Обзор существующей литературы по тематике

В данной части будет представлен обзор основных работ по проблематике ценообразования опционных контрактов с учетом ограниченной ликвидности базовых активов. Стоит заметить, что активное развитие она получила лишь в начале 2000;х годов, когда стали появляться эмпирические исследования, призванные выявить зависимость рыночных цен на опционы от ликвидности.

Одной из основополагающих работ по данной тематике является исследование Четина У., Джарроу Р. и др. (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006). Авторы одними из первых предприняли попытку описать теоретические аспекты ценообразования опционов в экономике, где базовый актив не является абсолютно ликвидным.

В рамках своей работы исследователи определяют риск ликвидности как возрастание изменчивости получаемых доходностей при формировании реплицирующего портфеля или хеджировании существующего опциона. Причиной является то, что при реализации хеджирующей стратегии зачастую нельзя купить (продать) большой объем базового актива не оказав влияния при этом на рыночную цену. Кроме того, в реальном мире инвестор действует на рынках с ненулевым бид-аск спредом. Это приводит к тому, что реализация двух разных хеджирующих стратегий с одинаковым теоретическим исходом на практике может привести к совершенно различным результатам.

Авторы выдвигают гипотезу о том, что существует нетривиальная кривая предложения для базового актива, то есть она является стохастической и негоризонтальной. Из этого предположения следует, что цена зависит не только от момента времени, но и от направления сделки (покупка или продажа) и ее величины. Трейдеры вынуждены принимать цены с данной кривой предложения и никак не могут повлиять на их величину. Очевидно, что чем более ликвидным является базовый актив, тем ближе кривая предложения акции к горизонтальному виду.

Теоретическая часть работы, занимающая первые две главы, посвящена описанию модели экономики с неабсолютной ликвидностью. В частности, для сформулированных предпосылок, более приближенных к реальности по сравнению с базовой моделью Блэка — Шоулза, заново определяется понятие торговой стратегии, самофинансируемой торговой стратегии, вводятся издержки, связанные с ограничением по уровню ликвидности. Также заново, с учетом ослабления базовых условий, формулируется первая фундаментальная теорема, которая является ключевым пунктом теории ценообразования производных активов в непрерывном времени. Данная глава содержит немало технических выкладок и положений, но, тем не менее, авторы не забывают и про содержательную интерпретацию. Главным выводом исследователей является то, что если инвестор может совершать сделки с бесконечно малыми объемами базового актива и при этом у него нет задержки по времени между сделками, то есть между двумя соседними сделками может быть сколь угодный малый временной интервал, то издержек ликвидности можно полностью избежать и цены опционов, получаемые в модели Блэка — Шоулза будут верными. При этом стратегия хеджирования, предлагаемая в рамках базовой модели ценообразования опционов, уже не будет оптимальной и будет сопряжена с ненулевыми издержками ликвидности. Авторы предлагают каким образом необходимо формировать реплицирующий портфель, чтобы избежать лишних затрат.

Продолжая ослабление предпосылок модели Блэка — Шоулза, авторы лишают инвестора возможности осуществлять торговлю бесконечно малыми объемами базового актива без задержки по времени. Это положение кажется весьма логичным, с учетом того, что на биржах существуют минимальные торговые лоты На практике возможно осуществление сделок с неполными лотами, но это сопряжено с немалыми издержками. В частности, на ОАО «Московская биржа» торговлю неполными лотами можно проводить только в определенное время и, как правило, ликвидность для них оказывается на порядок хуже полных лотов. Для таких положений авторы формулируют понятие дискретной торговой стратегии, которым активно оперируют на протяжении оставшейся части работы. Исследователи указывают на то, что при хеджировании в таких условиях, инвестор сталкивается не только с издержками ликвидности, но и с издержками аппроксимации, которые возникают из-за того, что не получается захеджировать опцион полностью. В результате торговли при сформулированных предпосылках индивид либо «недохеджирует» свою позицию, либо, наоборот, «перехеджирует».

Далее исследователи переходят к эмпирической проверке предположений о существовании стохастической кривой предложения для базового актива и ее влиянии на цены опционов. Для этого авторы используют данные по 5 акциям, которые отличаются степенью ликвидности: General Electric (GE), International Business Machines (IBM), Federal Express (FDX), Reebok (RBK), Barnes & Noble (BKS). Также используется информация по опционам на указанные акции. В работе используются дневные данные за период с 3 января 1995 года по 31 декабря 1998 года.

