Столкновение частиц в потоках Риччи

Для моделирования изменения метрики при столкновении частиц используем потоки Риччи [11−18], которые описываются уравнением.

(9).

Здесь — коэффициент диффузии, которые в стандартной теории [11−18] полагают равным, однако в метрике (2) следует положить, тогда (9) сводится к системе уравнений параболического типа:

(10).

Сравнивая (10) и (5) находим, что для установившихся потоков при условиях система (10) сводится к (5). Обоснованием для такого перехода от статической системы (5) к системе уравнений параболического типа (10) может служить теория, развитая в работах [11−18] и других, а также теория геометрической турбулентности [27−28].

Физический смысл расширения статической модели (5) до модели (10), описывающей потоки Риччи, заключается в том, что по начальным и граничным условиям можно определить к каким решениям сходится решение системы уравнений (5), содержащее особенности, например, решение Зильберштейна (7).

С точки зрения теории Эйнштейна и Инфельда [7−9], движение частиц в потоках Риччи равносильно нулевому приближению, при котором частицы движутся свободно, создавая гравитационное поле. В следующем приближении между частицами возникает сила взаимодействия, которая изменяет параметры движения и т. д. Однако для многих практически важных задач, таких как слияние черных дыр [1−3], достаточно будет знать, как изменяется метрика бинарной системы при сближении центров гравитации с заданной скоростью. Модель потоков Риччи (10) позволяет ответить на этот и другие вопросы, связанные с изменением метрики.

Гравитационные волны в потоках Риччи

Заметим, что наряду с системой уравнений (10) должны также выполняться второе и третье уравнения системы (3). Очевидно, однако, что указанные уравнения не могут выполняться на произвольных решениях системы уравнений (11). Можно предположить, что возникающая при этом невязка должна компенсироваться в силу уравнения Эйнштейна (1) некоторым тензором энергии-импульса, что интерпретируется, как энергия гравитационных волн, свободно распространяющихся за пределы системы.

Для описания процесса распространения волн используем стандартную теорию поля [24], имеем.

(11).

Здесь описывают возмущение галилеевой метрики при прохождении гравитационной волны. Из уравнения (1) имеем для тензора в правой части (11) следующее соотношение.

(12).

Производя вычисления с учетом уравнений (10), находим компоненты тензора Эйнштейна в метрике (2) в потоках Риччи.

(13).

Используя (13) преобразуем уравнение (11) к виду удобному для численного интегрирования:

(14).

Учитывая выражения (13), распишем систему (14) покомпонентно, имеем.

(15).

Здесь обозначено. Система уравнений (19) позволяет определить распределение полей в дальней зоне, где метрика (2) стремится к галилеевой метрике [24]. Однако мы будем использовать эти уравнения и непосредственно в области соударения частиц.

Система уравнений (10), (15) решалась численно в прямоугольной области .

В качестве начальных и граничных данных для системы уравнений (10) использовалось решение Зильберштейна в форме (7). Будем предполагать, что частицы движутся навстречу друг другу с постоянной скоростью вплоть до соударения.

Таким образом, для уравнения (10) поставим следующую задачу о столкновении частиц, представленных сингулярностями поля:

Здесь — скорость частиц до соударения, — граница области, отделяющая область численного интегрирования от оси системы, содержащей сингулярные точки решений Зильберштейна (7).

Система уравнений (15) распадается на четыре независимых уравнения, поэтому сформулируем начальные и граничные условия для первого из них, остальные имеют аналогичный вид,.

(17).

Отметим, что условия (17) на границах области могут быть выполнены лишь приближенно при условии, что гравитационная волна, сформировавшаяся в области столкновения частиц, не выходит на границу области за время интегрирования .

На рис. 1−2 представлены результаты моделирования распространения гравитационных волн, образующихся при слиянии частиц в потоках Риччи, выполненные по (10), (15)-(17) при следующих значениях параметров:

(18).

Предполагается, что частицы после столкновения в момент времени образуют новую частицу. В последующие моменты времени из системы излучается гравитационная волна, распространяющаяся со скоростью света. Вычислительный процесс останавливается в момент времени, когда фронт основной волны еще не достиг границы области. К этому моменту формируется волновой импульс, имеющий вид резкого всплеска с последующими затухающими колебаниями — рис. 2.

