Моделирование возбуждения и релаксации прыжковой проводимости двумерного массива квантовых точек

Моделирование возбуждения и релаксации прыжковой проводимости двумерного массива квантовых точек

Содержание Введение Глава 1. Литературный обзор

§ 1.1 Квантовые точки Ge/Si

1.1.1 Квантовые точки

1.1.2 Формирование квантовых точек

§ 1.2 «Кулоновская щель» в плотности состояний

§ 1.3 Прыжковая проводимость

1.3.1 Общее представление о прыжковой проводимости

1.3.2 Модель сетки сопротивлений Миллера и Абрахамса

1.3.3 Закон Эфроса-Шкловского

1.3.4 Кинетика фотопроводимости Глава 2. Модель и методы решения

§ 2.1 Нахождение распределения носителей в массиве квантовых точек

§ 2.2 Возбуждение и релаксация в массиве квантовых точек Глава 3. Результаты моделирования

§ 3.1 Параметры модели

§ 3.2 Кулоновская щель

§ 3.3 Температурная зависимость проводимости

§ 3.4 Возбуждение и релаксация системы Основные результаты и выводы Список литературы

Открытие полупроводниковых гетероструктур было сделано еще в середине 60-х годов, и последующий переворот в информационных технологиях, к которому привело это открытие, был отмечен Нобелевской премией по физике 2000 года. Вначале исследовались классические («объемные») гетероструктуры. С развитием новых методов выращивания полупроводниковых слоев стала возможной реализация высококачественных гетеросистем со сверхтонкими слоями, в которых принципиальную роль уже играли квантовые эффекты.

В конце 80-х годов прогресс в физике двумерных гетероструктур с квантовыми ямами и их прикладных применениях привлек многих ученых к изучению систем, обладающих еще меньшей размерностью — квантовых проволок и квантовых точек.

Квантовые точки Ge/Si представляют собой островки Ge правильной формы, самоформирующиеся при эпитаксии германия на подложке кремния. Латеральные размеры островков составляют величину ~10−20 нм. Уникальность данного объекта исследования заключается в большой плотности массива квантовых точек (~3· 1011 см-2.), что приводит к сильному взаимодействию между ними. Квантовые точки Ge в Si относятся к гетероструктурам 2-го типа: германиевые островки в кремнии представляют собой потенциальные барьеры для электронов и глубокие потенциальные ямы для дырок. В квантовых точках носители заряда заключены в ограниченном объёме пространства, поэтому квантовые точки обладают дискретным спектром носителей заряда.

В плотном массиве квантовых точек (КТ) Ge/Si при низкой температуре (<30K) наблюдается прыжковая проводимость, которая удовлетворяет закону Эфроса-Шкловского, учитывающего дальнодействующее кулоновское взаимодействие между КТ. Ранее было показано, что освещение такого массива светом, вызывающим межзонные переходы в кремнии, приводит к появлению фотопроводимости, знак которой зависит от исходного числа дырок в точках. Результаты были качественно объяснены изменением заполнения квантовых точек дырками при освещении.

Целью данной работы является моделирование процессов фотопроводимости в системе с квантовыми точками, когда основным механизмом переноса заряда является прыжковая проводимость дырок между квантовыми точками. На первом этапе необходимо было решить задачу моделирования прыжковой проводимости с переменной длинной прыжка в отсутствии освещения. Для этого предполагалось рассчитать сетку сопротивлений между КТ, случайным образом распределенными на плоскости. На основе полученных результатов будет изучена зависимость проводимости от перераспределения носителей заряда по массиву квантовых точек, где имеется два типа элементарных процессов: 1) прыжок электрона из случайно выбранной занятой точки на случайно пустую точку; 2) энергетически выгодные прыжки электронов. Процесс первого типа описывает фотовозбуждение электрон-дырочной пары в массиве квантовых точек. Процесс второго типа соответствует релаксации массива.