Третья часть работы полностью посвящена проверке факта существования нетривиальной кривой предложения для акций. Авторы используют процедуру, впервые описанную Ли Ч. (Lee C.) и Реди М. (Ready M.) в 1991 году, для определения направления сделки. Результаты, полученные исследователями, позволяют сделать вывод о том, что стохастическая кривая предложения с ненулевым наклоном действительно характерна для изученных акций. Кроме того, по мнению авторов, цена, по которой можно осуществить сделку в рамках данной кривой экспоненциально зависит от произведения объема сделки и параметра ликвидности. Анализируя имеющиеся данные, авторы делают вывод о том, что параметр ликвидности обратно пропорционален цене базового актива в условиях абсолютной ликвидности, которая является процессом геометрического броуновского движения, аналогично базовой теории. Исследователи делают вывод о том, что это косвенно указывает на факт, что маркет-мейкеры, выставляя котировки, стараются получать фиксированный в денежном выражении доход.

В заключительных частях работы авторы, предполагая изменение цены базового актива биномиальным процессом, определяют оптимальную хеджирующую торговую стратегию, решая конкретно сформулированную задачу динамического программирования. Результаты, полученные в ходе решения поставленной задачи, указывают на то, что цена опциона при отсутствии абсолютной ликвидности и невозможности совершать сделки с бесконечно малыми объемами без задержки по времени отличается от цены, рассчитанной по модели Блэка — Шоулза. Кроме того, при хеджировании инвестор сталкивается с ненулевыми издержками ликвидности и издержками аппроксимации.

Данная работа является наиболее фундаментальной из всех написанных по данной тематике к текущему моменту. Авторам удалось не только выстроить стройную теорию, учитывающую издержки, возникающие из-за ограниченной ликвидности, но и подтвердить ее эмпирическими данными. Именно поэтому работа считается базовой по данной теме и используется всеми другими исследователями, изучающими это направление, в качестве отправной точки.

Работа Блейса М. и Проттера Ф. (Blais M., Protter P., 2010) посвящена изучению вопроса существования стохастической кривой предложения для базовых активов. В качестве теоретической базы для своей статьи исследователи используют статью Четина У., Джарроу Р. и др. (Cetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006).

Главной целью работы является эмпирическое доказательство существования кривой предложения, необходимой для подтверждения правильности гипотез, сформулированных в теоретической части. Для этого авторы используют не стандартный метод Ли и Реди, а данные по стаканам котировок, которые им были предоставлены сотрудниками Morgan Stanley за период с 1 июля по 19 декабря 2003 года. Этот метод позволяет более точно определить сторону сделки, то есть была ли она инициирована продавцом или покупателем. Процедура Ли-Реди делает вывод о стороне на основе лишь двух котировок: лучшей цены на покупку (best bid) и лучшей цены на продажу (best ask). Стаканы котировок, используемые авторами данного исследования, содержат до десяти цен на покупку и продажу для каждой анализируемой акции в каждый момент времени. Таким образом, обладая большей информацией о заявках, авторы могут точнее идентифицировать направление каждой сделки. Также на основе данных о наполненности стаканов котировок (доступны ли десять лучших цен на покупку и продажу постоянно, или только в наиболее активные часы торговли) было проведено начальное деление акций по степени ликвидности.

Используя полученные данные, исследователи тестируют гипотезу о том, что для наиболее ликвидных акций кривая предложения имеет линейный вид, но при этом не является горизонтальной, то есть имеет некий стохастический наклон. Оценка коэффициентов регрессий позволила сделать вывод, что на 1% уровне значимости данное утверждение справедливо для 1937 из 2066 (93,8%) анализируемых в этом пункте акций.

Далее отбирая самые ликвидные акции, авторам удалось обнаружить, что для 82,6% из выбранных ценных бумаг линейная форма кривой предложения оказывается наиболее подходящей. В частности, были отвергнуты функции с квадратичными и кубическими членами.

Анализ менее ликвидных акций позволил обнаружить, что для описания кривой предложения лучше всего подходит кусочно-линейная функция с разрывом в нуле. Другими словами, для таких акций существует две различных кривых предложения: для покупки и продажи.

