К вопросу нахождения оптимальных потерь мощности в электроэнергетических сетях на основе решения транспортной задачи методом потенциалов

В настоящее время все больше и больше ужесточаются требования к внедрению энергосберегающих технологий практически во всех областях производства и распределительных сетей электроэнергии. Возникающий дефицит мощностей, связанный с потерями электроэнергии, рост цен на услуги ее транспортировки вызывают необходимость поиска экономии как за счет снижения потерь мощностей, так и за счет эффективного ее распределения.

Одним из перспективных направлений в области оптимизации в электроэнергетических сетях являются пути усовершенствования систем эксплуатации и оптимизации схем распределительных сетей, в основу которого положены задача линейного программирования и ее модификации — такие как транспортная задача.

Известно, что транспортная задача — это задача, связанная с нахождением таких путей доставки готового продукта от пунктов производства к пунктам потребления, при которых общая стоимость транспортировки будет оптимальной. Несомненно, что такая математическая модель этой задачи может быть использована и в электроэнергетике, где под продуктом следует понимать электрическую мощность, передаваемую от источников энергии к потребителям по линиям электропередач.

В качестве потребителей электроэнергии выступают как городские, так и сельскохозяйственные, промышленные предприятия как краевого, так и районного подчинения, включая промышленных, сельскохозяйственных и индивидуальных потребителей.

В общем случае оптимизации подлежать затраты на формирование (проектирование) схемы электрической сети [1, 2, 3], которая состоит из линий электропередачи, связывающей узлы источников электроэнергии и узлы ее потребителей.

В настоящее время на базе использования математической модели транспортной задачи решено достаточно много задач электроэнергетики как в части оптимизации схем электроэнергетической сети, так и в части нахождения оптимального пути ее транспортировки, а также в области проектирования возможного варианта расположения узлов и варианта сооружения линий электропередач.

Основополагающим фактором в этих задачах являлось введение удельных затрат на транспортировку мощностей по линиям между узлами источников и потребителей, которые подлежат оптимизации и представление этой задачи в виде матрицы.

В работе [3] проведен полный расчет проектируемой электрической сети межрегиональной сетевой компании с использованием транспортной задачи и представлена матрица, рассчитанная по определенному алгоритму. Полученное решение является допустимым, а найденные в результате расчетов свободные переменные:, ,, ,, , позволили значительно упростить электрическую сеть компании, найти оптимальные пути транспортировки электроэнергии, существенно уменьшить потребление дорогостоящего проводника (рисунок 1).

Рисунок 1 — Схема электрической сети, отвечающая допустимому решению Последнее явилось исходным материалом для решения поставленной в этой работе задачи оптимизации потери мощностей в сети электро-передачи на базе использования метода потенциалов (метод улучшения допустимого решения).

С целью более детального рассмотрения метода потенциалов сформулируем поставленную задачу следующим образом, применительно к полученному допустимому решению.

Из трех источников электроэнергии, с соответствующей мощностью М_Иi (где i=), необходимо эффективно транспортировать электро-энергию, снижая потери между узлами источников энергии и узлами потребителей М_{Пj (}где j=).

Составим математическую модель, вводя, как и ранее, удельные стои-мости транспортировки электроэнергии от источников к потребителям, обозначив их через Z_ij в виде матрицы {Z_ij}.

Запишем математическую модель задачи:

Z_ij=

Составим опорный план по правилу минимального элемента, и запишем в виде матрицы (таблица 1).

потеря мощность электроэнергетическая сеть Таблица 1.

Обозначим излишек нераспределенной мощности от поставщика М^*_Иi, и недостаток в поставке мощности потребителю через М^*_Пj.

Находим первую строку и первый столбец таблицы 1 с минимальной удельной стоимостью на транспортировку единицы мощности — в нашем случае она равна 1,1. Помещаем в эту клетку вместо нуля меньшую из величин М^*_И1=55, М^*_П1=15. В результате в первом столбце установился баланс мощностей, но в первой строке данной таблицы баланс не установлен.

Поступаем аналогично, находим следующую клетку с минимальной удельной стоимостью транспортировки по этой же строке — в нашем случае она равна 1,3 и помещаем в нее меньшее из чисел М^*_И1=40 (излишек), М^*_П1=30.

Повторяем перечисленные выше операции для первой строки второго столбца в рабочей матрице, внося меньшую из величин М^*_П2=20 и М^*_И1=10 (остаток).

