Методы принятия управленческих решений

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Прикладная математика»

Курсовая работа по дисциплине МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Вариант № 5

Выполнила: студент группы Ц19 (1 курс, 2 семестр),

направления 80 200 «Менеджмент»,

специальности 80 200.62 «Логистика»,

Воропаев Максим Сергеевич Проверил: (преподаватель, ст. преподаватель, доцент, профессор) кафедры «Прикладная математика» ДВГУПС Иванов Андрей Николаевич Хабаровск

СОДЕРЖАНИЕ Введение Часть 1. Транспортная модель закрытого типа

1.1 Условие задачи

1.2 Построение опорных планов транспортной модели

1.2.1 Построение опорного плана методом северо-западного угла

1.2.2 Построение опорного плана методом минимальной стоимости

1.2.3 Построение опорного плана методом Фогеля

1.3 Оптимизация транспортной модели закрытого типа

1.3.1 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом северо-западного угла

1.3.2 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом минимальной стоимости

1.3.3 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом Фогеля Часть 2. Транспортная модель открытого типа

2.1 Условие задачи

2.2 Построение опорных планов транспортной модели

2.2.1 Построение опорного плана методом северо-западного угла

2.2.2 Построение опорного плана методом минимальной стоимости

2.2.3 Построение опорного плана методом Фогеля

2.3 Оптимизация транспортной модели открытого типа

2.3.1 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом северо-западного угла

2.3.2 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом минимальной стоимости

2.3.3 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом Фогеля Заключение Используемая литература

Введение

Транспортная модель объединяет широкий круг задач, которые могут быть решены различными методами. Прежде всего, дадим определение транспортной задачи. «Транспортная задача — задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходом».

Транспортные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.

Актуальность данной работы заключается в том, что, так как каждая организация действует в условии ограниченности ресурсов, в реальности подобные ситуации встречаются достаточно часто. Поэтому во многих сферах деятельности для принятия оптимального решения с целью наиболее эффективного функционирования бизнеса требуется навык решения транспортных задач.

Алгоритм решения транспортной задачи заключается в том, что сначала находится опорный план одним из методов, а также первоначальное решение. Затем оно корректируется с помощью метода потенциалов и приводится к оптимальному решению. Оптимальным является то решение, при котором сумма затраченных средств минимальна.

Целью данной работы является решение транспортной задачи по предложенным условиям. Соответственно, задачами работы является определение опорного плана методом Фогеля, северо-западного угла и наименьшего элемента с последующей корректировкой методом потенциалов, и нахождение оптимального решения задачи.

Предметом исследования является транспортная задача. Объектом исследования выступает метод потенциалов.

Что из себя представляет транспортная задача?

Дано поставщиков, , …, предложение каждогого поставщика составляет единиц, .

Дано потребителей, , …, спрос каждогого потребителя составляет единиц, .

Дана стоимость перевозки единицы товара отго поставщика кму потребителю.

Требуется составить план перевозок отго поставщика кму потребителю с минимальной стоимостью и рассчитать стоимость плана перевозок.

Обозначим — количество груза, перевозимое отго поставщика кму потребителю. Тогда общая стоимость товара равна:

.

Матрица транспортных расходов имеет вид:

, .

Матрица перевозок (план перевозок) имеет вид:

,.

Часть 1 Транспортная модель закрытого типа

1.1 Условие задачи

1.2 Построение опорных планов транспортной модели

1.2.1 Построение опорного плана методом северо-западного угла Преобразуем данные задачи в таблицу 1.

транспортный модель опорный стоимость Таблица 1

Начинаем заполнение таблица с верхнего левого угла, т.к. он и является «северо-западным». Делаем в эту клетку поставку, которая могла бы максимально удовлетворить спрос потребителя и при этом учесть предложение поставщика. Поставка в 50 ед. товара. Поскольку спрос первого поставщика удовлетворен, закрываем первый столбец.

Далее продолжаем заполнение вновь с самого верхнего левого угла. Совершаем поставку в 20 единиц товара. Так как потребность первого поставщика иссякла, имеем право закрыть первую строку.

Снова находим северно-западный угол. Делаем поставку в 45 единиц товара. Закрываем второй столбец, т.к. полностью удовлетворили спрос второго потребителя.

Вновь самый верхний левый угол делаем поставку. Она будет состоять из 20 единиц товара. Теперь мы закрываем вторую строку, так как мы полностью использовали предложение второго поставщика.

В новый северо-западный угол делаем поставку в 45 единиц товара. В предпоследнюю клетку делаем поставку в 15 единиц товара. В последнюю клетку поставляем оставшиеся 30 единиц товара.

Матрица перевозок для данного опорного плана.

