Применение метода Галеркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести

Задачи расчета на устойчивость сжатых стержней с учетом физической нелинейности материала рассматриваются в работах [1−10]. Как правило, решение этих задач сводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго или четвертого порядка относительно прогиба. В случае шарнирного опирания стержня разрешающее уравнение имеет вид [5]:

.

Решать данное уравнение в работе [5] предлагается методом конечных разностей. Однако этот метод не очень удобен, если стержень имеет переменную по длине геометрию сечения, особенно в том случае, когда жесткость стержня изменяется дискретно.

Рассмотрим решение уравнения (1) методом Галёркина. Сущность этого метода заключается в том, что сначала задаются базисными функциями, которые должны удовлетворять граничным условиям, затем в исходное уравнение подставляют приближенное решение и вычисляют его невязку. Далее выдвигается требование ортогональности невязки к базисным функциям.

Широко используется метод Галёркина в сочетании с методом конечных элементов, то есть когда в качестве базисных функций применяются функции формы.

Для линейного конечного элемента прогиб в произвольной точке выражается через узловые перемещения в виде:

.

где .

Продифференцировав выражение (2) по x, получим:

.

Применение метода Галёркина к уравнению (1) приводит к условию:

Интеграл по длине стержня можно разбить на сумму интегралов по длине каждого элемента:

Чтобы понизить порядок производной в интеграле, применим интегрирование по частям:

.

Рассмотрим остальные слагаемые, входящие в выражение (4):

;

.

В случае, когда сила F приложена с эксцентриситетом e, момент .

.

Если стержень имеет начальное искривление, то .

Окончательно условие (3) можно записать в виде:, где — матрица жесткости всего стержня, получаемая суммированием локальных матриц жесткости элементов.

.

для случая приложения силы с эксцентриситетом.

— если стержень имеет начальный прогиб.

Для сравнения результатов расчета по методу Галеркина с решениями других авторов будем использовать уравнение связи Максвелла-Гуревича. Данное уравнение применяется в работах[1−5, 7,8]. Оно имеет вид ,.

где — функция напряжений, — коэффициент релаксационной вязкости.

Вычисления выполнялись для полимерного стержня прямоугольного сечения размерами b=15мм и h=8мм, материал ЭДТ-10. При расчетах использовались следующие значения: l=157 мм, F=68кг, E=295 кг/мм2, E?=315 кг/мм2, m*=0.35 кг/мм2, з0=109 кг· с/мм2, e=0,16 мм. Сравнение результатов расчета с работами И. И. Кулинича [5] и академика В. И. Андреева [4] для случая, когда, представлено в табл.1.

Таблица № 1 Сравнение результатов расчета различных авторов.

где — результат, полученный И. И. Кулиничем; - результат, полученный академиком РААСН, проф. В. И. Андреевым; - результат, полученный авторами. За здесь обозначены напряжения в середине пролета.

Для сравнения был проведен расчет ступенчатого стержня той же массы, состоящего из 5 участков. График изменения ширины сечения b показан на рис. 1. шарнирный стержень сечение прогиб На рис. 2 и 3 показаны соответственно графики роста стрелы прогиба для стержней постоянного и переменного сечения. Как видно из графиков,.

Рис. 1. — График изменения ширины сечения b критическое время для стержней переменной жесткости при той же массе больше почти в 4.5 раза, что свидетельствует об экономической эффективности их применения.

Рис. 2.— График изменения стрелы прогиба для стержня постоянного сечения

Рис. 3. — График изменения стрелы прогиба для стержня переменного сечения

• 1. Андреев В. И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: дис. канд. техн. наук. — М., 1967.
• 2. Кулинич И. И. Устойчивость продольно-сжатых стержней переменной жесткости при ползучести: дис. канд. техн. наук. — Ростов-на-Дону, 2012.
• 3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1975.
• 4. Языев С. Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств: дис. канд. техн. наук. — Ростов-н/Д, 2010.
• 5. Egorov Y.V. On the Lagrange problem about the strongest colonn // Rapport Interne 02−16. Universite Paul Sabatier, Toulouse. 2002. — С. 1−7.
• 6. Bleich H.H. Nonlinear creep deformations of columns of rechtangular cross section // Iourn. of Appl. Mech. Dec. 1959