Реализация принципов психологической теории деятельности при изучении обыкновенных и десятичных дробей в 5-6 классах

Дипломная работа По теме:

«Реализация принципов психологической теории деятельности при изучении обыкновенных и десятичных дробей в 5-6 классах»

В настоящее время действуют стандарты образования, утвержденные в марте 2004 года. Согласно которому, изучение математики должно быть направлено на интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей. Стандарт основного общего образования по математике Однако вместо этого в детях зачастую развивается подражательность, что способствует к воспитанию исполнителей, испытывающих затруднения в случае необходимости принимать ответственные решения.

Одна из проблем существующей системы образования состоит, как нам кажется, в том, что в ее основе лежит, заложенный в советское время, императив подготовки человека знающего. Нам же кажется, что школа должна не только и не столько давать знания в готовом виде, сколько направлять деятельность детей на самостоятельную добычу знаний.

Идея деятельностного подхода в обучении математике не нова. Еще в конце прошлого века известный русский методист С.И. Шохор-Троцкий выступил как изобретатель нового метода — метода целесообразных задач — курс арифметики из систематически подобранных задач. Позже В. В. Давыдов и Д. Б. Эльконин разработали теорию обучения в зоне ближайшего развития ребенка. Согласно которой учебный материал должен быть выстроен в соответствии с принципами систематичности и последовательности с позиции психологической теории деятельности.

Несмотря на то, что суть проблемного обучения известна в настоящее время очень многим, организация процесса обучения по-прежнему сводиться к предоставлению ученикам готовых знаний.

Особенно важна осознанная самостоятельная деятельность ученика при работе с трудным материалом, требующим от него достаточных усилий. Многие методисты и психологи отмечают, что наиболее сложным материалом курса арифметики является изучение дробей. Дробь представляет собой некоторое количество долей определенной величины. «Одновременное осмысливание количества и величины долей, осознание их отношения представляет для ребенка новую и сложную задачу», — утверждает Н. А. Менчинская. Действительно, дроби — это первый наиболее абстрактный материал, с которым сталкивается школьник в процессе обучения. И чаще всего, происходит механическое запоминание правил выполнения операций с дробями, без понимания природы этих операций.

Вместе с тем, прочное и качественное усвоение дробей имеет существенное значение не только для школьного курса математики в целом, поскольку весь последующий курс опирается на знание учащимися дробей, но и для последующей практической деятельности человека. Именно дроби и простейшие действия над ними — один из немногих разделов школьного курса математики, который непременно используется в деятельности человека не зависимо от приобретенной им специальности. Отметим также, что раздел «Дробные числа (положительные рациональные числа)» вносит существенный вклад в реализацию идеи развития понятия о числе — основном понятии школьного курса математики.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что актуальность нашего исследования обусловлена необходимостью организации учебного процесса по изучению систематического курса дробей с основой на принципы психологической теории деятельности.

Объектом исследования является процесс обучения арифметике в 5−6 классах средней школы.

Предметом исследования являются методические аспекты изучения дробей.

Целью исследования является анализ учебников федерального перечня в области построения систематического курса дробей. Критерием анализа является возможность реализации учебного процесса с позиции теории деятельности. Выявление проблемных мест в преподавании дробных чисел и разработка системы упражнений, уроков по соответствующим разделам.

В связи с этим перед нами были поставлены следующие задачи:

° изучение правовой, психологической и методической литературы по теме исследования,

° изучение возрастных особенностей младших подростков,

° анализ психологических причин возникновения трудностей при обучении дробям,

° выявление принципов теории деятельности в обучении математике;

° изучение генезиса методики преподавания дробей в русской школе,

° анализ учебников федерального перечня на соответствие принципам последовательности и систематичности и на возможность реализации поисково-эвристической деятельности учащихся,

° выявление «слабых» мест курса дробей;

° разработка систем упражнений и уроков по теме исследования.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Глава I посвящена возрастным и психологическим аспектам обучения дробям в 5−6 классах. Возрастные особенности младших подростков рассмотрены нами на основе исследований Л. М. Фридмана и Д. Б. Эльконина. Исследованием психологических истоков возникновения затруднений и ошибок при изучении дробей занималась Н. А. Менчинская и вслед за ней З. М. Мехтизаде. Формулирование принципов психологической теории деятельности нам ближе с позиции, выраженной З. А. Решетовой.

В главе II раскрыто историческое становление методики преподавания дробей. Основными источниками являются исследования Н. В. Богомолова, В. П. Ведениной, А. В. Ланкова, а также непосредственно авторские методики преподавания арифметики Е. С. Березанской, В. М. Брадиса, В. А. Евтушевского, С.И. Шохор-Троцкого и других. Особое внимание уделяем тому, какие изменения претерпевает последовательность изучения обыкновенных и десятичных дробей в целом, и какие методические приемы использовались при изучении операций умножения и деления дробей, а также при введении десятичных дробей.

В пункте 2.2. приводится анализ изучения дробей по учебникам математики 5−6 классов, рекомендованных Министерством образования к использованию в образовательном процессе. Критерием анализа является реализация принципов психологической теории деятельности, выделенных в третьей части первой главы, а также соответствие возрастным и психологическим особенностям.

Глава III — посвящена разработке уроков по некоторым разделам курса дробных чисел.

В приложении приведен фрагмент Образовательного стандарта начального общего образования по математике.

1. Психолого-физиологические аспекты изучения дробей

1.1 Возрастные особенности младших подростков

Систематический курс дробей, согласно стандарту общего математического образования, входит в курс арифметики и изучается в 5-ом и 6-ом классах средней школы. В связи с переходом на четырехлетнее обучение в начальной школе и с тем, что в настоящее время еще до конца не урегулирован вопрос о возрасте ребенка, поступающего в школу, возраст учащихся 5−6 классов колеблется от 10 до 13 лет. Чаще этот период относят к подростковому возрасту, который несколько шире изучаемого нами периода, реже авторы психологической литературы выделяют рассматриваемый нами период отдельно, как младший подростковый [36, 37, 44]. Выделим особенности, присущие именно этому возрасту.

