Хеджирование портфеля по показателю CVaR

Снижение CVaR портфеля ванильными, азиатскими, барьерными опционами

В данном разделе анализируются возможности снижения показателя CVaR портфеля посредством приобретения опционов. Для сравнения будут использованы ванильные, азиатские и барьерные опционы.

Предположим, что в начальный момент в управлении имеется сумма 10 000 руб. На эти средства приобретаются акции. Однако, задачей работы являются минимизация CVaR. Хеджирование предполагает одновременное занятие позиций на двух рынках: на спотовом (в данном случае рынке акций), а также на рынке производных финансовых инструментов (срочном рынке). В данной работе будут рассматриваться возможности хеджирования посредством опционов.

Таким образом, помимо акций, с целью снижения показателя Conditional Value at Risk приобретаются опционы. Поэтому необходимо распределить средства между акциями и опционами таким образом, чтобы CVaR полученного портфеля был минимальным.

Итак, предположим, что начальные условия следующие:

· Стоимость портфеля в первоначальный момент.

V₀ = 10 000.

· Стоимость 1 акции в первоначальный момент.

S₀ = 100.

· Годовая доходность акций м = 0,1.

· Волатильность акций.

у = 0,4.

· Период хеджирования.

T = 1 год.

· Безрисковая ставка в годовом исчислении.

r = 0,7.

Предположим, что стоимость акций следует следующему закону:

В таком случае, используя имитационное моделирование, можно построить множество сценариев динамики акций. Стоимость портфеля при отсутствии хеджирования в момент времени t составит:

V_t = xS_t

x — количество акций в портфеле.

Очевидно, что в таком случае стоимость портфеля полностью определяется стоимостью акций. С помощью специального программного обеспечения было рассчитано 1000 возможных цен на заданный момент времени. Таким образом, было получено 1000 возможных стоимостей портфеля. Это позволяет нам рассчитать VaR, а также искомый показатель CVaR. Для этих целей был выбран 95-процентный доверительный интервал. Для заданных параметрах можно получить функцию распределения плотности вероятностей методом непараметрического сглаживания, которая представлена на следующем рисунке:

Рисунок 3.1. Распределение убытков портфеля.

Как можно убедиться из графика, распределение далеко от стандартного нормального, имеется значительная асимметрия. VaR данного портфеля составляет 4776 руб., а CVaR, как и должно быть, — несколько больше: 5566. Подобные высокие значения связаны с тем, что заданная волатильность также находится на высоком уровне.

Очевидно, что необходимо предпринять меры, чтобы снизить показатели риска до более приемлемого уровня. Для начала, для того, чтобы захеджировать портфель, обратимся к наиболее популярным для этих целей классическим опционам пут, которые торгуются на биржевом рынке на стандартизированных условиях. Предположим, что есть возможность приобрести опционы пут, базовым активом которых является акция, портфель которых и хеджируется. Для удобства допустим, что горизонт хеджирования совпадает со сроком действия опциона.

В зависимости от того, какое значение примет цена акции в момент исполнения опциона, будет определен выигрыш по опциону. Стоимость опционов пут оценивается на основе модели Блэка-Шоулза-Мертона.

Также важным моментом является то, сколько средств инвестор готов потратить на покупку опционов. В зависимости от этого и будет приниматься решение о выборе портфеля опционов для хеджирования.

Стоит добавить и следующее ограничение: нельзя занимать короткие позиции по опционам, поскольку мы ставим противоположную задачу — с помощью опционов захеджироваться от возможного риска снижения стоимости портфеля.

Также с тем, чтобы иметь возможность закрыть позиции по опционам в момент исполнения опционного контракта, вводится следующее ограничение: общее количество купленных опционов не должно превышать количество имеющихся в портфеле акций.

Таким образом, задача минимизации CVaR принимает следующий вид:

— количество спецификаций опционов, используемых для хеджирования.

— затраты на хеджирование портфеля.

— вектор размерностью n, элементами которого являются количества опционов на разных страйках.

— вектор размерностью n, элементами которого являются цены опционов на разных страйках.

— элемент вектора y, то есть количество опционов на конкретном страйке.