В результате проведенных манипуляций установится баланс мощностей по первой строке и первому столбцу транспортной матрицы таблицы 1, а в оставшиеся клетки первой строки и столбца вносим нулевые значения.

Для оставшихся клеток матрицы повторяем аналогичную процедуру, начиная со второй строки и второго столбца, находим клетку — Z₁₄=2,0, вносим меньшее из значений М^*_П4=20 и М^*_И2=35.

Повторяя операцию, находим клетку с минимальным значением Z₂₅=2,1 и вносим в нее меньшее из М^*_И2=15 и М^*_П5=20.

В результате установлен баланс по всем строкам и столбцам транспортной матрицы.

Таблица 2.

Транспортные расходы при транспортировке электрической энергии от источников к потребителям, согласно таблице 2, составят:

Z=Z11X11+Z12X12+Z13X13+Z24X24+Z25X25+Z32X32+Z35X35=.

=15*1,1+10*1,5+30*1,3+20*2,0+15*2,1+10*2,1+10*2,3=186.

Как видно из приведенного выше алгоритма, метод нахождения допустимого решения достаточно трудоемок, поскольку нахождения его для соответствующей свободной переменной необходимо строить цикл, и каждый раз определять изменение целевой функции.

С целью улучшения полученного допустимого решения воспользуемся методом потенциалов, учитывая, что загруженных клеток семь, а свободных неизвестных восемь, приходим к выводу, что план является нецикличным (ацикличный).

Введем для этого в рассматриваемую матрицу таблицы 2 каждой строке — U_i и столбцам — V_j, соответствующие потенциалы U_i и V_j, связанные с базисной переменной Z_ij соотношением:

Z_ij= U_i + V_j (1.1) где i=; j=

Z_ij — удельные затраты на транспортировку единицы мощности по линиям, между узлами источников и потребителей.

Полагая, что U₁ =0 определим остальные значения потенциалов по строкам и столбцам — U₂, U₃, V₁, V₂, V₃, V₄, V₅, используя соотношение (1.1), учитывая, что нам известны U₁ =0, а Z_ij в занятых клетках матрицы тоже известны.

Получим:

U₁ =0, V₁= Z₁₁ — U₁ = 1,1 — 0=1,1

V₂= Z₁₂ — U₁ = 1,5 — 0=1,5

V₃= Z₁₃ — U₁ = 1,3 — 0=1,3

U₂= Z₂₅ — V₅ = 2,1 — 1,7=0,4

U₃= Z₃₂ — V₂ = 2,1 — 1,5=0,6

V₅= Z₃₅ — U₃ = 2,3 — 0,6=1,7

V₄= Z₂₄ — U₂ = 2,0 — 0,4=1,6

Определим значения оценок, то есть разницу между прямыми и кос-венными удельными затратами на транспортировку единицы мощности идущего от источника к потребителям, обозначив их соответственно, для свободных клеток матрицы (таблица 2):

= U₁+V₄) = 1,7 — (0+1,6) =0,1;

= U₁+V₅) =1,8 — (0+1,7) =0,1;

=U₂+V₁) = 1,8 — (0,4+1,1) =0,3;

U₂+V₂) = 2,2 — (0,4+1,5) =0,3;

U₂+V₃) = 2,3 — (0,4+1,3) =0,6

U₃+V₁) = 1,7 — (0,6+1,1) =0

U₃+V₃) = 2,5 — (0,6+1,3) =0,6

U₃+V₄) = 2,1 — (0,6+1,6) =-0,1.

Как видно из полученных расчетов имеет место клетка таблицы с отрицательной оценкой, а именно третья строка и четвертый столбец — Z₃₄= 2,1. Строим для нее цикл на основе минимального значения Z_ij

Таблица 3.

Найдем функцию цели:

Z=Z₁₁X₁₁+Z₁₂X₁₂+Z₁₃X₁₃+Z₂₄X₂₄+Z₂₅X₂₅+Z₃₂X₃₂+Z₃₄X₃₄=

=15*1,1+10*1,5+30*1,3+10*2,0+25*2,1+10*2,1+10*2.1=186

Выбираем опять клетку таблицы с наименьшей оценкой и строим для нее цикл, перемещая мощность в 10 удельных единиц, прибавляя там, где стоит знак «+» и вычитаем там, где стоит знак «-» .