Младший подростковый возраст — это весьма сложный, таящий в себе опасность кризисных явлений, период в жизни ученика. В этот период организм ребенка претерпевает кардинальные изменения, развертывается процесс полового созревания — основная физиологическая особенность возраста. С этим процессом связано возникновение у подростка физического ощущения собственной взрослости.

Половое развитие неотделимо от общего, происходит непрерывно, начиная с рождения. Однако в подростковом возрасте оно резко ускоряется и в течение сравнительно короткого периода наступает полноценная половая зрелость [37, с. 76].

Начинается половое созревание с повышения активности центральной нервной системы, вслед за которым интенсифицируется деятельность эндокринных желез. Возрастающее количество гормонов, вырабатываемых и выделяемых в кровь этими железами, и ведет к развитию всех признаков и проявлений полового созревания.

На первом этапе (пятые — шестые классы) активность половых желез отстает от развития эндокринных центров. Этим объясняется неуравновешенное состояние центральной нервной системы, которое проявляется в нарушениях поведения. С одной стороны, подростки уже достаточно способны к самоконтролю, критически относятся к себе и окружающим, а с другой — у них преобладают процессы возбуждения над торможением. Поэтому они зачастую неадекватно резко реагируют на внешние воздействия: на замечания взрослых, учителей, сверстников, на происходящие события.

В тоже время они часто внешне безразличны к важным событиям, хотя иногда взрываются по пустякам. Подростки как бы погружены в свой внутренний мир, где происходит что-то непонятное для них, они не могут осмыслить изменения, которые ощущают. Девочки эмоциональнее реагируют на внешние воздействия, более обидчивы, плаксивы, у них часто меняется настроение. И мальчики и девочки становятся шумными, не могут усидеть на месте, постоянно вертят что-то в руках.

В этот период у подростков отмечается повышенная утомляемость, усиленный рост, что приводит к нарушениям осанки, искривлению позвоночника [37, с. 76−77].

Одним из центральных новообразований в личности младшего подростка является возникновение у него чувства взрослости. Стать взрослым в понимании подростка означает, в первую очередь, быть самостоятельным.

Подробно развитие у подростков-пятиклассников чувства взрослости исследовал Д. Б. Эльконин в своем труде «Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков». Автор проанализировал поведение группы одноклассников в период их обучения в 4-м и 5-м классах, составил индивидуальные характеристики каждого школьника. На основе анализа индивидуальных особенностей был сделан вывод о наиболее общих закономерностях в изменении отношения испытуемых к окружающему их миру (школе, учебе, внешкольным интересам, друзьям, учителям, родителям) и об изменении характера учебной деятельности в переходный период.

Прежде всего, психолог выделил разнородность уровня развития учебной деятельности испытуемых: от наиболее высокого до наиболее низкого. Уровень сформированности учебной деятельности автор оценивал по наличию у учащихся умений самостоятельно работать над учебными заданиями, самостоятельно совершенствовать свои знания и добывать новые. Соответственно высокий уровень характеризуется не только совершенно самостоятельным выполнением домашнего задания, но и освоением новых областей знаний, низкий уровень предполагает отсутствие элементарных умений самостоятельной работы даже при подготовке домашнего задания. При этом Д. Б. Эльконин подчеркивает зависимость между уровнями сформированности учебной деятельности и интересов: «Учащиеся, у которых до 5-го и в 5-ом классе возникли активные познавательные интересы, обнаруживают в усвоении школьных знаний и, особенно, в сфере интересующих их знаний более высокий уровень учебной деятельности по сравнению с одноклассниками, у которых эти интересы не сложились» Эльконин, Д. Б. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков [Текст] / Д. Б. Эльконин; Под ред. Д. Б. Эльконина, Т. В. Драгуновой.- М.: Просвещение, 1967. С. 301.

Вместе с тем, психологи утверждают, что дети, вступающие в подростковый возраст очень восприимчивы к возникновению у них познавательных интересов. В поисках самого себя, своего Я, пятиклассник стремится быть не как все, в то же время, подражает всем.

Подражание делает подростка взрослым и в собственных глазах и в глазах, как ему кажется, окружающих. При этом мнение сверстников для подростка более значимо, чем мнение учителей и родных. Именно подражание и оглядка на мнение сверстников устанавливают «моду» в классном коллективе. Нередко получать хорошие отметки и добросовестно учится становиться «не модно»: некоторые пятиклассники начинают стесняться прилежно выполненного домашнего задания, начинают бравировать показано равнодушным отношением к отметкам. Д. Б. Эльконин объясняет: «Имеющееся пренебрежительное отношение к отметкам и отличникам является лишь выражением взрослости, усвоенной из самых разнообразных источников и иногда подкрепляемой неправильно складывающимися отношениями с учителями» Эльконин, Д.Б.- С. 304. При этом автор подчеркивает, что «безразличное отношение подростков-пятиклассников к школьному учению может сосуществовать с существенным сдвигом в отношении к знаниям — стремлением к приобретению настоящих, глубоких знаний» Эльконин, Д.Б.- С. 303. «Важны не отметки, а знания», — заявляют учащиеся.

Появляющееся новое отношение к учению, к знаниям является одной из важных сторон чувства взрослости. Более того, новое отношение к знаниям, возможно, составляет то ядро взрослости, культивируя которое можно преодолеть возникающие в этот период развития трудности в поведении и воспитании детей.