Глава 1. Литературный обзор

§ 1.1 Квантовые точки Ge/Si

1.1.1 Квантовые точки

При переходе от объёмного полупроводника к структурам пониженной размерности происходит модификация электронных свойств вещества, и в первую очередь — энергетического спектра носителей заряда. Уменьшив все размеры полупроводникового объекта до величин порядка дебройлевской длины волны, получим так называемые квантовые точки.

В квантовых точках носители заряда заключены в ограниченном (малом) объёме пространства и число независимых состояний носителей в квантовой точке ограничено. Поэтому квантовые точки, состоящие, как правило, из 103ч104 атомов, обладают дискретным «атомоподобным» спектром дырок, в связи с чем они рассматриваются как «искусственные атомы».

1.1.2 Формирование квантовых точек

Наиболее распространенным для изготовления квантовых точек является метод, основанный на самоорганизации при гетероэпитаксиальном росте. В гетероэпитаксиальном росте обычно различают три режима [3]:

· Франка-ван дер Мерве (Frank-van der Merwe) — реализуется послойный (двумерный) рост материала B на подложке A;

· Фольмера-Вебера (Volmer-Weber) — имеет место островковый (трёхмерный) рост B на открытой поверхности подложки A;

· Странского-Крастанова (Stranski-Krastanow) — первоначально реализуется послойный рост B на A; затем, после того как плёнка B достигнет определённой критической толщины, происходит образование и рост трёхмерных островков B.

В полупроводниковых гетеросистемах при наличии рассогласования по постоянной решётки между осаждаемым материалом (B) и подложкой (A), как правило, реализуется режим роста Странского-Крастанова.

В дальнейшем будет рассматриваться эпитаксия германия на кремнии. При достаточно малом количестве Ge (менее 3 монослоев) растёт однородная плёнка. Последующее осаждение германия приводит к появлению островков, огранённых плоскостями типа {105}. Такие островки получили название «hut"_кластеров; они имеют прямоугольное или квадратное основание; угол наклона боковых граней составляет ?11°. При дальнейшем росте возникают более крупные островки другого типа, называющиеся «dome"-кластерами. Они имеют более сложную куполообразную форму и большее (по сравнению с «hut"-кластерами) значение отношения высоты к размеру основания. Для использования в качестве квантовых точек наиболее подходящими являются «hut"-кластеры, поскольку они обладают наименьшими размерами. Однако следует иметь в виду, что более узкое распределение островков по размерам достигается для более крупных кластеров.

Параметры массива островков — размеры, плотность, состав островков — существенно зависят от условий роста. В настоящее время следующие параметры роста являются оптимальными для получения приборно-ориентированных Ge/Si гетероструктур с квантовыми точками:

· сравнительно низкая температура роста слоёв Ge (300−400 °C);

· скорость осаждения германия (~0.2 монослоя/с);

· температура заращивания германия кремнием 500 °C.

В этих условиях при нанесении 6ч10 монослоёв Ge образуется массив островков со следующими характеристиками:

· латеральный размер ~10−20 нм,

· разброс размеров (среднеквадратичным отклонением) ~ 20% от среднего значения,

· слоевая плотность островков > 1011 см -2.

При осаждении большего количества германия (более 10 монослоёв) размеры кластеров быстро увеличиваются, а плотность падает.

Чтобы использовать образовавшиеся кластеры в качестве квантовых точек, необходимо закрыть их сверху материалом подложки (в рассматриваемом случае — кремнием).

§ 1.2 «Кулоновская щель» в плотности состояний

Для правильного описания плотности состояний системы как функции энергии необходим учет кулоновского взаимодействия, поскольку большая плотность массива квантовых точек Ge/Si приводит к сильному взаимодействию между ними. Как правило, кулоновское взаимодействие приводит к формированию щели Шкловского-Эфроса в плотности состояний, и плотность состояний на уровне Ферми обращается в нуль. Концепция «кулоновской щели» описана в монографии Б. И. Шкловского и А. Л. Эфроса. Эта теория применима к различным системам, в частности к объемным легированным полупроводникам и массивам квантовых точек.