Предположим, что имеется возможность приобрести опционы на следующих страйках: 100, 110, 120, 130, 140 руб. Данные цены исполнения были выбраны следующим образом: рынок достаточно волатилен, поэтому должна иметься возможность продать акции по более выгодной цене. Однако, стоит отметить, что возможность продать акции по цене отличной от рыночной требует определенных затрат. Чем выше цена исполнения, тем выше затраты. В связи с вышесказанным при низком ограничении затрат на хеджирование скорее всего будут выбраны опционы на низких страйках, при росте возможностей хеджирования — на более высоких страйках.

Были получены следующие портфели в зависимости от затрат на хеджирование:

Таблица 3.1. CVaR портфеля с ванильными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Как и предполагалось, при росте возможностей хеджирования более оптимальным становился портфеля с опционами на более высоких страйках. Что касается CVaR, то его удалось существенно снизить за счет включения в портфель опционов. Первоначально он составлял 5586 руб., однако при инвестировании 20% первоначальных средств в опционы его удалось сократить до 870 руб. Это означает, что с 95-процентной вероятностью средние убытки по портфелю, превышающие VaR, составят 870 руб.

Также были рассчитаны доходность и стандартное отклонение портфеля — основные индикаторы привлекательности портфеля с точки зрения инвестора. Данные показатели проиллюстрированы в следующей таблице:

Таблица 3.2. Доходность и стандартное отклонение портфеля с ванильными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Данная таблица представляет данные о годовых доходностях и волатильности портфеля в зависимости от затрат на хеджирование. Очевидно, что хеджирование связано с определенными затратами, поэтому мы видим тенденцию к падению доходности по мере роста затрат на хеджирование.

Что касается волатильности, то ее удалось успешно понизить посредством добавления в портфель опционов пут. После хеджирования она упала до 23,8%. Однако подобный успех сопряжен с существенными затратами на хеджирование.

После рассмотрения ванильных опционов предлагается проанализировать возможности хеджирования портфеля азиатскими опционами. Данные опционы не торгуются на бирже, их можно приобрести только на внебиржевом рынке, поскольку они не являются стандартизированными производными финансовыми инструментами. Однако возможность инвестирования в подобные ценные бумаги несет определенный интерес, который будет продемонстрирован далее в работе.

Предположим, что на некотором внебиржевом рынке торгуется азиатский опцион пут с фиксированным страйком с основными характеристиками базового актива, описанными ранее. Кроме них, у азиатского опциона должны быть оговорены и другие характеристики, влияющие на его стоимость. К ним относятся особенности расчета средней цены.

Предположим также, что параметры усреднения следующие:

t₁ — начало периода расчета средней цены.

t₂ — конец периода расчета средней цены.

T₁ — начало периода расчета средней цены, в долях от срока действия опциона.

T₂ — конец периода расчета средней цены, в долях от срока действия опциона.

То есть в основе азиатского опциона лежит цена, рассчитанная как среднее арифметическое за период от до .

Пусть началом периода расчета средней цены будет T₁ = ѕ, а концом — T₂ = 1. То есть конец периода усреднения совпадает со сроком действия опциона. Данные параметры были выбраны, исходя из того, что азиатский опцион с подобной спецификацией может больше соответствовать задачам работы: минимизировать значение CVaR через 1 год.

Результаты минимизации представлены в следующей таблице:

Таблица 3.3. CVaR портфеля с азиатскими опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Данная таблица показывает, оптимальный набор опционов на разных страйках. Как и в портфеле с ванильными опционами, чем выше допустимые затраты на хеджирование, тем больше количество опционов с более высокими ценами исполнения. Таким образом, инвестируя большие средства в опционы, получилось ощутимо снизить CVaR. Первоначально CvaR портфеля, состоящего исключительно из акций, равнялся 5566 руб. После хеджирования путем покупки азиатских опционов пут удалось снизить CVaR портфеля до 1846 руб. В данном случае, как это видно из таблицы, можно говорить о существенном снижении CVaR. Однако подобное снижение возможно только за счет значительных затрат на опционы. Поэтому надо взглянуть на другие показатели, которые могут внести какую-то ясность в этом отношение. Поэтому предлагается обратиться к широко используемым стандартным характеристикам портфеля, таким как доходность и стандартное отклонение.