Еще одной важной составляющей младшего подросткового возраста является изменение отношений со сверстниками, теперь общение с товарищами — «это особая сфера жизни ребенка, сфера личных взаимоотношений с ним и коллективом класса, а также с формированием особой практики взаимоотношений с коллективом и товарищами. Эта сфера жизни общения становится для подростка-пятиклассника чрезвычайно важной и лично очень значимой» [44, с. 311]. Внешние проявления коммуникативного поведения младших подростков весьма противоречивы. Страстное желание иметь верного близкого друга сосуществует с лихорадочной сменой приятелей, способностью моментально очаровываться и столь же быстро разочаровываться в «друзьях на всю жизнь». Тем не менее, желание всё всем делать вместе является определяющим у младших подростков. Именно поэтому многие педагоги отмечают крайнюю заинтересованность и собранность даже самых «трудных в поведении» детей во время коллективной работы.

Важнейшей особенностью подростков, оканчивающих 5-й класс, является постепенный отход от прямого копирования оценок взрослых к самооценке, все большая опора на внутренние критерии. Представления, на основании которых у подростков формируются критерии самооценки, приобретаются в ходе особой деятельности — самопознания [37, с. 79]. Нередки случаи возникновения в этот период кризиса самооценки — ситуации, когда равновесие между негативными и позитивными самооценками нарушается в пользу первых. Недовольство собой проявляется во всех сферах деятельности: и в общении со сверстниками, и в учебной деятельности. Обострение критического отношения к себе актуализирует у младших подростков потребность в общей положительной оценке своей личности другими людьми, прежде всего значимыми, авторитетными для него.

И именно в этот период происходит интенсивное развитие внутренней жизни: наряду с приятельством возникает дружба, питаемая взаимной конфиденциальностью. Меняется содержание писем, которые теряют свой стереотипный характер, в них появляются описания переживаний; делаются попытки вести личные дневники и начинаются первые влюбленности.

Подводя итоги, выделим основные черты младшего подросткового возраста:

° Основное новообразование — чувство взрослости, проявляющееся в стремлении к самостоятельности.

° Происходит переоценка ценности обучения и своего положения в этом процессе. Пятиклассник стремится добывать глубокие знания в интересующих его областях, нередко далеких от школьных предметов.

° Общение со сверстниками принимает всеобъемлющий и всепоглощающий характер.

° Через общение осваивается новая деятельность по самопознанию.

То насколько безболезненно школьник преодолеет подростковый период, во многом определяется средой, где живет подросток, атмосферой, царящей в семье и школе, особенностями взаимоотношений с окружающими. Процесс обучения младших школьников должен быть организован в соответствии с особенностями их возраста и их потребностями.

1.2 Психологические особенности усвоения дробей

О трудностях, возникающих перед учащимися при изучении дробей, нередко пишут авторы методических пособий. Однако в психологической литературе вопрос об усвоении этого раздела арифметики до сих пор не получил достаточного освещения. Несмотря на то, что проведен целый ряд исследований по психологии обучения арифметике, вопрос об усвоении дробей изучался крайне мало. Основными источниками являются «Очерки психологии изучения арифметики"Менчинская, Н. А. Очерки психологии обучения арифметике [Текст] / Н. А. Менчинская.- 2-е изд., перераб.- М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР.- 1950. 120 с. Н. А. Менчинской (1950 г.) и «Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о делимости чисел и операций с дробями» Мехтизаде, З. М. Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о делимости чисел и операций с дробями [Текст] / З. М. Мехтизаде // Вопросы психологии обучения арифметики. Труды института психологии/ Под ред. Н. А. Менчинской.- М.: Известия АПН РСФСР, 1955. Выпуск 71. С.113−148. З. М. Мехтизаде (1955 г.). Более поздних публикаций, посвященных психологической стороне усвоения дробей, к сожалению, нет.

Основными причинами низкого качества усвоения понятия дроби (а также и последующих затруднений, с которыми сталкиваются учащиеся при его изучении) заключаются в механическом заучивании, в недостаточном внимании к осознанному восприятию понятия, установлению взаимосвязи между множествами изученных и вновь введенных чисел, выявлению общих и особенных характеристик этих множеств. В свое время А. Н. Колмогоров обратил на это внимание: «На разных ступенях обучения с разной смелостью неизменно появляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить о числах и соотношениях между ними».

Н.А. Менчинская провела исследование с учениками 5-го класса с целью выяснения, какие ступени проходят учащиеся при усвоении понятия дроби. Психолог выделила три этапа формирования понятия дробь:

1. Дробление предметов даже без названия результата;

2. Отражение процесса дробления в представлении и речи;

3. Решение задач с помощью отвлеченных дробных чисел.

При этом автор подчеркивает, что при обучении детей операциям с дробями, необходимо переводить их через эти три последовательные ступени. Так, при введении понятия дробь еще в начальной школе нужно обеспечить совмещение двух аспектов изучения понятия дроби: умение видеть равные доли на рисунке (чертеже) и умение самостоятельно образовывать доли, расчленяя целое на части. Только после того, как у детей будет накоплен достаточный опыт в делении на равные доли реальных предметов, можно переводить их на более высокие ступени, то есть в начале устранять момент «личного» действия при образовании дроби, сохраняя зрительное восприятие равных долей, а затем исключать и этот момент восприятия, заставляя учащихся мысленно представлять процесс образования дроби. [27, с. 22−24].

Одной из причин формального усвоения операций с дробями Н. А. Менчинская называет несвоевременно ранее сообщение учащимся названий дробей (когда учащиеся еще не знают, как образуется та или иная дробь). Название дроби должно вводится в неразрывной связи с процессом ясного осознания детьми, как образовалась дробь. При таком подходе, полагает автор, удастся избежать смешения названия дроби. Обосновывается это тем, что для большинства детей младшего школьного (равно как и дошкольного) возраста любая доля, любая часть целого — это половина. Для ребенка не является существенным факт неравенства этих самых «половин», например при разламывании шоколада.

