Множественная линейная регрессия

Задача 1. Множественная линейная регрессия

s — объём продаж товара А, ед. (или спрос);

d — средний доход потребителя, тыс. руб.;

p — цена товара А, руб.;

q — цена товара Б, руб.;

Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения;

Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов, дайте экономическую интерпретацию полученных результатов. Рассчитайте интервальные оценки его коэффициентов и дайте им экономическую интерпретацию;

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности;

Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставьте результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии;

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Сделайте вывод о силе связи результата и факторов. Определите критическое значение r_кр для выборочных парных коэффициентов корреляции по таблице Фишера-Йетса и проверьте значимость каждого из коэффициентов на уровне значимости a=0,05.

Выберите лучшую факторную переменную из рассмотренных и обоснуйте свой выбор.

Выясните, является ли товар, А высокоэластичным или низкоэластичным? Ценным? Традиционным? Взаимодополняющим или взаимозамещающим по отношению к товару Б?

Решение:

Вычислим описательные статистики

Коэффициент вариации факторных переменных d и р больше 0,33 значит по данным признакам совокупность не однородна. Коэффициент вариации факторных переменных q меньше 0,33 значит по данным признакам совокупность однородна.

Закон нормального распределения признаков говорит о том, что мода и медиана очень близки друг к другу, такое распределение считается нормальным.

Значения эксцесса отличны от 0, что не удовлетворяет условиям нормального распределения. Но в целях изучения мы проведем исследование.

Значения асимметрии считаются нормальными если они близки к 0. Наиболее близок к этому значению р — цена товара А.

Построим уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов

Уравнение регрессии имеет вид:

у = 1,221 + 0,201d — 0,219p — 0,303q

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж возрастает на 0,201 руб. С увеличением цены товара, А на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,219 руб. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,303 руб.

Рассчитаем интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии.

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,151 руб. или увеличится как максимум на 0,552. С увеличением цены товара, А на 1 руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,451 руб. или увеличится как максимум на 0,014. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшится максимум на 0,683руб или увеличится как максимум на 0,077 руб.

В границы доверительных интервалов всех переменных попадает 0, это свидетельствует о статистической незначимости и ненадежности рассматриваемых коэффициентов.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением дохода на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж увеличивается на 0,166% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар, А на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,389% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар В на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,383% от своего среднего уровня.

Наиболее сильное влияние на объем продаж оказывает цена товара А, наименьшее доход потребителя.

3. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставим результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии.

Находим наблюдаемое и фактическое значение критерия Фишера

F_табл(б=0,05)=4,12

F_факт = 11,988

F_таблнабл то уравнение в целом статистически значимо и надежно Проверим значимость параметров с помощью критерия Стьюдента

Найдем t_крит(б=0,05; f=32)=2,0423

t_крит>t_набл для переменных d, р, q значит эти коэффициенты регрессии незначимы и ненадежны.

4. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 15.2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

5. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции.

Проверим значимость коэффициентов корреляции на уровне значимости б=0,05.

Рассчитаем фактические значения критериев по формуле:

Табличное (критическое) значение статистики Стьюдента, определенное на уровне значимости б=0,05 при числе степеней свободы f=32равно:

t_крит(б=0,05; f=32)= 2,0423

По критерию t все коэффициенты значимы.

По матрице коэффициентов видим, что наибольшее влияние на объем продаж оказывает цена товара Б, наименьшее доход потребителя.

Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,75, то есть связь между спросом (у) и включенными в модель факторами (х) высокая.

Коэффициент детерминации значит вариация спроса s на 56,2% объясняется вариацией включенных в модель факторов и на 43,8% зависит от других факторов

6. Рассчитаем значения коэффициентов детерминации R² объясняющих переменных по всем остальным переменным, то есть в качестве зависимой переменной выбираем последовательно все переменные: s, d, p, q все остальные объясняющие переменные в качестве независимых.

Анализ оценок детерминации показал наличие тесной связи между объясняющей переменной q и всеми остальными признаками.

Лучшая факторная переменная q так как от нее в большей степени зависит изменение s.

Эластичность по модулю больше 1 значит товар высокоэластичный.

Товары, А и Б могут являться взаимодополняемыми, но не являются взаимозаменяемыми так как коэффициенты эластичности изменяются однонаправлено, так как все коэффициенты регрессии показывают, что связь между ценой товара, А и остальными факторами сильная, то товар традиционен, и так как коэффициенты эластичности по модулю меньше 1 значит товар не ценен.

Задача 2. Парная регрессия

уравнение регрессия линейный корреляция Примите за результативную переменную — переменную, рассмотренную в задаче 1, а за факторную переменную — лучшую факторную переменную, выбранную в задаче 1.

