Код Хемминга. 
Код Хемминга

[2] Код Хемминга — вероятно, наиболее известный из первых самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Построены применительно к двоичной системе счисления. Позволяет исправлять одиночную ошибку (ошибка в одном бите) и находить двойную.

Построение кодов Хэмминга основано на принципе проверки на четность числа единичных символов: к последовательности добавляется такой элемент, чтобы число единичных символов в получившейся последовательности было четным.

знак здесь означает сложение по модулю 2.

.

— ошибки нет, S = 1 однократная ошибка и т. д. Такой код называется или. Первое число — количество элементов последовательности, второе — количество информационных символов. Для каждого числа проверочных символов существует классический код Хэмминга с маркировкой:

то есть —. При иных значениях k получается так называемый усеченный код, например, международный телеграфный код МТК-2, у которого. Для него необходим код Хэмминга, который является усеченным от классического. Для Примера рассмотрим классический код Хемминга. Сгруппируем проверочные символы следующим образом:

(1).

знак здесь означает сложение по модулю 2.

Получение кодового слова выглядит следующим образом:

=.

На вход декодера поступает кодовое слово где штрихом помечены символы, которые могут исказиться в результате помехи. В декодере в режиме исправления ошибок строится последовательность синдромов:

называется синдромом последовательности.

Получение синдрома выглядит следующим образом:

V * H^T = S.

=.

Кодовые слова кода Хэмминга.

Таблица 1. Кодовые слова кода Хемминга (7,4)

Синдром указывает на то, что в последовательности нет искажений. Каждому ненулевому синдрому соответствует определенная конфигурация ошибок, которая исправляется на этапе декодирования. Для кода в таблице 2 указаны ненулевые синдромы и соответствующие им конфигурации ошибок (для вида:).

Рис. 1. Схема кодера кода Хэмминга.

Рис. 2. Схема декодера кода Хэмминга.

Таблица 2. Синдромы и конфигурации ошибок