Трудности при освоении учащимися операций с дробями объясняются также тем, что целый ряд понятий, правил и способов действий, с которыми знакомятся учащиеся при изучении дробей, вступают в известное противоречие с теми понятиями, правилами и способами действия, которые ими были прочно усвоены при изучении целых чисел. Об этом писали Н. А. Менчинская, З. М. Мехтизаде. Большое внимание этому моменту уделено в методическом руководстве А. С. Пчелко.

«Значительную трудность для понимания дроби, — говорит А. С. Пчелко, — представляет неодинаковый характер изменения дробного числа при изменении числителя и знаменателя. При увеличении числителя дробь увеличивается — это аналогично целым числам и это сравнительно легко воспринимается учащимися. Но при увеличении знаменателя дробное число уменьшается — это непривычно для ребят. Это находится даже в некотором противоречии с опытом детей в области целых чисел» Пчелко, А. С. Методика преподавания арифметики в начальной школе [Текст] / А. С. Пчелко.- 2-е изд.- М., 1947. С. 328.

Н.А. Менчинская также выделяет понятие «знаменатель» как понятие, представляющее особую трудность для усвоения учащимися. «Фактически в знаменателе раскрывается своеобразие дробного числа в отличие от целого» — справедливо указывает автор Менчинская, Н.А. — С. 26.

Так, учащиеся с легкостью сравнивают дроби с равными знаменателями, перенося навыки сравнения из области целых чисел, они с легкостью поясняют свои действия, нередко, указывая, во сколько раз одна дробь превосходит другую. В то же время, те же дети испытывают трудности при сравнении дробей с разными знаменателями, путаются в пояснении своих действий. Случается, что при сложении и вычитании дробей, школьники складывают и вычитают знаменатели. Ошибки подобного рода не возникают, если школьники с самого начала осмыслили своеобразие понятия «знаменатель». Разумно предлагается при изучении дробей опираться на знание именованных чисел, их раздробления и превращения. При этом знаменатель — это наименование частей.

Камнем преткновения в изучении дробей являются операции умножения и деления. «Ученику приходится делать весьма значительные усилия мысли, чтобы постигнуть, что умножение называется иногда делением; что не всегда от умножения число увеличивается; что умножить число — это не всегда значит „взять его слагаемым несколько раз“», — писал методист С.И. Шохор-Троцкий (1935 г.) Шохор-Троцкий, С. И. Методика арифметики.- С. 112. Позже Н. А. Менчинская высказывает мнение о том, что никак нельзя считать правильным то положение, когда у детей при изучении целых чисел формируются представления об умножении как об увеличении, а о делении как об уменьшении. В дальнейшем это приводит к неверному переносу ассоциаций в область дробей. При этом Н. А. Менчинская указывает, что при изучении целых чисел учитель должен придавать особое значение случаям умножения и деления на 0 и 1, которые не приводят к привычному увеличению и уменьшению [27, с. 27].

При обучении учащихся арифметическим действиям, в том числе и действиям с дробями, важно последовательно формировать процесс получения результата, или, говоря языком психологии, устанавливать ассоциации по смежности (термин И.П. Павлова).

Например, получив задание разделить 3 полоски на 4 равные части, ученик сначала рассуждает так: «В одной полоске, в трех полосках их всего, 12 разделить на 4 будет 3, значит «. Затем прибегает к более короткому пути рассуждения: «Делил на 4 — это был знаменатель, и было 3 полоски, всего будет «. И, наконец, рассуждение сокращается до одного звена: «3 на 4 нацело не делится, будет «.

Так постепенно происходит сокращение промежуточных звеньев процесса, между условием примера и ответом образуется прямая связь. Но даже, когда рассуждение выключено полностью, оно продолжает лежать в основе выполнения операции [27, с. 35]. К сожалению, в школьной практике нередко имеют место такие случаи, когда арифметическая операция с самого начала строится по типу простейшей ассоциативной связи, промежуточное звено — рассуждение — вообще отсутствует. В этом случае учащийся выполняет действия механически, не понимая того, что он делает и зачем. Классическим примером является неумение школьников решать задачи на нахождение части целого и неизвестного целого по его части.

Эти ошибки свидетельствуют о том, что учащиеся не осознают нахождение части от числа и умножение как одну и ту же операцию, они в равной мере не осознают как одну и ту же операцию нахождение числа по его дроби и деление. Различные термины скрывают от них тождественность содержания понятий, обозначаемых этими терминами [28, с. 134]. Это обусловлено тем, что и умножение дробей и решение задач на нахождение части целого вводится, как правило, с помощью алгоритма. Учащиеся не проходят все ступени по формированию ассоциаций, знают четкий алгоритм, следовательно, не могут обобщить эти две операции.

Заслуживает внимания проблема отождествления операций нахождения наибольшего общего делителя и сокращения дробей, а также наименьшего общего кратного и приведения дробей к общему знаменателю. Исследованием причин, по которым учащиеся не различают операции нахождения НОД и НОК, занималась З. М. Мехтизаде. Психолог обратила внимание на то, что «при овладении этими двумя схожими операциями, учащиеся раньше всего овладевают ими в тех звеньях, которые являются общими для этих двух операций, и с большим трудом в той части, где требуется применение различных дифференцированных друг от друга способов действия. Если в одном случае, в общих звеньях этих операций, актуализируются или воспроизводятся одни и те же системы ассоциаций, то в другом случае, т. е. в различных звеньях, требуется перестройка ранее образованной системы ассоциаций. Именно эта перестройка системы ассоциаций и затрудняет учащихся» Мехтизаде З. М. — с.123. Ошибки, которые порождаются наличием двух сходных правил, основаны на «правилосообразных» связях. В данном случае путаница происходит еще и по причине схожести названия операций, редко когда внимание учащихся верным образом акцентируется на последнем слове, чаще эти аббревиатуры воспринимаются абракадаброй. Важным моментом является своевременное сравнение таких правил, построение системы упражнений, постепенно отражающей сходство и различие операций. Н. А. Менчинская предлагает использовать принцип варьирования существенных признаков для составления систем упражнений при изучении материала. То есть задания должны изменяться не столько по уровню сложности, сколько по их положению во всем учебном материале. Наличие контрпримеров при построении системы упражнений обязательно.