В результате перемещений по построенному циклу получаем новый план:

Проверим полученный план на оптимальность. Для этого подсчитаем потенциалы для клеток таблицы, содержащих свободные переменные:

U₁ =0

U₁+ V₄; V₄= 1,7 — U₁=1,7

U₁+ V₅; V₅= 1,8 — U₁=1,8

U₂+ V₁; V₁=1,8 — U₂=1,5

= U₂+ V₂; V₂=2,2 — U₂=0,4

= U₂+ V₃; U₂=2,3 — V₃=0,3

U₃+ V₁; V₁=1,7 — U₃=1,2

= U₃+ V₃; V₃=2,5 — U₃=2,0

= U₃+ V₅; U₃=2,3 — V₅=0,5

Определяем значение оценок для всех свободных клеток матрицы таб-лицы 4:

= U₁+V₄) = 1,7 — 1,7=0;

= U₁+V₅) =1,8 — 1,8=0;

=U₂+V₁) = 1,7 — (0,3+2,1) =0,2;

U₂+V₂) = 2,2 — (0,3+0,4) =1,5;

U₂+V₃) = 2,3 — (0,3+2,0) =0;

U3+V1) = 1,7 — (0,3+1,5) =-0,1;

U₃+V₃) = 2,5 — (0,5+2,0) =0;

U₃+V₅) = 2,3 — (0,5+1,5) =0,3.

Как видно из полученных расчетов имеет место клетка таблицы с отрицательной оценкой, а именно третья строка и первый столбец — Z₃₁= 1,7, то есть план для нее не является оптимальным. Строим для нее цикл, перемещая по циклу мощность в 10 удельных единиц, прибавляя там, где стоит знак «+» и вычитаем там, где стоит знак «-» .

В результате проведенных операций получаем новый опорный план (таблица 4).

На основе полученного нового плана найдем уже для него значение целевой функции:

Z=Z₁₁X₁₁+Z₁₂X₁₂+Z₁₃X₁₃+Z₂₄X₂₄+Z₂₅X₂₅+Z₃₁X₃₁+Z₃₅X₃₅=

=5*1,1+20*1,5+30*1,3+10*2,0+25*2,1+10*1,7+10*2,1=185

Таблица 4.

Мощность, передаваемая по проектируемым линиям электропередач, связывающая потребителей с источниками питания является искомой величиной и обозначается, как и ранее, Х_ij.

Таким образом, можно сделать заключение, что в результате использования метода потенциалов удается более эффективно определить оптимальное решение на основе улучшенного решения (таблица 4) и получить схему оптимальной электрической сети.

Учитывая условие (1.1) перевод любой другой переменной в базис приведет к увеличению Z_ij. Следовательно, полученное решение оптимально, а схема электрической сети, соответствующая этому решению, представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 — Схема оптимальной электрической сети Обсуждая полученный результат, можно сделать вывод, что решение задачи оптимизации потерь мощности в электроэнергетических сетях базируется на использовании транспортной задачи и представления транспортной матрицы размерности n*m (где n — количество источников питания, а m — количество потребителей). На основе представленной матрицы находятся допустимые решения по правилу минимального элемента удельной стоимости.

Следующим шагом на основе полученного допустимого решения, используя метод потенциалов (1.1) находим улучшенное допустимое решение, а затем проверяем его на оптимальность.

Полученный таким образом алгоритм позволяет легко запрограммировать все вычисленные операции и быстро получить результат оптимизации потерь мощности в проектируемой электроэнергетической сети, что обеспечивает снижение экономических и технологических затрат.

• 1. Аввакумов В. Г. Постановка и решение электроэнергетических задач исследования операций. — Киев: Вища школа, 1983.
• 2. Костин В. Н. Оптимизационные задачи электроэнергетики Учебное пособие — СПб.: СЗ гзту. Издательско-полиграфическая ассоциация вузов Санкт-Петербурга, 2003.
• 3. Степанов В. В. Степанов. Оптимизация поставки электроэнергии на примере использования транспортной задачи. — / В. В. Степанов, М. В. Степанова, В. В. Степанов. Сборник научных статей XVII всероссийская научно-практическая конференция (заочная)" Инновационные технологии в образовательном процессе, Краснодар, 2015.
• 4. Степанов В. В. Применение транспортной задачи для оптимизации в межрегиональных сетевых компаниях передачи электроэнергии. — / В. В. Степанов, М. В. Степанова, Ю. А. Кабанков. «YI Международная научно-практическая конференция молодых ученых, посвященная 55-й годовщине полета Ю. А. Гагарина в космос», Краснодар, 2016.
• 5. Курицкий Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL 7.0. — СПб.: ВНV, 1997.