В заключительной части авторы строят комплексную меру ликвидности, которая учитывает:

• · наполненность стакана за изучаемый промежуток времени;
• · вид кривой предложения наиболее подходящий для описания информации, содержащейся в стакане;
• · среднюю величину бид-аск спреда, характерную для данной бумаги.

С помощью построенного показателя исследователи делают вывод о том, что на периоде с 14 по 18 марта 2003 года лишь 12% акций из общей выборки, предоставленной сотрудниками Morgan Stanley, могут считаться ликвидными, то есть у них значение выше 0.5. Результаты анализа 1218 акций на указанном временном промежутке представлены в таблице 1.

Таблица 1. Распределение изучаемых акций в зависимости от значения меры ликвидности.

Интервал.	Число акций.	Процент от общего количества.
	11.1.
	74.1.
	3.2.
	6.3.
	5.8.

Источник. (Blais, Protter, 2010).

Также используя несложные неравенства, авторы показывают, что наличие нетривиальной кривой предложения действительно приводит к увеличению цен опционов из-за возникновения издержек ликвидности.

Основным итогом данной работы является эмпирическое доказательство существования стохастической кривой предложения для акций на американском рынке. Одной из заслуг исследователей, безусловно, можно считать использование более точного метода по сравнению с широко распространенной процедурой Ли-Реди. Авторы показали, что для описания кривой предложения наиболее ликвидных акций лучше всего подходит линейная функция, а менее ликвидных — кусочно-линейная. Полученные результаты позволили подтвердить на реальных данных основополагающую гипотезу теории ценообразования опционов в условиях ограниченной ликвидности базового актива, развитую в работе Четина У., Джарроу Р. и др. (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006).

Авторы исследования «Numerical Solutions of Option Pricing Model with Liquidity Risk» Ли (Lee J.) и Ким (Kim S.) используют другую технику для введения ликвидности базового актива в модель ценообразования опционов. Ключевым пунктом в их работе является утверждение, что проводимые участниками рынка сделки оказывают непосредственное влияние на цену актива. Исследователи вводят параметр ликвидности, представляющий из себя величину обратную частной производной рыночной цены актива (по объему торгов (:

Таким образом, уравнение, описывающее динамику цены базового актива, принимает следующий вид:

— ожидаемая доходность базового актива, — случайная величина со стандартным нормальным распределением, — волатильность базового актива, — позиция в активе.

Исходя из данной формулировки и ряда других стандартных условий, авторы получают модифицированное уравнение Блэка-Шоулза для определения цены производного финансового инструмента:

— стоимость дериватива, — безрисковая процентная ставка, Следует отметить, что одной из предпосылок авторов работы является возможность осуществления сделок в непрерывном времени.

Вторая часть исследования посвящена попытке оценить стоимость европейского колл опциона в реальных условиях. Для этого авторы вводят ряд упрощающих предпосылок, позволяющих найти решение указанного ранее уравнения с помощью численных методов.

Полученные результаты исследователи сравнивают с ценами опционов на индекс KOSPI200. В 50% случаев рассчитанная авторами цена оказалась в интервале между максимальным и минимальным значениями за день. Однако следует заметить, далеко не во все анализируемые дни, данные цены различаются. Это может косвенно свидетельствовать о том, что данные опционы сами по себе являются слабо торгуемыми. В связи с этим было бы интересно проверить представленный в исследовании метод на примере более «живых» инструментов.

Совместная работа Ку, Ли и Жу (Ku, Lee, Zhu, 2012) представляет особый интерес в связи с тем, что авторы предпринимают попытку изучить вопрос хеджирования европейских опционов с учетом издержек, возникающих из-за ограниченной ликвидности акций, и дискретности времени. Предполагается, что у инвестора существует ненулевая задержка между моментами осуществления соседних сделок.

Авторы используют в качестве базовой модель Четина и Джарроу 2006 года, корректируя основные положения с учетом дискретности времени. Вслед за авторами базовой модели исследователи рассматривают кривую предложения базового актива вида, где — объем сделки, а — гладкая возрастающая функция, такая, что. Далее они корректируют дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза для определения цены европейского опциона колл в рамках сформулированных предпосылок. Безрисковая процентная ставка предполагается нулевой. В таких предпосылках уравнение принимает следующий вид:

все обозначения аналогичны использованным в работе Ли и Кима (Lee, Kim, 2008).