Н.А. Менчинская занималась исследованием ошибок, которые допускают учащиеся при обучении. Причины возникновения некоторых ошибок психологом так и не были объяснены, тем не менее, автор сумела типизировать ошибки. В ее трудах много практических советов, направленных не только на преодоления уже полученных ошибок, но и для их предотвращения. Оказывается, числа, подобранные в примерах нередко провоцируют возникновение, так называемых описок. Некоторые комбинации чисел провоцируют на выполнение определенной операции, в этом случае происходит ослабление остроты сознания и «настоящий» знак действия остается не замеченным. На наш взгляд, психологические основы возникновения ошибок и разумного построения системы упражнений должны быть изучены каждым педагогом.

Таким образом, при изучении дробей необходимо учитывать психологические особенности восприятия материала. Уверенное представление о дроби возникает только тогда, когда учащийся самостоятельно проходит все ступени по формированию этого понятия. Сознательное оперирование осуществляется при верно построенной системе ассоциаций и полной связи между условием задачи и ее ответом. Система упражнений должна отвечать как методическим задачам, так и учитывать психологические основы слухового восприятия формулировок и зрительного восприятия комбинаций чисел. Важно сформировать у учащихся умение выделять существенные и несущественные признаки объектов и действий над ними.

психологический обучение дробь урок

1.3 Принципы психологической теории деятельности

Психологи утверждают, что прочное усвоение знаний происходит только через собственную деятельность по познанию предмета. Исследованием взаимосвязи действия и сознания российская психология активно начала заниматься в 20-е гг. XX века. В итоге сформировалась новая психологическая теория, которая базировалась на идеях социально-исторического и деятельностного подходов к пониманию психики — ее происхождения, функций и развития. Было предложено две трактовки деятельностного подхода в психологии — С. Л. Рубинштейна (1889−1960), который сформулировал принцип единства сознания и деятельности, и А. Н. Леонтьева (1903;1979), который совместно с другими представителями Харьковской психологической школы, разработал проблему общности строения внешней и внутренней деятельности.

В теории деятельности С. Л. Рубинштейна предметом анализа рассматривается психика через раскрытие ее существенных объективных связей и опосредствованной, в частности через деятельность. При решении вопроса о соотношении внешней практической деятельности и сознания, принимается положение, что нельзя считать «внутреннюю» психическую деятельность формирующейся в результате свертывания «внешней» практической. При такой трактовке деятельность и сознание рассматриваются не как две формы проявления чего-то единого, различающиеся по средствам эмпирического анализа, а как две инстанции, образующие нерасторжимое единство.

В теории деятельности А. Н. Леонтьева предметом анализа выступает деятельность. Поскольку сама психика не может быть отделена от порождающих и опосредующих ее моментов деятельности, и сама психика является формой предметной деятельности. При решении вопроса о соотношении внешней практической деятельности и сознания, принимается положение, что внутренний план сознания формируется в процессе свертывания изначально практических действий. При такой трактовке сознание и деятельность различаются как образ и процесс его формирования, образ при этом является «накопленным движением», свернутыми действиями. Этот постулат был реализован во многих исследованиях.

В частности, из теории деятельности в понимании А. Н. Леонтьева в дальнейшем получила развитие теория развивающего обучения Д. Б. Эльконина (1904;1984) и В. В. Давыдова (1930;1998) и теория организации управляемого формирования деятельности в процессе усвоения П. Я. Гальперина (1902;1988), продолженная З. А. Решетовой (1918 г. р.).

Согласно психологическому словарю В. К. Мульдарова и И. М. Кондакова, деятельность — это активное взаимодействие живого существа с окружающим миром, в ходе которого оно целенаправленно воздействует на объект и за счет этого удовлетворяет свои потребности. П. Я. Гальперин утверждал, что деятельность должна быть искусственно сформирована, а следовательно и организована. В связи с этим, психолог разработал систему планомерного поэтапного формирования умственных действий.

Так, на первом этапе формируется мотивационная основа действия, закладывается отношение субъекта к целям и задачам предстоящего действия, к содержанию материала, намеченного для усвоения.

На втором этапе происходит становление первичной схемы ориентировочной основы действия (ООД), то есть системы ориентиров и указаний. В ходе освоения действия эта схема постоянно проверяется и уточняется. П. Я. Гальперин выделял три типа построения схемы ООД и, соответственно, три типа учения. При первом типе субъект имеет дело с принципиально неполной системой условий и вынужден действовать на основе метода проб и ошибок. Окончательная структура действия устанавливается при этом медленно, осмысляется и осознается далеко не всегда и не полностью, сформированное действие крайне чувствительно к сбивающим воздействиям. При втором типе субъект ориентируется на полную систему условий правильного выполнения действия, что гарантирует безошибочность действия, заданный диапазон обобщенности, высокий уровень осознанности, критичности. При этом схема ориентировочной основы действия либо задается в готовом виде, либо составляется учащимся в процессе обучения. Третий тип задания схемы ООД основывается уже не на условия выполнения действия, а на принципы строения изучаемого материала, на предметные единицы, из которых он состоит, законы их сочетания. Ориентировочная основа такого рода обеспечивает глубокий анализ изучаемого материала, формирование познавательной мотивации. Собственно развивающим, П. Я. Гальперин считал именно третий тип обучения.