.

Опорный план выполнен, можно приступить к расчету его стоимости.

1.2.2 Построение опорного плана методом минимальной стоимости Снова преобразуем данные в таблицу.

Таблица 2

Основой метода минимальной стоимости является работа с транспортными издержками. Поэтому выполнение плана мы начинаем с поиска наименьшей транспортной издержки. Наименьшая транспортная издержка расположена в ячейке и равна 15. Делаем в эту ячейку поставку, способную удовлетворить потребность потребителя и учесть мощность поставщика. Это 30 единиц товара. Так как спрос потребителя 5 удовлетворен, имеем право закрыть столбец 5.

Следующая наименьшая транспортная издержка находится в ячейке и равна 20. Производим в неё поставку равную 50 единицам товара. Так как спрос потребителя 1 удовлетворен, имеем право закрыть столбец 1.

Новая наименьшая издержка расположена в ячейке и равна 21. Делаем в это ячейку поставку в такое количество единиц, которое могло удовлетворить спрос потребителя и учесть предложение поставщика. Это 20 единиц товара. Так как предложение поставщика иссякло, имеем право закрыть строку .

Следующая наименьшая транспортная издержка находится в ячейке. Делаем в это ячейку поставку в такое количество единиц, которое могло удовлетворить спрос потребителя и учесть предложение поставщика. Это 45 единиц товара. Так как спрос потребителя 2, закрываем столбец 2.

Следующая ячейка, в которую мы сделаем поставку —. Поставка в 35 единиц товара. Закрываем вторую строку.

У нас остались всего две ячейки, в ячейке транспортная издержка меньше и равна 34. Совершаем в неё поставку в 30 единиц. И в оставшуюся ячейку мы поставляем 15 единиц товара.

Матрица перевозок данного плана.

.

Опорный план выполнен, можно приступить к расчету его стоимости.

1.2.3 Построение опорного плана методом Фогеля Снова преобразуем данные в таблицу 3.

Таблица 3

Находим в каждой строке самую минимальную транспортную издержку. Затем ближайшую к ней минимальную транспортную издержку. Находим разность этих издержек и записываем в конце строки вне таблицы. Повторяем предыдущие действия для столбцов. Выбираем самую большую разность. В нашем случае это разность 17 столбца 3. Находим минимальную транспортную издержку в этой строке. Это клетка, с транспортной издержкой 23. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 4, учитывая предложение поставщика 1. Это количество товара 15. Так как спрос потребителя удовлетворен, закрываем столбец .

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 9 столбца 3. Находим минимальную транспортную издержку в этом столбце. Это клетка, с транспортной издержкой 22. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 3, учитывая предложение поставщика 1. Это количество товара 55. Так как предложение поставщика 1 иссякло, закрываем строку 1.

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 7 строки 2. Находим минимальную транспортную издержку в этом столбце. Это клетка, с транспортной издержкой 15. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 5, учитывая предложение поставщика 2. Это количество товара 15.

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 7 строки 3. Находим минимальную транспортную издержку в этом столбце. Это клетка, с транспортной издержкой 18. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 5, учитывая предложение поставщика 3. Это количество товара 15. Закроем пятый столбец.

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 6 строки. Находим минимальную транспортную издержку в этой строке. Это клетка —, с транспортной издержкой 22. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя, учитывая предложение поставщика. Это количество товара 50. Так как предложение поставщика иссякло, закрываем строку 2.

В клетку мы поставляем 65 единиц товара. И в оставшуюся клетку с транспортной издержкой 34 производим поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 3, учитывая мощность поставщика 3. Это количество товара 10.

Матрица перевозок для этого опорного плана.

.

Стоимость перевозок дня данного опорного плана:

1.3 Оптимизация транспортной модели закрытого типа

1.3.1 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом северо-западного угла Снова представим данные в таблицу 4.

Таблица 4

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 5.

Таблица 5

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 6.

Таблица 6

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 7.

Таблица 7

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 8.

Таблица 8

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 9.

Таблица 9

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 10.

Таблица 10

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Все разности неотрицательные, значит, план оптимальный.

Матрица перевозок для данного плана:

.

Опорный план выполнен, можно приступить к расчету его стоимости.

1.3.2 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом минимальной стоимости Преобразуем данные в таблицу и приступим к расчету потенциалов и перепланировке в таблице 11.

Таблица 11

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 12.

Таблица 12

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 13:

Таблица 13

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле где — количество строк, — количество столбцов:

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 14.

Таблица 14

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 15.

Таблица 15

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

. Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Все разности неотрицательные, значит, план оптимальный.

Матрица перевозок для данного плана.

.

Опорный план выполнен, можно приступить к расчету его стоимости.