Затем авторы показывают, что при использовании обычной стратегии дельта-хеджа цены платежного обязательства, полученной при решении сформулированного уравнения, ошибка хеджирования, включающая в себя, в том числе и издержки ликвидности, стремится к нулю при увеличении частоты сделок. С помощью числовых примеров авторы указывают, что при осуществлении сделок ежедневно ошибка оказывается меньше, чем в случае хеджирования раз в неделю.

Кроме того, исследователи и при помощи численных методов, подобно авторам предыдущей работы, стараются определить приблизительное аналитическое решение. Дополнительная ценность исследования заключается в том, что аналогичные аргументы могут быть использованы при определении цен различных деривативов, а не только европейских опционов колл, изученных в работе.

Работа Четина (зetin U.), Сонера (Soner H.) и Таузи (Touzi N.) «Option hedging for small investors under liquidity costs» посвящена изучению влияния ликвидности через негоризонтальную кривую предложения базового актива на хеджирование опционов инвесторами, которые не способны оказать значительного влияния на цену.

Начальные предпосылки модели совпадают с сформулированными в исследовании Четина, Джарроу и др. (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006). Главными отличиями является измененный вид допустимых торговых стратегий, а также введение индекса ликвидности базового актива.

.

где — кривая предложения. Процесс, описывающий количество акций у инвестора в момент времени задается сложной формой, которая позволяла бы учитывать скачки, сохраняя при этом конечность квадратичной вариации. Как указывают авторы, эти утверждения подтверждаются эмпирическими данными и работами других исследователей. В итоге, выводы работы Четина, Джарроу и др. (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006) относительно правильности цен опционов, рассчитываемых по формуле Блэка-Шоулза, в условиях непрерывного времени опровергаются. Исследователи показывают, что даже в таких предпосылках при правильно сформулированных торговых стратегиях издержки ликвидности неизбежны и оказывают влияние на цены производных инструментов.

Затем, используя метод динамического программирования, Четин и др. выводят уравнение для определения стоимости опциона в конкретный момент времени:

— волатильность базового актива, — гамма опциона, а — цена на кривой предложения для нулевого объема сделки.

Также авторы сравнивают два вида хеджирующих стратегий в заданных моделью условиях с кривой предложения вида: «buy-and-hold» и динамическое хеджирование. Фактически у инвестора есть выбор между двумя альтернативами, предлагаемыми стратегиями:

• · нести издержки из-за несоответствия хеджирования, но избежать издержек ограниченной ликвидности;
• · реплицировать опцион динамически, но нести издержки из-за существования кривой предложения.

Результаты, полученные авторами позволяют утверждать, что в зависимости от рыночных условий, в первую очередь от уровня ликвидности, выгоднее использовать тот или иной метод хеджирования опционов, что кажется весьма логичным.

В своей работе Гекай С. (Gцkay, 2011) систематизирует информацию по вопросам ценообразования и хеджирования опционов в дискретном времени на рынке с учетом ограниченной ликвидности базового актива.

Первая часть исследования посвящена обзору основных существующих моделей ликвидности. Основной упор сделан на двух подходах, описанных в параграфе 1.2 данной работы. Кроме того, анализируется вопрос оптимального исполнения некоторого приказа на рынке с ограниченным уровнем ликвидности за фиксированный промежуток времени. По каждой из рассматриваемых моделей авторы разбирают внушительный список публикаций, посвященных как изучению вопроса в непрерывном, так и в дискретном времени.

Во второй части работы исследуется вопрос ценообразования на биномиальном рынке с ограниченной ликвидностью в дискретном времени. Изначально вводится стандартная предпосылка о гладкой, неубывающей по параметру объема сделки кривой предложения на рисковый актив. Далее предполагается, что инвестор может осуществлять какие-либо сделки, изменяющие его портфель только через интервалы времени, причем, где — срок исполнения опциона. Также вводится вероятностное пространство вида, где .

