Получение аналитических представлений для стационарных характеристик модели

Получим соотношения, необходимые для определения стационарного распределения цепи Маркова. Предварительно запишем выражения для переходных вероятностей этой цепи.

В соответствии с принятыми ранее предположениями все возможные значения случайных величин кратны. Но тогда без ограничения общности можно считать, что указанные случайные величины принимают значения из конечных множеств целых чисел:

Заметим, что множество, в котором принимают значения остаточные объемы ресурса ограничено в силу условия ограниченности объема склада: Полагая, что величина кратна : — заданное целое положительное число, получаем, что величину можно задавать целым положительным числом, принимающим значения в конечном множестве .

Таким образом, если выполняются условия:

то объем поступившего требования равен, а остаточный объем ресурса равен, где .

Зафиксируем состояние и некоторое решение. Заметим, что объемы поступающих требований не зависят от состояния системы и принимаемых решений. В то же время, величина остаточного объема полностью определяется значениями и управлением. Тогда имеем следующее соотношение для вероятности перехода управляемой марковской цепи :

(4.3).

где величина представляет собой индикатор условия и определяется равенством :

(4.4).

Из соотношений (4.3), (4.4) можно получить уравнения для стационарных вероятностей управляемой марковской цепи .

Обозначим, как и ранее, через функцию, определяющую стратегию управления, то есть такую, которая сопоставляет каждому возможному состоянию некоторое решение: .

Обозначим через значения этой функции, соответствующие значениям аргументов .

Тогда имеет с учетом (4.3):

(4.5).

(4.6).

Система уравнений (4.5), (4.6) состоит из системы линейных однородных уравнений (4.5) и линейно независимого от нее условия нормировки (4.6). Данную систему необходимо решить для любой заданной функции управления, определяемой набором своих значений:

Решение этой системы будет представлять собой вектор стационарного распределения управляемой цепи Маркова, соответствующий функции управления .

Перейдём к нахождению представления для стационарного показателя качества управления в рассматриваемой марковской модели. Общий подход к нахождению этого показателя описан в 3 настоящей главы.

Введем стоимостный характеристики модели.

Пусть:

— доход (плата за выполнение требования типа, то есть оплата за выполнение соответствующего заказа; ;

— затраты, связанные с хранением единиц ресурса в единицу времени;

— затраты, связанные с выполнением требования — го типа (непосредственные затраты на производство), ;

— накладные расходы в единицу времени, то есть расходы на обеспечение работоспособности системы в период времени, когда система не занята выполнением очередного заказа;

— затраты в единицу времени, связанные с анализом рынка и планированием работ по выполнению очередного требования — го типа; ;

— рыночная цена единицы ресурса у поставщика с номером при заказе вида, то есть приобретение у него ресурса в объеме ,.

.

Все указанные стоимостные характеристики предполагаются известными.

При данных предположениях можно выписать явное представления для условных математических ожиданий прибыли на одном производственном цикле при условиях, что состояние процесса фиксировано и задана стратегия управления или принятия решения в каждом состоянии.

Обозначим через:

— условное математическое ожидание величины прибыли, связанной с одним производственным циклом, определяемое при условии, что состояние системы в начале цикла равно, а принятая стратегия управления в данном состоянии определяет решения, то есть закупку ресурса у поставщика с номером и вид закупки .

Тогда для величины можно получить следующее аналитическое представление:

.

. (4.7).

Для стационарного показателя качества управления при заданной фиксированной стратегии управления имеет место следующее представление, получаемое по свойству математического ожидания.

где стационарные вероятности марковской цепи определяются из системы уравнений (4.5), (4.6), а условные математические ожидания прибыли — при помощи соотношений (4.7).