1.3.3 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом Фогеля Снова преобразуем данные в таблицу. Теперь она будет иметь немного иной вид. Появятся наименование и значение потенциалов. Так выглядит таблица 16.

Таблица 16

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 17.

Таблица 17

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

Перепланировка представлена в таблице 18.

Таблица 18

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Все разности неотрицательные, значит, план оптимальный.

Матрица перевозок для данного плана:

.

Опорный план выполнен, можно приступить к расчету его стоимости.

Часть 2. Транспортная модель открытого типа

2.1 Условие задачи

2.2 Построение опорных планов транспортной модели

2.2.1 Построение опорного плана методом северо-западного угла Преобразуем данные в таблицу 19.

Таблица 19

Начинаем заполнение таблица с верхнего левого угла, т.к. он и является «северо-западным». Делаем в эту клетку поставку, которая могла бы максимально удовлетворить спрос потребителя и при этом учесть предложение поставщика. Поставка в 50 ед. товара. Поскольку спрос первого поставщика удовлетворен, закрываем первый столбец.

Далее продолжаем заполнение вновь с самого верхнего левого угла. Совершаем поставку в 20 единиц товара. Так как потребность первого поставщика иссякла, имеем право закрыть первую строку.

Снова находим северно-западный угол. Делаем поставку в 45 единиц товара. Закрываем второй столбец, т.к. полностью удовлетворили спрос второго потребителя.

Вновь самый верхний левый угол делаем поставку. Она будет состоять из 20 единиц товара. Теперь мы закрываем вторую строку, так как мы полностью использовали предложение второго поставщика.

В новый северо-западный угол делаем поставку в 45 единиц товара. Закроем третий столбец. В следующую клетку делаем поставку в 45 единиц товара. Закроем третью строку. В следующую клетку добавим 10 единиц товара. В последнюю клетку поставляем оставшиеся 30 единиц товара.

Матрица перевозок для данного опорного плана.

.

Опорный план выполнен, можно приступить к расчету его стоимости.

2.2.2 Построение опорного плана методом минимальной стоимости Снова преобразуем данные в таблицу 20.

Таблица 20

Основой метода минимальной стоимости является работа с транспортными издержками. Поэтому выполнение плана мы начинаем с поиска наименьшей транспортной издержки. Наименьшая транспортная издержка расположена в ячейке и равна 15. Делаем в эту ячейку поставку, способную удовлетворить потребность потребителя и учесть мощность поставщика. Это 30 единиц товара. Так как спрос потребителя 5 удовлетворен, имеем право закрыть столбец 5.

Следующая наименьшая транспортная издержка находится в ячейке и равна 20. Производим в неё поставку равную 50 единицам товара. Так как спрос потребителя 1 удовлетворен, имеем право закрыть столбец 1.

Новая наименьшая издержка расположена в ячейке и равна 21. Делаем в это ячейку поставку в такое количество единиц, которое могло удовлетворить спрос потребителя и учесть предложение поставщика. Это 20 единиц товара. Так как предложение поставщика иссякло, имеем право закрыть строку .

Следующая наименьшая транспортная издержка находится в ячейке. Делаем в это ячейку поставку в такое количество единиц, которое могло удовлетворить спрос потребителя и учесть предложение поставщика. Это 45 единиц товара. Так как спрос потребителя 2, закрываем столбец 2.

Следующая ячейка, в которую мы сделаем поставку —. Поставка в 35 единиц товара. Закрываем вторую строку.

У нас остались всего две ячейки с ненулевой издержкой, в ячейке транспортная издержка меньше и равна 34. Совершаем в неё поставку в 30 единиц. Закроем третью строку. В ячейку мы поставляем 15 единиц товара. И в последнюю — 40.

Матрица перевозок данного плана.

.

Опорный план выполнен, можно приступить к расчету его стоимости.

2.2.3 Построение опорного плана методом Фогеля Снова преобразуем данные в таблицу 21.

Таблица 21

Находим в каждой строке самую минимальную транспортную издержку. Затем ближайшую к ней минимальную транспортную издержку. Находим разность этих издержек и записываем в конце строки вне таблицы. Повторяем предыдущие действия для столбцов. Выбираем самую большую разность. В нашем случае это разность 17 столбца 3. Находим минимальную транспортную издержку в этой строке. Это клетка, с транспортной издержкой 23. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 4, учитывая предложение поставщика 1. Это количество товара 15. Так как спрос потребителя удовлетворен, закрываем столбец .

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 9 столбца 3. Находим минимальную транспортную издержку в этом столбце. Это клетка, с транспортной издержкой 22. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 3, учитывая предложение поставщика 1. Это количество товара 55. Так как предложение поставщика 1 иссякло, закрываем строку 1.