При малой концентрации примесей в легированном полупроводнике квантовые эффекты, связанные с перекрытием соседних состояний, можно считать малыми, а сами состояния — строго локализованными. Для определенности рассмотрим проводник n-типа. В таком случае система будет состоять из узлов трёх видов: доноры, заряженные положительно, нейтральные доноры и отрицательно заряженные акцепторы с сидящими на них электронами. Все примеси неподвижны, электроны могут переходить с одного донора на другой, вследствие чего электронная система приходит в термодинамическое равновесие. При нулевой температуре распределение электронов по донорам определяется минимумом полной электростатической энергии

(1.2.1)

где nk — числа заполнения доноров; nk = 0, если донор k ионизован, и nk=1, если донор k нейтрален, rkl — расстояние между центрами k и l, е — заряд электрона, е — диэлектрическая проницаемость. Суммирование ведется по всем координатам доноров и акцепторов в соответствии с указаниями над знаками сумм.

Обозначим как Еi потенциальную энергию электрона на узле i, создаваемую всеми прочими заряженными узлами. Для удобства ниже будем отсчитывать энергии не от уровня изолированной примеси, а от уровня Ферми:

(1.2.2)

где EF — уровень Ферми.

Рассмотрим процесс переноса электрона с заполненного в основном состоянии донора i на пустой донор j. При этом состояния с энергией ниже уровня Ферми заполнены, а выше — пустые. С помощью (1.2.1) можно получить приращение Дji энергии, связанное с этим процессом, и записать условие его положительности:

(1.2.3)

где и .

В этом случае наблюдается «кулоновская щель» на графике плотности состояний от энергии вблизи уровня Ферми. Рассмотрим доноры, чьи энергии попадают в узкую полосу от -/2 до +/2 в окрестности уровня Ферми. Согласно (1.2.3), расстояние rij между двумя любыми донорами этой полосы, энергии которых лежат по разные стороны от уровня Ферми (i· j<0), не может быть меньше e2/е. Следовательно, концентрация доноров n () в полосе шириной не может превышать 2е2/е4 (в двумерном случае), а плотность состояний

(1.2.4)

обращается в нуль при. В итоге плотность состояний имеет следующий вид

(1.2.5)

где б — численный коэффициент, который зависит от упорядоченного или случайного расположения, и разброса энергии основного состояния КТ. Выражение (1.2.5) справедливо, если энергия столь мала, что расстояние e2/е значительно превосходит среднее расстояние между донорами.

§ 1.3. Прыжковая проводимость

1.3.1 Общее представление о прыжковой проводимости

Перенос по локализованным состояниям, возникающий в результате прыжков носителей с одного локализованного центра на другой, называется прыжковой проводимостью [4,6]. Электрон прыгает с занятого центра на свободный. Поэтому необходимым условием является наличие свободных мест на центрах.

Различным локализованным центрам соответствуют различные энергетические уровни. Предполагается, что если существуют два центра с одинаковой энергией, то они находятся на бесконечном расстоянии друг от друга. Переход с одного центра на другой происходит с поглощением либо испусканием фонона. Каждый такой переход сопровождается изменением энергетических уровней всех центров.

1.3.2 Модель сетки сопротивлений Миллера и Абрахамса

При описании прыжковой проводимости, как правило, используется модель сетки сопротивлений Миллера и Абрахамса [4,6]. Суть модели сетки сопротивлений заключается в том, что задача о вычислении проводимости сводится к определению электропроводимости эквивалентной сетки случайных сопротивлений [4,6].

Последовательность определения сетки сопротивлений состоит в следующем. Исходя из локализованных на отдельных центрах волновых функций электронов, вычисляется вероятность перехода электрона между двумя центрами и, с поглощением и испусканием фонона. Затем определяется число переходов в единицу времени. В отсутствии электрического поля такое же количество электронов совершает обратный переход (принцип детального равновесия). В слабом электрическом поле прямые и обратные переходы окажутся несбалансированными, т. е. возникает ток, пропорциональный электрическому полю. Далее вычисляется ток, и определяется сопротивление данного перехода .