Рис. 1 Распределение в различные моменты времени при образовании гравитационных волн в процессе столкновения и слиянии частиц равной массы в потоках Риччи в аксиально-симметричной метрике: параметр времени указан над рисунками

Положим. На рис. 2 приведены зависимости функции от времени в фиксированных точках. Из этих данных следует, что при увеличении расстояния до точки слияния частиц (совпадает с началом координат) в два раза, амплитуда уменьшается в два раза в направлении .

Рис. 2 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (18)

На рис. 3−4 представлены результаты моделирования распространения гравитационных волн, образующихся при столкновении и слиянии частиц в потоках Риччи, выполненные по (10), (15)-(17) при следующих значениях параметров:

(19).

Данные на рис. 3−4 получены в предположении, что частицы после столкновения в момент времени образуют новую частицу. Вычислительный процесс останавливается в момент времени. Отметим, что волны возникают в силу нелинейности уравнений (10), тогда как в линейном случае при монотонных граничных условиях (16) потенциалы также должны изменяться монотонно. Природа этих волн такая же, как у волн, возникающих при слиянии черных дыр [1−3] и нейтронных звезд [6] - возмущение метрики, обусловленные слиянием двух сингулярностей поля в одну. Развитая выше теория позволяет детально исследовать влияние параметров задачи на частоту и амплитуду гравитационных волн.

Рис. 3 Распределение функции в различные моменты времени при образовании гравитационных волн в процессе столкновения и слиянии частиц равной массы в потоках Риччи в аксиально-симметричной метрике: скорость частиц в два раза меньше, чем для данных на рис. 1.

Так, при уменьшении скорости столкновения частиц в два раза характерный период колебаний увеличился в 2 раза [10] - рис. 2, 4. Влияние скорости соударения на амплитуду является различным в ближней и дальней зоне, что обусловлено длительностью формирования цуга гравитационных волн. В ближней зоне при это влияние практически отсутствует. С другой стороны, в работе [10] было установлено, что при увеличении массы частиц амплитуда колебаний потенциала увеличивается пропорционально произведению масс .

Рис. 4 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (19)

Особый интерес представляют хаотические колебания, возникающие в нелинейной системе (10) и усиливаемые волновыми уравнениями (15) — рис. 5−6. Как известно, в составе сигнала события GW150914 был обнаружен шум неизвестной природы [1, 3], что в классическом случае может соответствовать задаче трех тел [29]. Однако численные эксперименты с моделью столкновения частиц в потоках Риччи позволяют обнаружить хаотическое поведение гравитационных потенциалов и в случае двух тел — рис. 7.

Рис. 5 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в варианте решения с данными (18)

На рис. 5−6 представлены данные численного решения задачи (10), (15)-(17) с данными (18)-(19) соответственно, демонстрирующие хаотическое поведение функции, обусловленное хаотическим поведением гравитационных потенциалов — рис. 7. Из данных на рис. 5−7 следует, что хаотические колебания развиваются в узком слое, прилегающем к границе расчетной области .

Рис. 6 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (19)

Рис. 7 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (19)

На рис. 7 представлены результаты моделирования производной по времени гравитационного потенциала, фигурирующей в качестве источника в системе уравнений (15) в задаче о столкновении и слиянии двух тел с исходными данными (19).

Из приведенных данных следует, что вблизи границы наблюдается хаотическое поведение, чем и объясняется наличие шума в зависимости от времени в указанной области — рис 6−7.

На рис. 8 представлены данные численного решения задачи (10), (15)-(17) с данными (19), демонстрирующие хаотическое поведение функций, обусловленное хаотическим поведением гравитационных потенциалов. Из приведенных на рис. 8 данных следует, что и в этом случае хаотические колебания развиваются в слое, прилегающем к границе расчетной области .

Рис. 8 Зависимости функций от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в варианте расчетов с данными (19)

Отметим, что амплитуда функций в области слияния частиц довольно велика — рис. 8, что указывает на неприменимость линейной теории в этой области. В этом случае необходимо использовать теорию нелинейных гравитационных волн. Однако решение этой задачи выходит за рамки настоящей работы.

Наконец, заметим, что развитая теория излучения гравитационных волн при слиянии сингулярностей в потоках Риччи может оказаться полезной в решении задач астрофизики, связанных с интерпретацией экспериментальных данных [1−3].