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 7 строки 2. Находим минимальную транспортную издержку в этом столбце. Это клетка, с транспортной издержкой 15. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 5, учитывая предложение поставщика 2. Это количество товара 15.

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 7 строки 3. Находим минимальную транспортную издержку в этом столбце. Это клетка, с транспортной издержкой 18. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 5, учитывая предложение поставщика 3. Это количество товара 15. Закроем пятый столбец.

Повторяем процесс ещё раз, вычисляя разности минимальных издержек строк и столбцов. Выбираем самую большую разность. В этот раз это разность 6 строки. Находим минимальную транспортную издержку в этой строке. Это клетка —, с транспортной издержкой 22. Производим в неё поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя, учитывая предложение поставщика. Это количество товара 50. Так как предложение поставщика иссякло, закрываем строку 2.

В клетку мы поставляем 65 единиц товара. И в оставшуюся клетку с транспортной издержкой 34 производим поставку, которая смогла бы максимально удовлетворить спрос потребителя 3, учитывая мощность поставщика 3. Это количество товара 10.

Матрица перевозок для этого опорного плана.

.

Стоимость перевозок дня данного опорного плана.

2.3 Оптимизация транспортной модели открытого типа

2.3.1 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом северо-западного угла Снова преобразуем данные в таблицу. Теперь она будет иметь немного иной вид. Появятся наименование и значение потенциалов. Так выглядит таблица 22.

Таблица 22

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 23.

Таблица 23

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 23.

Таблица 23

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов:

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 24.

Таблица 24

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции:

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 25.

Таблица 25

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 26.

Таблица 26

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 27.

Таблица 27

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 28.

Таблица 28

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

.

Разности неотрицательны. План оптимален.

Матрица перевозок для этого опорного плана.

.

Стоимость перевозок дня данного опорного плана.

2.3.2 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом минимальной стоимости Преобразуем данные в таблицу и приступим к расчету потенциалов и перепланировке в таблице 29.

Таблица 29

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

Перепланировка представлена в таблице 30.

Таблица 30

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток -8. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 31.

Таблица 31

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

Перепланировка представлена в таблице 32.

Таблица 32

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов.

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

.

Разности неотрицательны. План оптимален.

Матрица перевозок для этого опорного плана:

.

Стоимость перевозок дня данного опорного плана:

2.3.3 Метод потенциала на основе опорного плана, построенного методом Фогеля Снова преобразуем данные в таблицу. Теперь она будет иметь немного иной вид. Появятся наименование и значение потенциалов. Так выглядит таблица 33.

Таблица 33

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов:

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

.

Перепланировка представлена в таблице 34.

Таблица 34

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов:

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

.

Перепланировка представлена в таблице 34.

Таблица 34

Для перепланировки и дальнейшего нахождения оптимального плана, необходимо провести следующие операции.

Проверяем план на вырожденность по формуле.

где — количество строк, — количество столбцов:

число заполненных клеток —. План — вырожденный.

Приписываем каждому поставщику и каждому потребителю потенциалы. Берем один любой потенциал, равный любому произвольному числу. В нашем случае возьмем .

Используя заполненные клетки транспортной таблицы, мы определяем значения остальных потенциалов из условия, что

=, ,

где — потенциалы поставщиков, — потенциалы.

.

Далее для пустых клеток определяем разности

.

.

.

Разности неотрицательны. План оптимален.

Матрица перевозок для этого опорного плана:

.

Стоимость перевозок дня данного опорного плана:

Заключение

В работе изложены основные подходы и методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т. д.

Использовав для решения данной задачи такие методы определения опорного плана как метод северо-западного угла, метод наименьшего элемента и метод Фогеля, можем сделать вывод, что метод северо-западного угла является часто решается в большее количество шагов, чем другие. Однако он позволяет рассчитать значение, наиболее близкое к оптимальному.

Таким образом, важность решения данной задачи для экономики несомненна.

1. Шапкин А. С. Математические методы и модели исследования операций [Текст]: учебник / А. С. Шапкин, Н. П. Мазаева. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2004. — 400 с., С. 119 — 146.

2. Кремер, Н. Ш. Исследование операций в экономике [Текст]: учебное по-собие для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003. — 407 с., С. 123 — 153.

3. Кузнецов, Б. Т. Математические методы и модели исследования опера-ций [Текст]: учебное пособие / Б. Т. Кузнецов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — 390 с., С. 103 — 129.

4. Хазанова, Л. Э. Математическое моделирование в экономике [Текст]: учебное пособие / Л. Э. Хазанова. — М.: Издательство БЕК, 1998. — 141 с., С. 45 — 76.