Третий этап — формирования действия в материализованной форме, при которой субъект осуществляет ориентировку и исполнение усваиваемого действия с опорой на внешне представленные компоненты схемы ориентировочной основы действия.

На четвертом, пятом и шестом этапах происходит переход действия «извне», подкрепляемого внешней речью, в умственное действие, поддерживаемое «скрытой речью». Благодаря процессам автоматизации действие, прошедшее вышеперечисленные этапы преобразования, приобретает вид непосредственного одномоментного усмотрения решения проблемной задачи.

Как видим, этапы формирования умственных действий, выделенные П. Я. Гальпериным, по своей сути совпадают с этапами формирования ассоциаций по смежности Н. А. Менчинской, рассмотренными нами в пункте 1.2.

Таким образом, проведенный анализ положений теории деятельности, представленной как теория планомерного поэтапного формирования умственных действий, позволяет выявить следующие принципы построения учебного процесса: мотивированность, последовательность, полнота и, главное, системность изучаемого предмета.

2. Методика преподавания дробей

2.1 Становление методики обучения дробным числам

Методика преподавания дробей развивалась параллельно с методикой преподавания целых чисел. Подходы к изучению целых чисел использовались и при изучении дробей.

В начале XIX века немецкий педагог А. В. Грубе (последователь И.Г. Песталоцци) предложил методическую систему, известную как «метод изучения чисел». Основная идея метода заключалась в том, что «всякое число должно изучаться, так сказать, в его наготе и в его одежде приложения». Евтушевский, В. А. Методика арифметики [Текст]: Пособие для родителей, учителей и учительских семинарий / В. А. Евтушевский.- 7-е изд., испр. и доп.- СПб.: Типография В. Безобразов и комп., 1875. C. 46. Курс арифметики А. В. Грубе состоял из изучения целых чисел отвлеченных и именованных и простых дробей. Так как курс свой он предназначал для изучения в 4-х летних начальных школах, то изучение десятичных дробей А. В. Грубе не рассматривал. Примечательно, что впервые ученики сталкиваются с понятием доли уже на первом году обучения. Так, в разложении 3=1+1+1, единица — часть целого числа вообще. Поэтому А. В. Грубее полагал, что «последующее изучение дроби, как части единицы, представит им мало затруднений, тем более что процесс этого изучения тот же самый, как и для целых чисел» Там же — С. 62. Комплексному изучению обыкновенных дробей уделяется весь четвертый год обучения, причем курс распадается на два полугодия: наглядное всестороннее изучение дроби и действие с дробями по правилам. А. В. Грубее отмечает, что «для полного выяснения понятия о дроби можно ограничиться подробным изучением только первых пяти дробей» Там же — С. 63.

Этот метод получил широкую распространенность в России благодаря трудам В. А. Евтушевского (1875 г.). Подробно изучив и проанализировав метод А. В. Грубе, В. А. Евтушевский соглашается с основными положениями построения системы и ее применения в обучении. Тем не менее, В. А. Евтушевский отмечает некоторые недостатки метода, в частности выступает за сокращение курса дробей по времени, а так же за применение наглядных пособий — различных арифметических счет: Шведских счет, счет Наманского, дробных счет, обыкновенных торговых русских счет и т. д.

Курс обучения по В. А. Евтушескому рассчитан на 5 лет: трехлетний элементарный курс и двухлетний систематический курс. «Элементарный курс простых дробей» изучается в конце третьего года обучения, на четвертом году обучения дается «систематический курс простых дробей» после изучения «главных теорем о числах. Нахождения общего наибольшего делителя и наименьшего кратного числа». В начале пятого года обучения учащиеся подходили к изучению десятичных дробей.

В методике арифметики В. А. Евтушевского операции с обыкновенными дробями предлагалось выполнять не по алгоритму, а на основе представления о дроби. Например, чтобы преобразовать неправильную дробь в целое или смешанное число, необходимо было рассмотреть, сколько данная неправильная дробь содержит дробей равных единице. А приведение дробей к общему знаменателю или же сокращение осуществлялось посредством составления табличек. Так, в процессе нахождения общего знаменателя чисел появлялась запись:

…

Для выполнения любой операции с дробями А. В. Евтушевский рекомендовал использовать различные виды дробных счет. Например, для оперирования с долями единицы удобны «дробные счеты Наманского — рамка с горизонтальными проволоками, на которых тонкий цилиндр разделен на одно и то же число равных долей». Евтушевский, В. А. Методика арифметики. — С. 101. Таких рамочек 10 штук: рамка для единицы, для вторых долей, третьих и т. д. до десятых долей. Как следствие, без опоры на счеты учащиеся не могли выполнить ни преобразований, ни действий с дробными числами. Чтобы сложить и, нужно было на дробных счетах отложить сначала три пятых доли. А потом еще одну долю и посчитать, сколько пятых долей получилось.

По замыслу автора метода изучения чисел основу формирования понятия и операций с дробями должны были составлять практические действия, поэтому теоретические знания школьникам не давались. Это привело к тому, что представления учащихся о дроби не были обобщены и систематизированы, школьники не понимали закономерность выполнения преобразований, не знали законы арифметических действий. Тем не менее, автор стремился к тому, чтобы учащиеся самостоятельно делали выводы при ответе на вопрос учителя: «Что надо сделать с данными дробями (и) для их сложения и вычитания и как складывать и вычитать дроби, когда они приведены к общему знаменателю?» Евтушевский, В.А.- С. 251. Отмечу также, что в методике арифметики В. А. Евтушевского выводы правила умножения и деления на дробь проходят с основой на задачи нахождения части целого и целого по его известной части. Приведем в пример систему задач для установления правила деления дроби на дробь:

Задача 1. 10 аршин материи стоят 5 руб. 20 коп. Сколько приходится за один аршин?

