Уравнения движения гироскопа

Движение большинства гироскопич. систем таково, что если исключить кратковрем. переходные процессы, возникающие при ударах или при резких изменениях сил, действующих на систему, изменение ориентации осей роторов Г. относительно направлений на неподвижные звёзды происходит весьма медленно. При изучении такого прецессионного движения достаточно пользоваться элементарной теорией Г.

Рис. 4. Гироскоп с двумя степенями свободы

Исследование процессов, в течение к-рых оси роторов Г. совершают нутации, и решение вопросов устойчивости гироскопич. систем требуют учёта кинетич. моментов всех тел, входящих в состав гироскопич. системы. Соответствующие ур-ния движения являются ур-ниями нутац. теории Г. Дифференц. ур-ния нутац. теории имеют для данной гироскопич. системы более высокий порядок, чем ур-ния прецессионного движения. Однако решение задач нутац. теории упрощается тем обстоятельством, что во мн. случаях можно ограничиться рассмотрением малых движений методами теории малых колебаний.

Строго ур-ния движения Г. справедливы по отношению к инерциальной системе отсчёта, однако на практике движение гироскопич. систем приходится изучать по отношению к осям, связанным с тем подвижным объектом (судно, самолёт, ракета, Земля и др.), на к-ром эти системы установлены. Поэтому при составлении ур-ний в число действующих сил надлежит включать также переносные и Кориолиса силы, инерции, обусловленные перемещением объекта. Оказывается, что удобнее всего составлять ур-ния движения Г. по отношению к системе координат О с началом в центре 0 подвеса гироскопич. системы и с осями, не изменяющими своей ориентации относительно направлений на неподвижные звёзды, т. е. перемещающимися по отношению к инерциальной системе отсчёта поступательно. В этом случае кориолисовы силы инерции вообще отсутствуют, а все силы инерции переносного движения антипараллельны ускорению центра 0 в его движении относительно инерциальной системы отсчёта.

Скорость конца вектора собственного кинетического момента принимается геометрически равной главному моменту совокупности сил, приложенных к ротору.

В теории Г. с достаточным для практики приближением можно за инерциальную систему отсчёта принять невращающуюся систему координат с началом в центре Земли. Точно так же малая погрешность при подсчёте сил инерции переносного движения происходит, если за ускорение центра 0 подвижной невращающейся системы координат принять его ускорение относительно земной поверхности. В этом случае вместо действующих на массы частей гироскопич. системы сил тяготения к Земле следует брать силы тяжести. Для составления ур-ний движения Г. введём ещё систему осей 0x'y'z' с началом в той же точке 0, что и у системы 0 (точка 0 лежит где-то на оси симметрии ротора, напр. в центре его подвеса). Ось z' системы совпадает с осью симметрии ротора, но сама система Ox’y’z' не вращается вместе с ротором, будучи связанной, напр., с кожухом Г. Тогда ур-ния прецессионного движения ротора, симметричного Г. относительно осей, записанные в проекциях на оси Ox’y’z', имеют вид.

Они выражают (рис. 5) равенство (по числ. величине и направлению) скорости конца вектора собственного кинетич. момента и гл. момента относительно центра 0 сил, приложенных к ротору. В число этих сил должны быть включены переносные силы инерции, обусловленные поступат. движением системы отсчёта О. Величины и — проекции на оси х' и у' угловой скорости системы координат Ox’y’z' относительно системы, т. е. относительно направлений на неподвижные звёзды. Угловую скорость ротора относительно осей Ox’y’z' можно наз. угловой скоростью его собств. вращения. Вектор Н направлен по оси собств. вращения (рис. 6} ротора z', а его модуль можно принять равным.

где С — момент инерции ротора относительно его оси симметрии z' (полярный момент инерции), — угол поворота ротора относительно системы координат x’y’z'. Принимается также, что значительно превышает величину — проекцию угловой скорости системы координат на её же ось (на практике на 3−4 порядка). В большинстве случаев Н можно считать постоянным, т. к. обычно моменты сил, вращающих ротор, и моменты сопротивления этому вращению взаимно уравновешиваются. Соответственно, в 3-м из ур-ний (4) следует положить Мz'=0.

Рис. 6. Вектор собственного кинетического момента гироскопа

Система координат аbс связана с ротором гироскопа; она вращается относительно системы x’y’z' с угловой скоростью вокруг оси z', совпадающей с осью с. Момент инерции ротора относительно оси с (оси симметрии или оси собственного вращения) обозначен через С.

Более строгими ур-ниями движения ротора являются ур-ния, соответствующие нутац. теории Г., а именно:

где, А — момент инерции ротора относительно к—л. оси, перпендикулярной его оси симметрии и проходящей через центр О (экваториальный момент инерции). В ур-ниях (6), в отличие от ур-ний (4), принято, что система координат x’y’z' может иметь угловую скорость с произвольной составляющей вдоль оси симметрии ротора z'. B частности, эту систему можно связать с самим ротором. Тогда ур-ния обращаются в общеизвестные ур-ния Эйлера движения твёрдого осесимметричного тела (см. Эйлера динамические уравнения), осложнённые наличием в правых частях упоминавшихся выше переносных сил инерции.

Ур-ния (4) и (6) пригодны для изучения движения ротора Г., не стеснённого кардановым подвесом, напр. в случае шарового Г. (см. ниже), и вообще свободных тел (снаряд, небесные тела, искусств. спутники, космич. корабли). При наличии же карданова подвеса в состав сил, образующих моменты относительно осей х' и у', т. е. в выражения для Мх' и My', войдут неизвестные силы — нормальные реакции подшипников оси ротора. Для исключения этих сил, представляющих воздействие внутр. кольца подвеса (кожуха) на ротор, следует совместно с ур-ниями движения ротора рассматривать также и ур-ния движения элементов подвеса Г.