Значения доходности полученного портфеля и стандартного отклонения можно получить из следующей таблицы:

Таблица 3.4. Доходность и стандартное отклонение портфеля с азиатскими опционами в зависимости от затрат на хеджирования

По мере роста доли опционов в портфеле доходность начала сокращаться. Доходность портфеля составила 10,46% при самом больщом ограничении и 11,19% при самом маленьком ограничении. Доходность портфеля с азиатскими опционами превышает доходность портфеля с ванильными опционами. Это может быть связано с относительной дешевизной азиатских опционов.

Рассматривая стандартное отклонение полученного портфеля, с помощью представленной таблицы можно убедиться, что оно постепенно сокращалось по мере добавления в портфель опционов. Это говорит в пользу хеджирования азиатскими опционами. Если сравнивать волатильность портфеля с азиатскими опционами и волатильность портфеля с ванильными опционами, то можно увидеть, что они не сильно различаются.

Наконец, после рассмотрения портфелей с ванильными и азиатскими опционами стоит обратиться к возможностям, которые предоставляют барьерные опционы. Как уже отмечалось, барьерные опционы относятся к классу экзотических опционов. Среди них существует множество разновидностей и спецификаций, что и делает биржевую торговлю данными опционами невозможной. Далее будет дана спецификация барьерных опционов, которые и будут использоваться при хеджировании.

Что касается основных характеристик базового актива и хеджирования, они неизменны. Эти характеристики остаются такими же, как и в случаях ванильных и азиатских опционов. Поэтому остается внести ясность остальных характеристик барьерных опционов, которые и отличают барьерные опционы от прочих.

Предположим, что имеется возможность приобрести барьерный опцион типа down-and-in, то есть опцион, который начинает действовать при падении цены ниже оговоренного в контракте уровня. Данный тип актуален для задач данного исследования. При сильном падении цены опцион даст возможность продать базовый актив по более приемлемой цене. Поскольку рынок достаточно волатильный, с тенденцией к росту, значение барьера примем равным 120. В противном случае при более низком значении барьера опцион может не иметь никакой ценности.

Также хотелось бы сделать данный опцион чуть более «экзотическим». Пусть период, в течении которого цена сопоставляется с барьером, не равняется всему сроку действия опциона. Пусть данный параметр будет принят равным началу периода расчета средней цены азиатского опциона. То есть опцион начинает действовать, только если цена опустится ниже 120 в период с t₁ по t_2.

С практической точки зрения, данная модификация затрудняет манипулирование ценами при приближении срока исполнения и бывает полезной на тонких рынках, на которых ликвидность находится на достаточно низком уровне, создавая таким образом возможности для манипулирования.

Результаты хеджирования барьерными опционами представлены в виде следующей таблицы:

Таблица 3.5. CVaR портфеля с барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Данная таблица резюмирует итоги хеджирования барьерными опционами: CVaR портфеля значительно сокращается после добавления в него все большего количества барьерных опционов. Изначально CVaR портфеля, включающего в себя только акции, составлял 5566 руб. Однако посредством покупки барьерных опционов получилось снизить CVaR до 562 руб.

Как и в предыдущих случаях, более низкий CVaR ассоциирован с более высокими расходами на хеджирование. При снижении ограничения на покупку опционов происходит сдвиг выбора в пользу опционов с более высокой ценой исполнения. Это объясняется тем, что выигрыш по данным опционам может быть существенно выше выигрыша по опционам на более низких страйках.

Что касается таких характеристик портфеля, как доходность и стандартное отклонение, то их можно увидеть в следующей таблице:

Таблица 3.6. Доходность и стандартное отклонение портфеля с барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Данная таблица дает представление о важнейших характеристиках портфеля, которые интересуют любого инвестора. Доходность портфеля с ограничением в 2% несколько выше по сравнению сравнению с доходностью портфеля с более высокими ограничениями. Доходность портфеля с барьерными опционами оказалась выше доходности портфеля с ванильными опционами. Данный факт может быть объяснен тем, что стоимость барьерных опционов несколько ниже стоимости ванильных опционов. Соответственно, для заданного ограничения можно приобрести большее количество опционов. Если сравнивать доходность портфелей с барьерными и азиатскими опционами, то можно убедиться, что она не сильно различается. Это связано с тем, что параметры барьерных и азиатских опционов оказались достаточно схожими.