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии и нанесите его на поле корреляции.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых — «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Рассчитайте параметры уравнений:

степенной регрессии;

экспоненциальной (показательной) регрессии;

полулогарифмической регрессии;

Каждое из построенных уравнений нанесите на поле корреляции и для него:

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых — «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Результаты вычислений внесите в сводную таблицу.

По значениям характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня.

Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Решение:

Строим поле корреляции:

2. Предположим, что между х и у связь линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а+bx. Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу 1:

y_х= 1,393 — 0,656х — уравнение линейной регрессии.

Итак, с увеличением цены товара на 1 руб. средний объем продаж уменьшается в среднем на 0,656 руб.

Таблица 1. Расчётная таблица

2. Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между средними затратами на продукты питания (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 45,7% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией доходов и на 64,3% зависит от других факторов.

3. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 21,2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

4. Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,83% от своего среднего уровня, а с уменьшением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,83% от своего среднего уровня.

5. Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t — критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н₀: a=0; b=0; r_ху=0);

Н₁: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н₁: a?0; b?0; r_ху?0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

t_табл(a; n-m-1)=t_табл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как

t_b>t_табл (5,05>2,0423);

t_aтабл (1,847<2,0423);

t_Rxy>t_табл (5,05>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии, а гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

6. Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии в целом незначимо; Н₁: уравнение регрессии в целом значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F (a; m; n-m-1)=F (0,05; 1; 32)=4,17. Так как F_факт>F_табл (25,2>4,17), то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность.

7. Тождество выполняется:

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь степенная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а· x^b.

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+b· lnx, тогда Y=А+b· X, где Y=lny; X=lnx; А=lna.

Составим расчётную таблицу 2.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на X имеет вид:

Y_X = -0,425 — 0,638X

Выполнив его потенцирование, получим:

y_х=е^-0,425· х ^-0,638 или y_х= 0,656 · х ^-0,638

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 35,8% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией среднего дохода потребителя и 64,2% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 325,7%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,638% от своего среднего уровня, а с уменьшением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,638% от своего среднего уровня.

Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t — критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н₀: a=0; b=0; r_ху=0);

Н₁: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н₁: a?0; b?0; r_ху?0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

t_табл(a; n-m-1)=t_табл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как

t_b>t_табл (4,09>2,0423);

t_aтабл (1,164<2,0423);

t_Rxy>t_табл (4,096>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии, а гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F — критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии незначимо;

Н₁: уравнение регрессии значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F (a; m; n-m-1)=F (0,05; 1; 32)=4,17.

Так как F_факт>F_табл (16,729>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Тождество выполняется:

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь показательная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а· b^x.

Построению показательной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+x· lnb, тогда Y=А+B· x, где Y=lny; B=lnb; А=lna. Составим расчётную таблицу 2.

Таблица 2. Расчётная таблица

по методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на x имеет вид:

Y_х= 0,591 — 0,986х Выполнив его потенцирование, получим:

y_х=е^0,591· е^-0,986х или y_х=1,799· 0,375 ^х

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) сильная.

Определим индекс детерминации:

Итак, 49,9% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией цены товара и на 50,1% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 177,8%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,95% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F — критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н₀: уравнение регрессии незначимо; Н₁: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F (a; m; n-m-1)=F (0,05; 1; 31)=4,17.

Так как F_факт>F_табл (29,9>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь полулогарифмическая, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а+blnx, у=а+bХ, где X=lnx;

Составим расчётную таблицу 3.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии y на X имеет вид:

y_Х = 0,715 — 0,436Х или y_х = 0,715 — 0,436lnх Таблица 3. Расчётная таблица

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 34,6% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией дохода потребителя и на 65,4% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 28,1%, что превышает допустимые пределы 8% - 10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать уравнение не удачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,453% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F — критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н₀: уравнение регрессии незначимо; Н₁: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F (?; m; n-m-1)=F (0,05; 1; 32)=4,17. Так как F_факт>F_табл (15,9>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Составим сравнительную таблицу полученных оценок:

Уравнение линейной регрессии является лучшим т.к. средняя ошибка аппроксимации в нём меньше чем в других. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня по уравнению линейной регрессии:

y_х= 1,393 — 0,656х;

;

y_х= 1,393 — 0,656•1,011 = 0,73

Если прогнозное значение цены товара увеличится на 5% от среднего уровня, т. е. станет равной 1,011 руб. то средние затраты на продукты питания увеличатся и станут составлять 0,73 тыс. руб.