Далее авторы занимаются изучением вопросов, возникающих при репликации обычных европейских и барьерных опционов колл. В частности, рассматривается существование решения, необходимые ограничения. Авторы формулируют задачу динамического программирования, которая должна быть решена для определения стоимости опциона. Она состоит в минимизации начальной стоимости портфеля, необходимого для репликации дериватива. Поскольку количество ограничений увеличивается с ростом числа анализируемых периодов до экспирации опциона (это связано с тем, что решение задачи, зависит от значения оптимизируемого параметра на предыдущем этапе), то авторы переформулируют задачу следующим образом: для некого периода задается стоимость портфеля и определяется какая минимальная позиция в акциях необходима, для того чтобы реплицировать стоимость производного инструмента. Эта процедура проводится для определенного числа значений стоимости портфеля, затем определяется минимальное значение, с помощью которого получается реплицирующая стоимость опциона. Авторы показывают, что в цене присутствует влияние фактора ликвидности.

Переходя к лимитам, авторы распространяют выводы на модель с непрерывным временем, показывая, что издержки ликвидности остаются и в данной формулировке. Это подтверждает результаты, полученные в частности Четином и др. (зetin, Soner, Touzi, 2010). Далее, пользуюсь результатами данного исследования, Гекай (Gцkay, 2011) изучает вопросы границ цены опциона в непрерывном времени.

В заключительной части автор приводит расчет стоимости репликации обычного европейского и барьерного опционов, основываясь на линейной кривой предложения на базовый актив с постоянным параметром неликвидности (отвечающим за уровень наклона). Также исследователь описывает хеджирующие стратегии для двух указанных типов производных инструментов. Автор обнаруживает, что оптимальная стратегия репликации не всегда соответствует принципу дельта-хеджирования, который часто требует значительных изменений позиции в акциях при определенных рыночных колебаниях. Также анализируется зависимость стоимости опционов разных типов от параметра неликвидности. Автор находят подтверждение разумному выводу о том, что с увеличением данного показателя растут издержки инвестора, желающего захеджировать свою позицию. Другим важным выводом является результат, что издержки ликвидности для барьерного опциона колл выше, чем для обычного европейского опциона.

Работа авторов Чоу Р., Чанга С.-Л. и др. (Chou R.K., Chung S.-L., Hsiao Y.-J., Wang Y.-H., 2011) особенно интересна с точки зрения эмпирической проверки связи цен опционов с факторами, характеризующими ликвидность того или иного контракта. В статье рассматривается влияние ликвидности базовых активов и самих опционов на уровни подразумеваемой волатильности, а значит и на цены опционов.

Авторы используют данные по 30 акциям, использующимся при расчете промышленного индекса Доу-Джонса по состоянию на 31 декабря 2004 года, и по опционам на них. Данные собраны на дневной основе из базы Ivy DB OptionMetrics за период с 1 января 2001 по 31 декабря 2004 года. Авторы изучают влияние ликвидности и на всю кривую волатильности, поэтому в отличие от предыдущих исследований по данной тематике, используют не только опционы на деньгах, но и на других страйках.

В качестве факторов, отражающих уровень ликвидности акций и опционов, исследователи используют широкий набор характеристик, которые представлены в таблице 2.

Таблица 2. Показатели ликвидности акций и опционов, использованные для анализа в статье.

Показатель ликвидности.	Описание.
Акции
Суммарный объем торгов (VOL).	Объем торгов акциями в течение дня.
Число сделок (NT).	Общее количество сделок за день.
Средний размер сделки (ATS).
Абсолютный дисбаланс заявок (AOI).	Разница между количество заявок на покупку и продажу в течение дня.
Средний пропорциональный котируемый спред (AQS).
Средний пропорциональный эффективный спред (AES).
Опционы
Объем торгов (OVOL).	Объем торгов опционами в течение дня.
Объем торгов в денежном выражении (DVOL).
Пропорциональный бид-аск спред (OAQS).
Открытый интерес (OI).	Величина открытого интереса по опционам.

Источник. (Chou R.K., Chung S.-L., Hsiao Y.-J., Wang Y.-H., 2011).