Рассмотрим процесс вычисления сетки сопротивлений более подробно. Пусть концентрация примесей мала и волновые функции электронов локализованы. Но благодаря экспоненциальным хвостам волновых функций перекрытие соседних примесных центров все же имеется и в меру этого перекрытия существует конечная вероятность перехода электрона с одного центра на другой. Переходы происходят с учетом выполнения закона сохранения энергии и согласно принципу Паули: переход возможен только на свободный уровень, поглотить фонон можно только, если он имеется в системе. Вероятность переходов между центрами и пропорциональна произведению двух величин и, где — длина локализации, — расстояние между центрами и , — некоторая характерная энергия:

если, (1.3.1)

если .

Далее каждая пара примесных центров соединяется воображаемым сопротивлением, обратно пропорциональным вероятности переходов,

.(1.3.2)

В итоге получается сетка сопротивлений. Она называется сеткой сопротивлений Миллера и Абрахамса. В равновесии электронные переходы между узлами сетки сопротивлений происходят с одинаковой вероятностью в обе стороны. Во внешнем электрическом поле появляется направленный поток электронов, т. е. конечная проводимость. Чтобы ее вычислить, нужно решить задачу о проводимости такой сетки.

Изначально формально каждый узел сетки соединен со всеми остальными. Однако, сопротивления между узлами, далеко расположенными друг от друга, экспоненциально велики; их можно без ущерба выкинуть, поскольку они заведомо зашунтированы существенно меньшими сопротивлениями. На этом основан общий принцип решения задачи. Из сетки сопротивлений последовательно убираются самые большие сопротивления до тех пор, пока сохраняется ее односвязность. Сопротивление сетки зависит от того, какие самые большие сопротивления пришлось оставить для сохранения связности. Это типичная задача теории протекания.

Разберем определение проводимости всей системы в модели сетки сопротивлений подробно. Рассмотрим некоторую решетку, связи в которой имеют сопротивления в экспоненциально большом интервале значений

, (1.3.3)

Пусть — случайная величина, с вероятностью принимающая любые значения из разрешенного интервала. Выберем некоторое, достаточно малое значение из этого интервала и все связи с сопротивлениями от до сохраним, а все связи с большими сопротивлениями временно разорвем. Доля сохраненных связей равна

.(1.3.4)

Существует некоторое значение, меньше которого () — односвязность решетки не наблюдается, а при — появляется. В этом случае является порогом протекания. Пусть. Это означает, что набор включенных сопротивлений не может обеспечить конечную проводимость решетки. В набор нужно добавить какое-то количество связей с большими сопротивлениями так, чтобы достичь порога. Добавляются самые малые сопротивления из оставшихся, постепенно увеличивая в уравнении (1.3.4). При достижении порога соответствующее значение обозначим через. Пусть для определенности все значения из разрешенного интервала равновероятны, так что функция. Тогда критическое значение параметра равно. Включенные на последнем этапе сопротивления соединили большие конечные кластеры в один бесконечный. Они включены последовательно со всей совокупностью остальных сопротивлений и при этом они больше их всех по величине. Поэтому удельное сопротивление решетки контролируется именно этими сопротивлениями и из-за них оно пропорционально .

Ниже рассматриваются различные варианты прыжковой проводимости с использованием модели сетки сопротивлений Миллера и Абрахамса. В литературе рассказывается, что при постоянной плотности состояний в близи уровня Ферми температурная зависимость проводимости описывается законом Мотта. А при наличии кулоновской щели температурная зависимость описывается законом Эфроса-Шкловского. В следующем параграфе рассмотрим более подробно закон Эфроса-Шкловского.

