Схема решения. 
Решение нелинейного дифференциального уравнения

Нелинейное дифференциальное уравнение Фоккера — Планка выглядит следующим образом:

; (1).

Повторюсь, наша задача найти такую функцию плотности вероятности, которая не зависит от времени, а значит:

;

Где () (2).

; ;

Из (1) и (2) следует:

В соответствии с определенными ранее этапами решения, нам необходимо привести уравнение (1) к дифференциальному уравнению первого порядка типа Бернулли. Для этого, интегрируем обе части уравнения по dx:

В контексте данной задачи, примем, тогда.

Или, что эквивалентно.

Так как решение стационарное то (), тогда имеем:

;

Делим все слагаемые в данном уравнении на.

Тогда получаем:

;

+;

Сделаем замену переменных:

(); (;

В результате чего уравнение принимает вид:

;

Выполним еще одну замену переменной:

.

Заметим, что.

;

(); (3).

После наших преобразований, имеем неоднородное уравнение (3). Теперь переходим к этапу решения данного неоднородного уравнения:

Решаем сначала однородное уравнение:

() ;

() ;

()

;

;

Теперь решаем неоднородное уравнение методом вариации постоянной:

Ищем решение в виде ;

;

;

() ;

();

().

;

().

();

;

;

;

Тогда решение неоднородного уравнения представляется в виде:

;

так как, т. е.

;

;

Исходя из идей о простоте решения, а, также, не нарушая общности задачи, примем n=2, k=1. Тем самым в рамках данного исследования мы будем рассматривать более частный случай решения нелинейного уравнения Фоккера — Планка.

Так как.

; ;

Воспользуемся найденными в третьем параграфе главы 2 значениями параметризующих функций, а именно:

;

То ;

;

Тогда имеем:

;

где.

Следует отметить, что границы интеграла находятся исходя из области определения исходных данных, по которым мы оценивали функцию плотности вероятности являющеюся решением вариационной задачи по максимизации информационной энтропии. Однако, в решении нелинейного уравнения Фоккера — Планка имеются функции не определенные в нуле. Тогда обозначим тот факт, что мы рассматриваем решение не в нуле, а в некоторой его малой окрестности.

Аналитически интеграл соответствующий решению нелинейного уравнения Фоккера — Планка вычислить не предоставляется возможным, поэтому воспользуемся уже знакомым нам методом: разложим экспоненциальную функцию плотности вероятности под интегралом в ряд Тейлора в единице. В условиях данной задачи, достаточно будет взять первые пять членов ряда:

где является степенью экспоненты.

Рис 2. Решение нелинейного уравнения Фоккера — Планка