Уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU (2)

В метрике Минковского и при отсутствии тока уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU(2) принимают особенно простой вид, что равносильно.

(7).

Здесь — константа связи, — единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Динамическая модель [1] следует из (7), если мы положим, где — ортогональная матрица. Тогда система уравнений (7) приводится к виду.

(8).

Основные свойства системы уравнений (7) были изучены в работах [1−2, 25] и других. Было установлено наличие областей стохастичности в фазовом пространстве динамической системы (7). Часть результатов для модели (7) получено численными методами. Рассмотрим результаты численного интегрирования задачи Коши для системы уравнений (7). Введем новые обозначения.

(9).

Начальные значения задачи зададим в нормированном виде, считая вектор состоящим только из нулей и единиц. В уравнениях (8), напротив, введем два параметра, описывающих интенсивность взаимодействия цветовых полей, имеем.

(10).

Данные задачи для системы уравнений (10) описываются листами, которые указаны на рис. 1−3. Примечательной особенностью траектории системы (10) является накопление решений в двух областях, имеющих форму усеченной пирамиды с прямоугольником в основании, разделенных зоной «хаоса» — рис. 1. Траектория вектора ускорения при таком движении заполняет две фигуры, имеющие своеобразную параболическую форму «цветка» с гладким основанием и ворсистой поверхностью.

Рис. 1. Динамика полей Янга-Миллса в трехцветной модели: параметры модели и начальные данные указаны на листах в верхней части рисунков в форме .

Отметим, что поле Янга-Миллса соответствует векторному потенциалу в электродинамике, а производная соответствует электрическому полю. Если предположить, что существует частица, движущаяся со скоростью, то ее траектория за длительное время движения заполняет куб — рис. 2−3.

Рис. 2. Динамика полей Янга-Миллса в трехцветной модели: параметры модели и начальные данные указаны на листах в верхней части рисунков в форме .

Траектория частицы на некоторых участках состоит как бы из прямых линий, которые при большом увеличении выглядят как бруски прямоугольного сечения, на которые навиты линии, образующиеся при колебаниях в трех плоскостях — смотрите правый верхний рис. 2.

Рис. 3. Динамика полей Янга-Миллса в трехцветной модели: параметры модели и начальные данные указаны на листах в верхней части рисунков в форме .

Отметим, что за длительное время движения траектория системы заполняет область шести лучевой звезды — левый рис. 3.