Их можно разделить на две группы: основанные на сделках и заявках. Первая группа является мерой ликвидности ex post, поскольку отражает результаты уже совершенных сделок. При этом нет никаких причин утверждать, что в дальнейшем инвесторы будут продолжать вести себя схожим образом. С другой стороны, показатели, основанные на заявках, все чаще воспринимаются как более надежные оценки (Aitken, 2003), с. 54. Первые три меры (VOL, NT, ATS) относятся к характеристикам, основанным на сделках, а последние три — к мерам, основанным на заявках. В качестве показателей, описывающих ликвидность опционов, выбраны объем торгов данным инструментом в абсолютном (OVOL) и денежном выражении (DVOL). Также используется показатель открытого интереса по опционам (OI), который показывает общее количество нереализованных длинных и коротких позиций в данном контракте в исследуемый момент времени. Его колебания позволяют судить о том, насколько часто происходят сделки с тем или иным опционом и связаны они с покупкой или продажей актива.

Также при проведении тестов авторы использовали ряд контрольных переменных, таких как размер фирмы, ее коэффициент рычага, долю систематического риска и другие.

Изначально исследователи строят регрессии, в которые в качестве объясняющих переменных включают контрольные переменные и один из показателей ликвидности. Используя значимость коэффициентов и как критерии были выбраны показатели ликвидности обладающие наибольшим влиянием на волатильность, а значит и на цены опционов: объем торгов (VOL), средний размер сделки (ATS), средний пропорциональный котируемый спред (AQS), объем торгов опционами в денежном выражении (DVOL), пропорциональный бид-аск спред для опционов (OAQS) и открытый интерес (OI). Затем была построены регрессии для разных лет, в которые наряду с контрольными переменными были одновременно включены все отобранные меры ликвидности. Благодарю этому авторам удалось обнаружить, что средний пропорциональный котируемый спред, рассчитываемый для базовых активов, оказывает наибольшее влияние на цены изучаемых производных контрактов. Анализ регрессий для опционов с разными сроками до исполнения позволил обнаружить, что наряду с данным показателем немаловажную роль в определении величины волатильности играет и дневной объем торгов акциями, открытый интерес и пропорциональный бид-аск спред опционов. Интересным является то, что коэффициент при последних двух мерах оказался отрицательным.

Отдельная часть работы посвящена изучению влияния ликвидности базового актива и опционов на кривую волатильности. В качестве мер ликвидности были отобраны пропорциональные спреды для базового актива и опционов как продемонстрировавшие наибольшее влияние на предыдущем этапе исследования. Авторам удалось обнаружить положительное влияние данного показателя базового актива на свободный член кривой волатильности, заданной в линейном виде. Влияние ликвидности опционов на этот показатель оказалось отрицательным и значимым для опционов с любыми сроками до исполнения. На наклон кривой волатильности значимо во всех случаях влияет только показатель, рассчитанный для опционов: чем ликвиднее опцион, тем более крутой будет кривая.

Таким образом, исследование, проведенное авторами, позволило получить ряд важных выводов, на основе существующих эмпирических данных.

• 1. Величина подразумеваемой волатильности объясняется как ликвидностью базового актива, так и самих опционов.
• 2. Чем более неликвидным является базовый актив, тем больше цена опциона, а значит выше его подразумеваемая волатильность. Это связано с тем, что инвестор вынужден сталкиваться с риском ликвидности и нести издержки. Полученный вывод согласуется с теоретическими и эмпирическими результатами, полученными в работе Четина и Джарроу (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006).
• 3. Для менее ликвидных опционов характерны более низкие уровни подразумеваемой волатильности, а значит и цены. Это явление уже было описано другими авторами, в частности Амихудом и Мендельсоном (1986), и представляет собой скидку за низкий уровень ликвидности, который принимает инвестор, приобретающий данный инструмент.
• 4. Большая ликвидность опционов приводит к тому, что кривая подразумеваемой волатильности становится более крутой.

Работа Бреннера (Brenner M.), Элдора (Eldor R.) и Хозера (Hauser S.) «The Price of Options Illiquidity» является другим исследованием, в котором изучается вопрос зависимости цены опционов от его же показателей ликвидности. Авторы использовали данные по валютным опционам, выпущенным Центральным Банком Израиля, торговля которыми не осуществлялась на рынке. Авторы сравнили цены данных производных инструментов с аналогичными рыночными опционами и обнаружили, что они дешевле на 21%. Это наблюдение также можно рассматривать как пример скидки за отсутствующую ликвидность, то есть за то, что инвестор не имеет возможности продать описанный контракт.