1.3.3 Закон Эфроса-Шкловского

При выводе закона Мотта плотность состояний вблизи уровня Ферми предполагалась постоянной. Но это не так при наличии кулоновской щели [6], когда

,(1.3.5)

где — размерность пространства, — диэлектрическая проницаемость, энергия отсчитывается от уровня Ферми. Как и при выводе закона Мотта вводится симметричная относительно уровня Ферми полоска, заданная неравенством, а концентрация состояний в полоске теперь зависит от размерности и равно

.(1.3. 6)

Длина прыжка при наличии кулоновской щели от размерности не зависит

.(1.3.7)

Повторяя рассуждения для закона Мотта, можно получить, что удельное сопротивление имеет острый минимум при

.(1.3.8)

Независимо от размерности, сопротивление меняется по закону Эфроса-Шкловского:

,(1.3.9)

где - численный параметр, _ радиус локализации. В работе методоминварианта было получено значение для двумерного случая.

1.3.4 Кинетика фотопроводимости

В эксперименте по прыжковой проводимости в структуре с Ge/Si квантовыми точками исходное заполнение островков Ge дырками осуществлялось введением в образцы дельта-легировнного бором слоя Si. Измерения проводились при температуре от 4К до 13К.

При облучении гетероструктур с Ge/Si квантовыми точками с плотностью Ge островков светом c энергией фотонов, достаточной для рождения электрон-дырочной пары, наблюдаются сложные переходные характеристики фотопроводимости вдоль слоя квантовых точек (Рис. 1.1), описывающие достижение стационарного состояния в процессе освещения и после выключения света. В зависимости от исходного числа дырок в точках знак фотопроводимости изменяется. Образцы с целым числом дырок в квантовых точках характеризуются положительной фотопроводимостью. При дробном заполнении уровня дырками наблюдается отрицательная фотопроводимость. Характер динамики отрицательной фотопроводимости с точностью до знака аналогичен таковому для положительной фотопроводимости.

В эксперименте по прыжковой проводимости в структуре с Ge/Si квантовыми точками обнаружено, что как освещение образца, так и выключение света приводят к аномально медленной кинетике фотопроводимости. После выключения света даже через 5000с система не возвращается к равновесному значению проводимости и отличается на 10% от ее исходного значения после выключения света. Сразу после включения света наблюдается быстрый рост проводимости, в дальнейшем значение проводимости изменяется гораздо медленнее.

Полученные результаты (Рис. 1.1) обсуждались экспериментаторами в рамках следующей модели. При освещении межзонным светом в образце формируется электрон-дырочная пара. Электрон легко рекомбинирует с положительным зарядом на квантовой точке. В результате под действием освещения число дырок в точках уменьшается. Рекомбинация электрона с равновесной дыркой в квантовой точке понижает барьер для захвата неравновесных дырок. Таким образом, при освещении захват дырок идет в условиях непрерывного понижения потенциального барьера. Стационарное состояние наступает, когда потоки электронов и дырок в точки становятся равными между собой.

Рис. 1.1. Кинетика фотопроводимости, нормированной на исходное значение в темноте, для образцов с различной концентрацией дырок в квантовых точках. Обозначение on соответствует моменту включения света, off — выключения.

Исходная неоднородность размеров квантовых точек, а значит, и числа дырок в них, приводит к разбросу высот барьеров вокруг германиевых островков, при этом эффективная высота барьера, характеризующая захват дырок, будет равна минимальному значению из всех существующих. Дырки при освещении захватываются в точки с наименьшим положительным зарядом, что приводит к выравниванию их числа по всему массиву квантовых точек. В результате эффективная высота барьера становится выше, чем для равновесного случая при равном среднем заполнении точек дырками. Увеличение высоты потенциального барьера будет способствовать замедлению роста проводимости со временем, что и наблюдается в эксперименте. После выключения света дырки продолжают захватываться в квантовые точки, при этом высота барьера постоянно растет.

Поскольку проводимость является осциллирующей функцией от заполнения точек дырками, то уменьшение концентрации дырок при освещении приводит как к увеличению, так и к уменьшению проводимости. Положительная фотопроводимость наблюдается в образцах с полным заполнением квантовых точек дырками, отрицательная фотопроводимость — при дробном (кратном 0,5) заполнении квантового уровня дырками.