Стоит сказать также и об изменениях волатильности портфеля при добавлении в него все большего количества опционов. В данном случае волатильность удалось снизить. Как и следовало ожидать, она постепенно снижается по мере роста возможностей хеджирования. По сравнению с другими опционами барьерный опцион снижает волатильность портфеля наиболее успешно.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что все разновидности опционов, рассмотренные в работе, успешно справились с поставленной задачей уменьшить CVaR портфеля. Однако остается открытым вопрос о сравнительной эффективности хеджирования различными видами опционов. Данный вопрос предлагается рассмотреть далее в работе.

Для начала стоит взглянуть на следующий график. Он показывает CVaR портфелей с ванильными, азиатскими, барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирование.

Рисунок 3.2. CVaR портфелей с ванильными, азиатскими и барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования.

Как видно из графика, лучше всего снизил CVaR барьерный опцион. Немного хуже показал себя ванильный опцион. CVaR портфеля с азиатскими опционами выше остальных практически на всем отрезке.

Для того, чтобы получить количественную оценку эффективности хеджирования, предлагается использовать показатель эффективности хеджирования (Hedging Efficiency Ratio, HER). Данный показатель рассчитывается следующим образом:

— CVaR портфеля, состоящего исключительно из акций.

— CVaR портфеля, состоящего из акций и опционов, на которые было потрачено с руб.

Данный показатель отражает, насколько сократился CVaR по отношению к исходному уровню. То есть более высокие значения показателя должны свидетельствовать о более эффективном снижении CVaR портфеля.

В следующей таблице представлены рассчитанные значения показателя CVaR в зависимости от расходов на покупку ванильных, азиатских и барьерных опционов:

Таблица 3.7. Эффективность хеджирования портфелей с ванильными, азиатскими и барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Как видно из таблицы, наиболее высокое значение HER у барьерного опциона. Хеджирование барьерными опционами на всех уровнях ограничений оказалось наиболее эффективным. Получилось снизить CVaR практически на 90%. Что касается остальных опционов, то и портфели с ними в качестве составляющих также показали тенденцию к росту HER по мере роста затрат. Так, например, в случае портфеля с ванильными опционами с ограничением с=20% удалось добиться снижения CVaR на 84%. HER портфеля с азиатскими опционами несколько ниже, он состаляет 67%. Данное значение также говорит о существенном снижении CVaR портфеля.

Помимо покаателя HER для анализа представляет интерес коэффициент Шарпа, который показывает, насколько привлекательным является портфель для инвестора в рамках концепции риск-доходность. Коэффициент Шарпа рассчитывается как отношение премии за риск по портфелю к его стандартному отклонению.

— коэффициент Шарпа (Sharpe Ratio).

— доходность портфеля.

— волатильность портфеля.

— премия за риск по портфелю.

Чем больше значение коэффициента Шарпа, тем более привлекательным является портфель для инвестор. То есть избыточная доходность должна компенсировать более рискованные вложения.

Следующая таблица представляет собой рассчитанные значения коэффициента Шарпа для различных ограничений на покупку опционов.

Таблица 3.8. Коэффициенты Шарпа портфелей с ванильными, азиатскими и барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Как это было видно из формулы, коэффициент Шарпа зависит от двух составляющих: доходность портфеля и волатильность портфеля. Безрисковая ставка постоянна для любого портфеля. В случае ванильных опционов коэффициент Шарпа оказался ниже по сравнению с азиатскими и барьерными опционами. Это объясняется тем, что доходность портфеля с ванильными опционами была несколько ниже доходности портфелей с азиатскими или барьерными опционами. По мере роста возможностей хеджирования значение коэффициента Шарпа портфеля с ванильными опционами падало, поскольку сильно падала и доходность подобного портфеля. Однако, при небольших затратах на хеджирование удалось даже несколько повысить значение коэффициента Шарпа по сравнению с исходным уровнем.

Коэффициент Шарпа портфеля с азиатскими опционами не сильно отличается от коэффициента Шарпа портфеля с барьерными опционами. По мере добавления в портфель азиатских или барьерных опционов коэффициент Шарпа постепенно увеличивался за счет снижения волатильности портфелей.

Таким образом, как можно убедиться в этом с помощью представленных таблиц и проведенного анализа, в целях снижения CVaR портфеля можно пользоваться опционами. Все разновидности опционов, описанные в этом разделе, позволяют существенно снизить CVaR портфеля. Экзотические опционы справились с поставленной задачей лучше ванильных опционов. Наиболее эффективно снижали CVaR портфеля барьерные опционы.