Поле Янга-Миллса в магнитном пространстве Фарадея

В работе [38] было найдено полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля. Для наших целей представляет интерес метрика:

(41).

Здесь — произвольные постоянные,.

.

— есть гауссова кривизна квадратичной формы.

.

Отметим, что уравнения Эйнштейна имеют вид [37−38].

(42).

• — метрический тензор пространства Минковского сигнатуры (- + + +) и тензор Риччи соответственно,
• — тензор энергии-импульса.

В нерелятивистском пределе имеем связь временной компоненты метрического тензора с гравитационным потенциалом.

(43).

Отметим, что при гравитационный потенциал (43) расходится как, что соответствует галактическому течению Хаббла [43]:

(44).

Здесь — постоянная Хаббла. Скорость течения Хаббла и гравитационный потенциал связаны соотношением.

(45).

Без ограничения общности положим в выражении (23).

.

Сравнивая (45) и (43) находим, что.

(46).

Для согласования размерностей надо предположить, что радиус в уравнении (43) выражается в гравитационных радиусах.

.

Тогда окончательно выражение (46) принимает вид.

(47).

Далее заметим, что параметр

зависит от тензора плотности энергии-импульса поля Янга-Миллса, включая плотность энергии-импульса электромагнитного поля, что в теории [38] описывается параметрами. Следовательно, скорость разбегания галактик в метрике (41) зависит от плотности энергии поля Янга-Миллса. С другой стороны, скорость разбегания галактик связана со скоростью расширения Вселенной в метрике (7) [24]. Таким образом, поле Янга-Миллса оказывает влияние на динамику электромагнитного поля в силу указанной выше связи тензора энергии-импульса электромагнитного поля с метрикой в форме уравнений Эйнштейна.

Как известно, теория Янга-Миллса [44] была предложена для объяснения сохранения изотопического спина. Согласно [45], изотопическому спину сопоставляется калибровочное поле, связанное с изотопическим спином, аналогично тому, как электромагнитное поле связано с электрическим зарядом. Дальнейшее развитие теории и концепции цвета [46] привело к созданию квантовой хромодинамики, в которой поле Янга-Миллса представляется как динамическая система, состоящая из восьми взаимодействующих цветовых полей [47].

В работе [30] мы рассмотрели уравнения Янга-Миллса в произвольных системах отсчета, допускаемых принципом относительности Эйнштейна. Преобразование уравнений Янга-Миллса к подвижным осям осуществляется по стандартной схеме [47]. Рассмотрим динамическую систему, включающую метрический тензор, поле Янга-Миллса и поле, которое преобразуется как тензор при координатных преобразованиях и реализует матричное представление поля Янга-Миллса. Лагранжиан системы имеет вид.

(48).

Здесь, как и выше, полагаем.

.

— тензор Риччи; - космологическая постоянная; - тензор Римана, — символы Кристоффеля второго рода;

.

точкой обозначено ковариантное дифференцирование:

(49).

— компоненты поля Янга-Миллса и генераторы группы соответственно. Как известно, в этом случае выполняются коммутационные соотношения.

(50).

Уравнения поля, которые соответствуют каждому из действий (48) с индексом имеют вид.

(51).

При совместном действии гравитационного поля, поля Янга-Миллса и скалярного поля имеем.

(52).

Здесь тензор плотности энергии-импульса и плотность тока Янга-Миллса определяются соответственно как.

(53).

Последние два условия на дивергенцию плотности тока и тензора плотности энергии-импульса являются следствием динамических уравнений (52).

И так, мы видим, что локально поле Янга-Миллса нарушает симметрию магнитного пространства Фарадея, поскольку вносит свой вклад в тензор энергии-импульса, аналогично материи. Но в отличие от инертной материи поле Янга-Миллса занимает все доступное пространство, создавая макроскопический эффект подобно электромагнитному полю [35, 36, 38, 47]. Из первого уравнения (52) следует, что в природе нет чисто электродинамических эффектов в магнитном пространстве Фарадея, но в каждом случае следует оценивать вклад поля Янга-Миллса.

С другой стороны, известно, что в линейном случае поле Янга-Миллса распадается на 8 электромагнитных полей [47]. В этом случае, рассматривая макроскопическое поле Янга-Миллса как линейную комбинацию 8 полей, приходим к варианту теории, описывающей магнитное пространство Фарадея в форме уравнений Эйнштейна (27) или (28). Таким образом, мы показали, что метрика расширяющейся Вселенной является источником электромагнитных полей и полей Янга-Миллса.