В пояснении В. А. Евтушевский пишет: «Обобщая эту задачу посредством перемены данных чисел, ученики делают вывод, что по данной цене определенного числа аршин материи здесь ищется цена одного аршина, и что задача такого рода решается делением данной цены на число аршин». Под тоже обобщение подводят они и следующую задачу.

Задача 2. 5/8 аршина материи стоят 3 рубля. Сколько стоит один аршин материи?

Задача 3. 7/15 четверика пшеницы весят 4/9 пуда. Сколько весит целый четверик?

После решения задачи 2, при сравнении результата с обозначением действия делается вывод, что «следовательно, при делении числа на правильную дробь ищется неизвестное число по данной его части». А после задачи 3 выводится правило деления дроби на дробь: «…нужно дробь делимого умножить на обращенную дробь делителя». Там же — С. 265.

Десятичные дроби В. А. Евтушевский изучает на основе больших целых чисел, мотивируя это тем, что «ученики при вычислениях дробь простую предпочитают дроби десятичной, стараясь первою заменить вторую». Там жеС. 266.

Такой подход к преподаванию дробных чисел задерживал развитие отвлеченного мышления детей, так как «логика математики отодвигалась на задний план по сравнению с формированием наглядных представлений». Менчинская, Н. А. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах [Текст] / Н. А. Менчинская, М. И. Моро.- М.: Просвещение, 1965. С. 66.

В противовес методу изучения чисел В. А. Латышевым был предложен «метод изучения действий».

Введение

этого метода отразилось и на преподавании дробей. Обучение, основанное на этом методе, способствовало значительному повышению уровня теоретической подготовки учащихся. Однако отвлеченные математические закономерности, которыми они должны были руководствоваться при выполнении тех или иных операций, иногда не имели для них реального смысла, были лишены прочной базы чувственного восприятия.

В дальнейшем, при изучении дробей стали использовать и «метод изучения чисел», и «метод изучения действий» в их сочетании.

С.И. Шохор-Троцкий (1935 г.) разделил учение о дробях на две ступени. На первой ступени (начальная школа) предлагалось дать учащимся наглядные представления о дроби и ее главных свойствах. В начальной школе автор методики предлагал познакомить учащихся со вторыми, четвертыми и восьмыми долями. Поскольку учащиеся такого возраста могут освоить признаки делимости на 2, 5 и на 10, то и оперировать с дробями, знаменатели которых кратны этим числам, ученики так же могут: приводить к общему знаменателю, сокращать, складывать и вычитать. Что касается десятичных дробей, то о них в третий год обучения в начальной школе следовало дать представление, причем следовало стремиться к тому, чтобы «учащиеся вынесли умение прочесть десятичную дробь и понимали состав десятичной дроби из десятичных долей единицы» Шохор-Троцкий, С. И. Методика арифметики [Текст]: В 2 ч. Ч. I для уч. начальных шк. / С.И. Шохор-Троцкий.- 6-е изд., пересм. и доп.- М.; СПб.: Наследие Бр. Салаевых, 1900. — С. 59.

Вторая ступень (пятый класс средней школы), которую С.И. Шохор-Троцкий охарактеризовал как систематический курс дробей, содержала «полное учение об изменении дробей, о преобразовании их и о четырех над ними действиях в полном их объеме» хор-Троцкий, С. И. Методика арифметики [Текст]: Пособие для учителей средней школы / С.И. Шохор-Троцкий; Под ред. Синакевича.- 5-е изд., перераб.- М.; Л.: Гос. учеб. пед. изд-во, 1935. С. 112. Примечательно то, что автор методики уделяет большое внимание повторению материала, пройденного в начальной школе и подводящего учащихся к построению систематического курса дробей. Так, в начале пятого класса еще раз повторяют основные действия над целыми числами, подробно останавливаются на делении (его происхождении, связи обоих видов деления, особенности как действия), изменении суммы, разности, произведения и частного, начальные сведения о дробях. «Основной отдел», который следует за повторением, открывается темой «изменение дробей»; одновременное изменение в одно и то же число раз, сокращение, приведение к общему знаменателю. Затем, по замыслу автора методики, изучаются признаки делимости и наименьшее кратное двух и нескольких чисел. И только после этого начинается систематическое изучение действий над дробями.

Особое методическое значение, на наш взгляд, имеет подход С.И. Шохор-Троцкого к изучению десятичных дробей. Автор методики научает: «Мера, могущая значительно поднять успешность занятий учеников десятичными дробями, состоит в том, чтобы курс обыкновенных дробей не суждался дробей десятичных, обозначенных без помощи запятой, и чтобы изучению десятичных дробей, обозначенных с помощью запятой, предшествовали четыре действия над десятичными обыкновенными дробями». Шохор-Троцкий, С. И. Методика арифметики. Пособие для учителей средней школы. — С. 198. Более того, в противовес В. А. Евтушевскому, С.И. Шохор-Троцкий настаивает интерпретировать десятичные дроби, прежде всего, как на дроби, а не как развитие и применение идеи обозначения целых чисел к дробям.

Автор методики придает большое значение «истинно методическому переходу» от обыкновенных дробей к десятичным, подчеркивает равноправие обеих форм записи десятичной дроби, обращению обыкновенной дроби в десятичную и обратно, совокупному действию над обыкновенными и десятичными дробями.

Несмотря на то, что пособие С.И. Шохор-Троцкого носило характер практического руководства, где давались рецепты для учителя по конкретным вопросам содержания предмета, оно определило дальнейшие тенденции развития методики математики, и методики дробей в частности.