К настоящему времени в литературе отсутствуют теоретические работы, изучающие зависимость проводимости по многозарядным центрам от их заполнения носителями заряда. Неясно, в частности, при каких условиях проводимость может быть осциллирующей функцией заполнения. Нет также прямых указаний, как должна изменяться проводимость такой системы при «встряхивании» (выведении из равновесия). Поэтому для интерпретации имеющихся экспериментальных данных необходимы дополнительные теоретические исследования.

Задача настоящей работы состоит в численном моделировании прыжковой проводимости в двумерном массиве однозарядных центров (квантовых точек); изучение проводимости в неравновесных условиях (например, под действием света).

Глава 2. Модель и методы решения

прыжковая проводимость массив квантовый

§ 2.1 Нахождение распределения носителей в массиве квантовых точек

Квантовые точки распределяются случайным образом на квадратной области с размером, где d — среднее расстояние между квантовыми точками, N — их количество. Каждая точка характеризуется числом заполнения ni, где i — номер точки. В каждой квантовой точке рассматривался один энергетический уровень. Суммарное количество носителей, где — фактор заполнения (среднее число носителей на одну точку). Кроме того, у каждой точки есть такие характеристики, как положение на плоскости (радиус-вектор) и энергетический уровень. Энергии основного состояния имеют гауссовское распределение со среднеквадратичным отклонением E0.

Полная энергия системы в случае одного уровня в каждой КТ имеет вид:

(2.1.1)

где — заряд электрона, — диэлектрическая проницаемость, — расстояние между точками i и j.

Искомый набор чисел заполнения — это набор, который минимизирует полную энергию (при фиксированном).

Для получения такого набора чисел заполнения сначала носителей были размещены на самые нижние энергетические уровни в системе. В модели с отсутствием кулоновского взаимодействия между квантовыми точками это и будет искомый набор. В противном случае затем перебирались все пары точек и для каждой пары проверялось, выгодно ли энергетически переместить носитель с i-й точки на j-ю; если выгодно, то такой переход совершался. Этот процесс выполнялся до тех пор, пока не будет достигнута конфигурация, в которой ни один переход не ведёт к понижению полной энергии системы.

Критерий энергетической выгодности перехода с i точки на j следующий:

(2.1.2)

Причем существуют переходы только при ni=1 и nj=0.

Для поиска локального минимума полной энергии для массива с 105−106 квантовых точек требуется достаточно много расчетного времени, так как приходится много раз пробегать по всем парам точек, количество которых составляет ~1010−1012. Для быстрого расчета разбиваем поверхность системы на ячейки (~100 точке в одной ячейке), и кулоновское взаимодействие между квантовыми точками будем учитывать напрямую внутри ячейки и по ее соседям, а по дальним ячейкам считаем, что взаимодействие линеаризовано. Т. е. для подсчета кулоновского взаимодействия между парами точками, не находящихся внутри одной ячейки и соседних ячейках, бралась сумма трех взаимодействий: между центрами двух ячеек; между точкой и центром ячейки, в которой находится. А далее по вышесказанному алгоритму находим минимум энергии всех ячеек, затем рассматриваем условие (2.1.2) не для перехода носителя заряда, а для ячеек. Если это условие выполняется, то берем из случайно выбранной заполненной точки из одной ячейки и перекидываем заряд на произвольную пустую точку в другой ячейки. И так делаем до тех пор, пока не найдем локальный минимум системы.

§ 2.2 Возбуждение и релаксация в массиве квантовых точек

При поглощении фотона в матрице образуется электрон-дырочная пара. Затем электрон и дырка захватывается слоем квантовых точек, на какой-нибудь точке происходит рекомбинация электрона и дырки, а на другой точке появляется электрон или дырка. При моделировании возбуждения массива квантовых точек светом мы используем два типа элементарных процессов: 1) прыжок электрона из случайно выбранной занятой точки на случайно пустую точку;2) энергетически выгодные прыжки электронов. Процесс первого типа описывает фотовозбуждение электрон-дырочной пары в массиве квантовых точек. Процесс второго типа соответствует релаксации массива.