При составлении ур-ний прецессионного движения Г. в кардановом подвесе изменение кинетич. моментов элементов подвеса не учитывается. Поэтому совокупность сил, приложенных, напр., к внутр. кольцу подвеса (кожуху), следует считать статически эквивалентной нулю (уравновешенной). T. о., вместо ур-ний движения внутр. кольца фактически составляются ур-ния равновесия всех приложенных к нему сил, т. е. сил взаимодействия с внеш. кольцом, ротором Г. и его основанием, сторонних (внеш.) сил и сил инерции переносного движения. То же относится и к силам, приложенным к внеш. кольцу карданова подвеса.

После исключения нормальных реакций осей подвеса ур-ния прецессионного движения Г. в кардановом подвесе приводятся к виду.

Здесь mх', my', mz' - суммы моментов относительно осей х', у', z' соответственно всех сторонних сил и сил инерции переносного движения, действующих на ротор; Iх', Iy', Iz' - аналогичные суммы, относящиеся к внутр. кольцу подвеса (кожуху); M — сумма моментов относительно оси z' сил, действующих на ротор со стороны внутр. кольца (кожуха), т. е. сил, вращающих ротор, и сил сопротивления этому вращению (сил трения); L — сумма моментов относительно оси у' (или) кожуха (рис. 7) сил воздействия внеш. кольца карданова подвеса на внутр. кольцо (кожух); К — сумма моментов относительно оси (или) внеш. кольца сил воздействия основания Г. на это кольцо; k — аналогичная сумма моментов сторонних сил, действующих на внеш. кольцо; - угол поворота внутр. кольца (кожуха) относительно внешнего. Он принимается положительным, если система координат x’y’z', связанная с внутр. кольцом (кожухом), повёрнута относительно системы координат, связанной с внешним кольцом подвеса, против хода часовой стрелки (наблюдение за поворотом производится со стороны положит. части оси у' или). При= 0 оси этих систем соответственно совпадают.

Рис. 7. Схема гироскопа в кардановом подвесе

Система координат x’y’z' связана с внутренним кольцом подвеса, системас внешним, ас основанием гироскопа (на рис. показана лишь ось). Для определения величин, следует знать угловые скорости: основания Г. относительно системы координат, внеш. кольца карданова подвеса по отношению к основанию и внутр. кольца по отношению к внешнему. Имеют место след. ф-лы:

где — проекции угловой скорости основания Г. на оси, связанной с основанием системы координат. Ось этой системы совпадает с осью внеш. кольца подвеса. Угол поворота внеш. кольца относительно основания обозначен через (рис. 8). При =0 оси систем координат соответственно совпадают. Положит. направление отсчёта угла такое же, как и угла. Ур-ния (7) и (8) позволяют решать большинство вопросов, связанных с одногироскопными гироскопическими системами в рамках прецессионной теории гироскопа.

Рис. 8. К подсчёту абсолютной угловой скорости внутреннего кольца карданова подвеса (система координат x’y’z')

Вектор — относительная угловая скорость внешнего кольца относительно основания, — угловая скорость внутреннего кольца относительно внешнего.

Рис. 9. Полюс гироскопа (точка P) и связь составляющих его скорости vx и vy относительно невращающейся системы координат (на рис не показана) с суммами Mx и My моментов сил, действующих на ротор гироскопа и его внутреннее кольцо (кожух)

В случае, когда можно пренебречь моментами трения К и L в осях подвеса и считать равными нулю ур-ния прецессионной теории Г. в кардановом подвесе значительно упрощаются и допускают следующую геометрич. интерпретацию. Вводится вспомогат. система координат xyz с началом в центре подвеса Г. (рис. 9). На расстоянии, равном единице от начала координат, строится плоскость, параллельная координатной плоскости ху. Через х и у обозначаются координаты точки P пересечения вектора H с упомянутой плоскостью (полюс Г.). Тогда ур-ния прецессионного движения Г. можно представить в виде:

где vx и vy — проекции на оси х и у скорости точки P в её движении по отношению к системе координат. Модуль H в данном случае — пост. величина. Предполагается, что направление H мало отклоняется от направления оси z, в результате чего координаты х и у точки P малы по сравнению с единицей и с большой точностью равны углам отклонения от координатных плоскостей yz и xz вектора H или, что-то же, оси собств. вращения гироскопа z.

Величины Mх и Mу, к-рые находятся в правых частях ур-ний (9), представляют собой суммы моментов относительно осей х и у сторонних сил и переносных сил инерции, действующих на механич. систему: ротор — внутр. кольцо (кожух) Г. Если обозначить через проекции на оси х, у, z угловой скорости системы координат х у z относительно невращающейся системы, то ур-ния (9) можно представить в виде.

Полученные ур-ния удобны для исследования поведения однороторного гирокомпаса, гироскопич. маятника (гировертикали) при смещениях основания, на к-ром они расположены. В первом случае ось z направляется на север, а во втором — вертикально.

Ур-ния движения Г. в кардановом подвесе, соответствующие нутац. теории, можно также вывести, пользуясь Лагранжа уравнениями 2-го рода. При этом следует рассматривать движение механич. системы, состоящей из ротора и элементов подвеса Г. по отношению к невращающейся системе координат с началом в центре карданова подвеса, и принять углы за обобщённые координаты упомянутой механич. системы. Составив ур-ния для её кинетич. энергии, с помощью ур-ний Лагранжа 2-го рода можно получить ур-ния движения, позволяющие изучать поведение Г. в разл. гироскопич. устройствах.