Начиная с С.И. Шохор-троцкого, методика изучения дробей стала развиваться по двум направлениям. В начальной школе формировалось представление о дроби и ее свойствах на наглядной основе. В средней школе изучались правила и алгоритмы выполнения операций с дробями, опираясь на теоретические рассуждения.

Д.Л. Волковский (1934 г.) полагал, что изучение долей, особенно половины, должно начинаться на первом году обучения. Вначале изучаются простейшие доли, затем десятичные доли и операции над ними, десятичные дроби и операции над ними, завершает начальную школу систематический курс обыкновенных дробей. По мнению автора, «обучение дробям как обыкновенным, так и десятичным — должно быть наглядным, практическим, жизненным, чуждым излишних правил и определений, непосильных детям». Волковский, Д. Л. Как обучать дробям в начальной школе [Текст] / Д. Л. Волковский. — М.; Л.: 1-я типография Трансжелдориздата, 1934. С. 4. Знакомство с дробями производится поэтапно на основе чувственного восприятия: на предметах, на схемах и письменное обозначение дробей. При этом схематичное изображение дробей использовалось не только при изучении образования дробей, но и при выполнении операций с дробями.

Например, чтобы учащиеся смогли вычесть из половины дробь 1/8, предлагалось начертить цветовую схему:

Которая комментировалась следующим образом: «На сколько частей и на какие разделен этот прямоугольник? (На 8 равных частей). Не обращайте внимания на 4 его части (на 4 восьмых), обведенные справа маленькими черточками: какая часть останется тогда? (Половина или 4 восьмых). Какая часть всего прямоугольника зачерчена? (одна восьмая). Сколько восьмых из оставшейся левой половины не зачерчены? (три восьмых). Сколько же останется восьмых — от половины прямоугольника отнять одну восьмую его? (Три восьмых). Записать это надо так:, а прочитать так: от половины (или одной второй) отнять одну восьмую — останется три восьмых». Волковский, Д.Л.- С. 15.

Схематичное изображение дроби помогало школьникам выделать целую часть из неправильной дроби, сокращать дроби, выражать целое и смешанное число неправильной дробью. Выполнение умножения и деления дроби на целое число так же выполнялось с опорой на иллюстрацию.

Большое внимание Д. Л. Волковский уделяет сопоставлению обыкновенных и десятичных дробей, мотивируя это более углубленным усвоением темы. Автор пишет, что «надо сопоставлять следующие моменты в изучении дробей: главное свойство десятичных и обыкновенных дробей, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю, сложение и вычитание дробей, умножение и деление дробей на натуральное число.

Методика Д. Л. Волковского проста и доступна, но ограничивает развитие логического мышления школьников, оставляя знания на уровне зрительных представлений. Большое значение наглядности в обучении обыкновенным дробям младших школьников придавали многие авторы методик. Предлагалось использовать разнообразные схемы, таблица, иллюстрации для изучения образования дробей, преобразований и действий с ними.

В старших классах учащиеся на основе накопленного конкретного материала должны были сделать теоретические заключения, изучить общие правила.

Характерным методическим пособием середины XX века является «Методика преподавания математики в средней школе» В. М. Брадиса (1951 г.). В своей методике автор приводит не только программу и методические рекомендации преподавания математики в средней школе, но также приводит особенности учебного предмета математики в отличие от науки математики; анализ ошибок учителей и учащихся, приводящих к формализму в изучении математики; анализ существующего учебника «Арифметика» А. П. Киселева, переработанного профессором А. Я. Хинчиным (1948 г.), и «Сборника задач и упражнении по арифметике» Е. С. Березанской (1948 г.). Автор критически отзывается о слабых сторонах учебника: «Вся предшествующая работа школьника по изучению арифметики в начальной школе полностью игнорируется: все излагается так, как будто пятиклассники абсолютно ничего по арифметике до сих пор не делали. Рассматриваются только общие приемы письменного производства действий над натуральными и дробными числами, почти не затрагиваются вопросы их рационализации. <�…> Изложение имеет довольно отвлеченный характер, не всегда вскрывает в достаточной мере практические корни каждого теоретического предложения, содержит очень мало исторических сведений. Для самостоятельной работы учеников V и VI классов книга трудна». Брадис, В. М. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / В. М. Брадис; Под ред. А. И. Маркушевича. — 2-е изд. — М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР, 1951. С. 116. В своей «Методике преподавания математики» В. М. Брадис стремится оказать поддержку молодому учителю математики, разработав для этого систему изучения школьного предмета. Относительно дробей В. М. Брадис придерживается логики изложения С.И. Шохор-Троцкого. Нововведением в методике арифметики является стремление В. М. Брадиса к внедрению математического языка формул и буквенных выражений. Так, например, основное свойство дроби он представлял так: и. На основе этой записи делал соответствующие выводы. Для того, чтобы школьники лучше усвоили этот материал, он предлагал рассмотреть, как влияет на величину дроби увеличение (уменьшение) в несколько раз числителя и знаменателя дроби. Тем не менее, автор отдавал себе отчет в том, что буквенное восприятие тяжело для учащихся: «Их усвоение крайне желательно, но требовать его от всех не всегда возможно». Парадоксально, что автор методики предлагает вводить деление дробей аналогичному тому, как оно вводится в начальной школе при изучении деления натуральных чисел: «Разделить дробь на — это значит найти число (дробь), которое будучи умножено на, дает. Поэтому,, «. Там жеС. 148. Так же рассматривали этот материал и другие авторы методик: Е. С. Березанская, Н. Я. Виленкин, Л. Ф. Пичурин, Я. Ф. Чекмарев, В. Г. Чичигин и другие. Таким образом, знания о дробях, получаемые школьниками в начальной и средней школе, были не связаны между собой, не было преемственности между начальной и старшей школой.