Переход к безразмерному виду

Система уравнений

Обозначим через — концентрацию катионов соли, а — коэффициент диффузии электролита и перейдем к безразмерным величинам:

, ,, ,, ,, 1, 2, 3, 4,.

, ,, ,.

.

где, , причем для идеально селективной мембраны .

Параметр представляет собой квадрат отношения концентрации ионов или в нейтральном растворе () к концентрации электролита, а параметр представляет собой удвоенный квадрат отношения дебаевской длины к толщине диффузионного слоя .

При реальных значениях концентрации раствора и толщины диффузионного слоя параметры и можно рассматривать как малые параметры, поскольку их реальные значения находятся в диапазоне от и и от до соответственно, а как большой параметр, поскольку константа скорости диссоциации и рекомбинации достаточно велика, причем — большой параметр.

Зависимость безразмерной плотности тока от безразмерной напряженности электрического поля согласно (11) можно записать.

. (12).

Вместо (12) удобнее использовать условие, где скачок потенциала на границе мембрана/ раствор, в квазиравновесной ОПЗ. Можно показать [4], что пропорционально, где. Следовательно, (12) можно записать в виде .

С учетом соотношения Нернста-Эйнштейна безразмерная система из семи обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) имеет вид:

, (13).

. (19).

Замечание 2. Умножим уравнение (17) на, а (19) на и вычтем, тогда с учетом, получим:

или (20).

. (21).