Математика как наука, ее становление и развитие. 
Изменение предмета математики в процессе ее исторического развития

Математика (греч. mathem alike, от mathema — знание, наука) — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Такова «чистая» математика.

Математика — универсальная наука

Всякая математическая теория есть обобщение. Она дает возможность решать большое число различных задач. Сила математики — в ее отвлеченности от частных, специфических свойств предметов и явлений. Именно это обстоятельство делает ее универсальной, пригодной для решения конкретных задач в любой сфере природы и общества. Выдающийся русский математик П. Л. Чебышев (1821 — 1894) отмечал, что всякое соотношение между математическими символами соответствует соотношению между реальными вещами, а математическое рассуждение равнозначно эксперименту безукоризненной точности, повторенному неограниченное число раз, и должно приводить к логически и материально безошибочным выводам. Таким образом, математические отвлечения направлены на разрешение конкретных вопросов практической деятельности человека. Встает вопрос: каким же образом математические отвлечения способствуют решению какой-то конкретной задачи?

К примеру, мы доказали теорему Пифагора о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы:

Знание приведенного выше равенства — это отвлеченное знание. Оно необходимо, чтобы находить определенный, конкретный ответ в задачах вычисления длин сторон прямоугольного треугольника.

Вспомним формулу разности квадратов двух чисел:

Эта формула в приведенном виде имеет отвлеченный математический смысл, однако в ходе практического применения наполняется конкретным содержанием. Предположим, что нам необходимо устно перемножить два числа, например 46 и 34. На основе приведенной формулы данное математическое действие можно представить в конкретном виде:

Получаем конкретный ответ — 1564.

Даже на одном этом примере очевидна связь отвлеченных математических понятий с конкретными знаниями — на их основе построены все вычисления, способы и приемы рационального, упрощенного решения тех или иных задач.

Математика, как и всякая наука, имеет свою историю развития. В ее периодизации принято выделять четыре основных периода:

• 1) период зарождения математики;
• 2) период математики постоянных величин]
• 3) период математики переменных величин;
• 4) период математики переменных отношений (современная математика).

Первый период

Для первого периода характерно формирование понятий «число» и «фигура», возникновение зачатков арифметики и геометрии, выработка приемов арифметических действий над натуральными числами. Однако на рубеже VI—V вв. до н.э. математики древности, считая и измеряя объекты, уже отвлекались от их конкретной качественной природы.

В этот период древнегреческий философ, религиозный и политический деятель Пифагор Самосский (VI в. до н.э.) обосновал религиозно-философское учение, получившее название — пифагореизм.

Его представители исходили из представления о числе как об основе всего сущего. По их представлениям, числовые соотношения — источник гармонии Космоса, структура которого мыслилась как физико-геометрическо-акустическое единство. Пифагореизм внес значительный вклад в развитие математики, астрономии и акустики того времени.

Второй период

С этого времени (VI—V вв. до н.э.) можно говорить о втором периоде развития математики. Возникло понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей свой предмет (число и фигура). Заканчивается данный период к началу XVII в.

Сравнивая начальные периоды развития математики, можно отметить, что для первого было характерно эмпирическое обоснование положений арифметики и геометрии, для второго — проникновение в математику отвлеченных рассуждений. Сохранившиеся тексты Древнего Египта, Древнего Китая, Древней Индии свидетельствуют о том, что математика этого периода располагает знаниями, имеющими выводной характер. Например, в Древнем Египте был известен способ нахождения объема усеченной пирамиды, а его нельзя получить эмпирически. Уже тогда были выработаны некоторые общие приемы, применяемые к однородным числовым задачам.

Древнегреческие математики пифагорейской школы еще в VI—V вв. до н.э. уделяли большое внимание логической доказательности математических построений, предпринимая попытки расположить цепь математических доказательств в определенной последовательности. Этот метод, получивший название «дедуктивного», развили Евклид и Архимед (ок. 287—212 до н.э.). Следует подчеркнуть, что их понятие доказательства ничем существенно не отличается от аналогичного понятия сегодня.

Как наука, математика окончательно сложилась только тогда, когда в ней начали систематически применяться логические доказательства, ее положения стали устанавливаться в общем виде, и выводиться не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений.

Характерно, что математика этого периода строится чаще всего не только на основе дедуктивного, но и аксиоматического метода. Под аксиоматическим методом понимается такое построение определенной научной дисциплины, когда ряд ее положений (аксиом) принимается без доказательства, а все остальные положения (теоремы) строго выводятся из аксиом по заранее фиксированным логическим законам или правилам. И в наше время этот метод широко применяется в различных науках (математике, физике, химии, биологии и т. д.).

Образцом аксиоматического построения геометрии и арифметики были «Начала Евклида» (III в. до н.э.). Несмотря на то что геометрия Евклида была далека от совершенства, заслуга ее автора, разработавшего аксиоматический метод и применившего его к геометрии и арифметике, неоспорима.

Еще одним достижением второго периода развития математики явилось создание алгебры. Возникновение и развитие алгебры означало переход на новую ступень абстракции: математики стали отвлекаться не только от качественных свойств предметов, как это имело место при введении понятия числа, но и от количественного назначения символов чисел. Например, если число 5 выражает общее свойство любых предметов быть в числе пяти, отвлекаясь от конкретной качественной природы объектов, то применение символов а, Ь, с, … позволило отвлечься и от конкретного количественного содержания чисел. Ведь символ «а» может означать и 2, и 5, и 10, и т. д.

Третий период

Третий период (середина XVII—XIX вв.) связан с дальнейшим расширением круга изучаемых количественных отношений и пространственных форм. Математика теперь уже не ограничивается числами и геометрическими фигурами, она отражает идеи непрерывности и движения. На первый план выдвигается понятие функции.

Возникновение аналитической геометрии означало открытие универсального метода перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа. Геометрия на некоторый период оказалась в подчиненном положении. Арифметику, алгебру и анализ с теорией функций стали рассматривать как части «чистой» математики, в качестве предмета которой понимали числа, величины и зависимости между ними. Геометрию же стали рассматривать как «прикладную» математику, применявшую результаты «чистой».

Появление и развитие дифференциального исчисления имело огромное преимущество, так как дифференциальные выражения с самого начала служили в качестве оперативных формул для нахождения реальных эквивалентов.

Четвертый период

Середину XIX в. принято считать началом четвертого периода — периода современной математики. С этого момента математическая теория стала настолько абстрактной, что перешагнула за пределы классической концепции математики, рассматривающей в качестве своего предмета числа и фигуры. Новые понятия и идеи привели к тому, что классическая концепция, хотя и продолжая официально признаваться большинством ученых, постепенно все более вступала в противоречие с действительным состоянием науки. Это противоречие до поры до времени еще удавалось разрешать путем отыскания соответствующих интерпретаций (или моделей) в других разделах математики.

В XIX—XX вв. возросла потребность в применении математического аппарата для описания новых теорий, создаваемых физиками, химиками, биологами и т. д. Если, например, до этого времени для описания механических явлений было достаточно приложений математического анализа, то.

5.2. Объективные предпосылки математизации естественно-научного знания 185 с возникновением электродинамики, теории магнетизма потребовались новые математические идеи. В соответствии с этим в математической науке появились новые понятия. Так, например, в алгебре к таким понятиям следует отнести мнимости Галуа, идеальные числа Куммера, векторы, кватернионы, /7-мерные пространства, поливекторы, тензоры, булеву алгебру и т. д.

Наглядно видно, как с развитием математики изменяется ее предмет. Происходит его усложнение — от изучения постоянных величин к изучению переменных величин и переменных отношений.