к линиям, которые задаются уравнениями второй степени.

Окружность

Наряду с прямыми, в школьном курсе геометрии большое внимание уделяется окружностям. Найдем уравнение окружности L, если ее центр в начале координат, а радиус равен числу R > 0 (рис. 3.12).

Рис. 3.12.

Пусть М (х; у) произвольная точка этой окружности и М'(х; 0) ее проекция на ось Ох. По теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику ОММ замечаем, что координаты х, у произвольной точки М окружности L удовлетворяют условию:

Это и есть искомое уравнение окружности.

Если центр окружности находится в точке О'(а) Ь), а радиус равен R (рис. 3.13), то, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику 0'ММ, получаем следующее уравнение окружности'.

Таким образом, любая окружность задается уравнением второй степени относительно прямоугольных декартовых координат х, у, поэтому окружность является кривой 2-го порядка.

Рассмотрим некоторые задачи, связанные с окружностями.

Задача 3.6.

Выяснить, проходит ли окружность L, заданная уравнением X + у = R, через точку М₀(.г₀; у₀).

Решение

Подставляя в левую часть уравнения окружности координаты х₀, у₀ вместо текущих координат х, у, получаем число ^хо ⁺ У о ? Если X (j + у§ = К¹, то точка М₀ лежит на окружности L, если Л’о + у1 < R², то точка М₀ лежит внутри круга, ограниченного этой окружностью, а если xjj + у% > R², то точка М₀ лежит вне этого круга.

Кратчайшее расстояние d от точки М₀ до окружности находится по формуле:

Рис. 3.13.

Задача 3.7

Найти точки пересечения окружности L, заданной уравнением х² + у² = R², с прямой /, заданной общим уравнением Ах + By + С = 0.

Рассмотрим на примерах решение подобных задач.

Пример 3.4.

L: х² + у² = 25,.

/: 3* - 4у = 0.

Разрешим второе уравнение относительно у:

Подставим это выражение в уравнение окружности L. Получим:

После упрощения находим два различных действительных корня:

Далее для найденных абсцисс из условия у = —.г определяем ординаты: у_х = -3; у₂ = 3.

Таким образом, имеем две различные точки пересечения прямой и окружности: МД-4; -3), М₂(4; 3) (рис. 3.14).

Пример 3.5.

L: х²+у² = 25,.

/: Зх — Ау + 40 = 0.

Уравнение прямой приводится к виду:

³, о.

у = —х +10.

Подставляя эго выражение у в уравнение окружности L:

х* +

• -х + 10
• 4

= 25,.

после упрощений получаем:

5а'² + 48х +240 = 0.

Так как дискриминант D = 24² — 5 • 240 < 0, то это уравнение не имеет (действительных) корней. Поэтому прямая и окружность не пересекаются (рис. 3.15).

Пример 3.6.

L: х²+у² = 25,.

I: З. т — Ау + 25 = 0.

Подставляя выражение у = —х + —, полученное из уравнения прямой /, в уравнение окружности L, после упрощений получаем квадратное уравнение:

Рис. 3.15.

имеющее два совпадающих корня: .г, = х_г = -3. Следовательно, окружность и прямая имеют единственную общую точку А/|(-3; 4), в которой прямая касается окружности (рис. 3.16).

Рис. 3.16.

Задача 3.8

Найти прямую I, проходящую через начало координат и касающуюся окружности L, заданной уравнением {х — 2)² + у² = 2.

Решение

Уравнение искомой прямой ищем в виде: у = kx. Определим угловой коэффициент k таким образом, чтобы прямая и окружность имели единственную общую точку. Подставив выражение у = kx в уравнение окружности, получаем.

Тождественными преобразованиями приводим это уравнение к виду:

Это квадратное уравнение относительно х имеет единственное решение (х₂ = л,), если дискриминант D равен нулю. Поскольку D = 2 — 2к², то D = 0 при к = ±1. Таким образом, через начало координат проходят две прямые у = х и у = -х, касающиеся данной окружности в точках М, и М₂ (рис. 3.17).

Рис. 3.17.

Рекомендуем читателю определить самостоятельно координаты точек касания прямых с окружностью и угол, под которым пересекаются касательные.