Гистограммы распределения. 
Бизнес-статистика

Гистограмма представляет собой один из видов столбиковой диаграммы, дающей наглядное представление того, с какой частотой повторяется то или иное значение измеряемого параметра. Она может быть построена на основании контрольного листка. Например, имеем вариационный ряд (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Распределение деталей по размеру.

Графическое изображение выровненного ряда можно представить в виде полигона распределения (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Полигон распределения.

Размер деталей, см Если данные ежедневных измерений конкретного параметра, полученных за определенный период, например за месяц (число наблюдений должно составлять не менее 30, а еще лучше иметь 100 наблюдений) сгруппировать по величине изучаемого признака (по весу, диаметру и т. п.) и для каждого интервала указать частоту попадания наблюдений, то получим распределение значений изучаемого параметра в виде интервального вариационного ряда. Графическое представление такого ряда распределения называется гистограммой.

Представим данные рассмотренного примера в виде интервального вариационного ряда, предполагая измерение параметров с точностью до 0,0001 (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Распределение деталей по размеру.

Графическое изображение этого вариационного ряда в виде гистограммы представлено на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Гистограмма распределения.

Принято сравнивать полученное распределение с контрольными нормативами. Поскольку согласно чертежу был установлен допуск 8,5 ± 0,008, то размер детали мог варьировать от 8,492 до 8,508. Фактически вариация размера детали составила от 8,495 до 8,506, т. е. меньше, чем по чертежу. В результате все детали, попавшие под выборочный контроль, соответствуют чертежу. Это значит, что станок может обеспечить выпуск деталей в пределах поля допуска со значительным запасом точности. Если ширина поля допуска совпадает с фактической вариацией размера детали, то считается, что может произойти сдвиг кривой распределения в ту или другую сторону относительно поля допуска, что приведет к появлению брака. Также проводится сравнение среднего значения по выборке со средней по допуску. Выборочная средняя опре;

деляется как средняя арифметическая навешенная х-Щ, где л ;

значение измеряемого признака (по интервальному ряду — середина интервала);/— частота вариационного ряда. В примере выборочная средняя равна 8,500 073, т. е. практически совпадает с центром допуска 8,5, что и свидетельствует о хорошем качестве проверяемых деталей. По вариационному ряду определяются также мода (значение признака с наибольшей частотой) и медиана (значение признака, которое делит ранжированный ряд пополам).

В примере, исходя из установленной точности измерения 0,001, для расчета моды (Мо) и медианы (Me) удобно пользоваться дискретной формой ряда. Графически дискретный ряд представляется в виде полигона распределения. В этом случае мода определяется визуально как значение признака с максимальной частотой. По данным примера мода составит 8,5 см. Для оценки медианы определяются накопленные частоты (нарастающие итоги), которые показывают число наблюдений с величиной параметра не более представленного в рассматриваемой группе. Так, по табл. 6.3 накопленные частоты составят: 1 с размером детали 8,495; 3 с размером детали не более 8,496; 7 с размером детали не более 8,497; 13 — с размером детали не более 8,498 и т. д. (накопленные частоты могут быть представлены в контрольном листке). Первая из накопленных частот, содержащая номер медианы, показывает расположение медианы в ряду распределения. Номер медианы определяется как ?//2 при четном числе наблюдений или ?/+½ при нечетном числе наблюдений. В примере номер медианы составит 28. Ему соответствует накопленная частота 33, а ей — значение 8,5, что и составит величину медианы. Если выборочная средняя, мода и медиана совпали, что имеет место в примере, то распределение является симметричным и качество отобранных деталей признается удовлетворительным.

По интервальному ряду мода и медиана определяются по следующим формулам:

где х₀ — нижняя граница модального интервала; i — величина модального интервала; Д1 — разность частот модального и предмодального интервалов; Д2 — разность частот модального и послемодального интервалов;

где х₀ — нижняя граница медианного интервала; i — величина медианного интервала; — номер медианы; F_M__г — накопленная частота предмедианного интервала; /_м — частота медианного интервала.

В примере для расчета моды по табл. 6.4 используем следующие значения: х₀ = 8,4995; i = 0,001; Д1 = 11 — 9 = 2; Д2 = 11 — 8 = 3. Откуда 2.

Мо = 8,4995 + 0,001^-j-^ = 8,4999 см, что практически совпадает с величиной моды, рассчитанной по дискретному ряду (8,5 см).

При расчете медианы используем следующие значения: х₍₎ = 8,4995; i =.

" 28−22 = 0,001; F_M_j = 22;/_м = 11. В результате получаем Me = 8,4995 + 0,001——— =.

= 8,500 045, что практически также совпадает с величиной моды по дискретному ряду (8,5).

В практике статистического контроля качества продукции интервалы замеров обычно небольшие, величина моды и медианы видна по контрольному листу и не требует применения особых формул.

При исследовании гистограммы обращают внимание на форму распределения: симметричное или асимметричное (правосторонняя или левосторонняя асимметрия). Если центр распределения смещен вправо, то имеет место правосторонняя асимметрия, при которой выборочная средняя больше моды и медианы (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Правосторонняя асимметрия.

В этом случае есть опасность, что некоторые изделия, не попавшие под выборочный контроль, могут выйти за верхний предел допуска. Существенное отклонение медианы от средней величины означает возможный разлад технологического процесса и вероятность появления брака. Информация может оказаться еще более полезной, если по полученному распределению частот определить и стандартное отклонение. Гистограммы предназначены для текущего контроля качества в процессе производства, а также изучения стабильности технологических процессов.