Рассмотрим более подробно модель возбуждения и релаксации. Учитываем то, что для пришедшего заряда, который образовался в процессе поглощение фотона матрицей, на свободную точку может существовать энергетически выгодный переход на ближайшую соседнюю точку (2.1.2), и совершаем такой прыжок носителя заряда. Ближайшими точками являются те, у которых расстояние между ними dij меньше d1, где d1 — параметр модели. После этого энергетически выгодные прыжки носителей заряда в системе, т. е. существует релаксация. Носители заряда прыгают по тем парам точек, между которыми расстояние меньше граничного значения d2, где d2 — так же параметр модели. Частота перехода из i-ой в j-ую точку рассчитывается по формуле (2.2.1), где с-1, т. е. за время, за которое может произойти прыжок,

(2.2.1)

В модели необходимо было заложить изменение проводимости и полной энергии системы во времени. Для этого мы использовали следующий метод: изменение текущего времени определяется как

(2.2.2)

где x — случайное число от 0 до 1, а между i-ой и j-ой точками совершался энергетически выгодный прыжок носителей заряда. При добавлении полученного dt к текущему времени должны в системе произойти прыжки других носителей заряда между другими квантовыми точками, у которых имеется расстояние меньше, и упасть на образец должно Idt фотонов, где I=jS, j — интенсивность и S — площадь образца.

По заложенному в программе алгоритму за один цикл, в котором происходит три события (поглощение фотонов образцом, потом прыжки носителей заряда по ближайшим соседям, а затем прыжки по парам точек), изменение времени происходит только в третьем событии. Причем за один цикл текущее время увеличивается после всех случайных энергетически выгодных переходов носителей заряда по точкам. Известно, что через каждый энергетический переход носителя заряда из одной точки на другую рассчитывается величина dt по формуле (2.2.2), и к текущему времени прибавляется полученное самое максимальное значение dt после всех переходов носителей заряда. Для того чтобы не пробегать по всем парам точек, между которыми может произойти энергетически выгодные переходы носителей заряда и расстояние меньше граничного значения d2, а создать случайность, массив всех пар точек рассортируем в порядке возрастания расстояния между ними. Затем выбираем случайное число m от 0 до 1000 и пробегаем по массиву пар точек. Выбираем из массива пары точек, между которыми может возникнуть энергетически выгодный переход носителя заряда, через каждые m шагов. После изменения текущего времени на dt пробегаем по всем парам, у которых расстояние меньше, если существуют энергетически выгодные переходы, то их совершаем. Этот способ позволит нам сократить время компьютерного счета для большого массива 105−106 квантовых точек. Если полная энергия не изменилась за один цикл, то к текущему времени добавляем какое то малое время Дt, в наших расчетах величина Дt=0.5 секунд.

При расчете проводимости в возбужденном состоянии и при релаксации массива квантовых точек используется сетка сопротивлений Миллера и Абрахамса (§ 1.3.2). Сопротивление между парами точек зависит от их энергетических уровней относительно уровня Ферми. Уровень Ферми для всей системы брался таким же, как и на краях образца. Это можно обосновать тем, что на краях образца при измерении проводимости существуют контакты, из-за чего на краях происходит быстрый релаксационный процесс, приводящий к равновесному состоянию. В связи с этим в проводящем кластере уровень Ферми будет такой же, как и на краях. Между двумя краями образца находим минимум энергии по алгоритму, описанному в § 2.1. А уровень Ферми рассчитывается как среднее значение между максимальной энергии из заполненных точек и минимальной энергии из свободных точек.

Для быстрого нахождения порогового сопротивления Rc по сетки Миллера и Абрахамса лучше избавиться от ненужных сопротивлений. Это можно сделать следующим способом: удаляем из сетки те сопротивления, которые меньше граничного значения Rmin и больше Rmax. Граничные значения выбираются по определенному правилу: если существует протекание между двумя противоположными краями образца при заданном Rc, то Rmax=Rc, а если наоборот, нет протекания, то Rmin=Rc. В свою очередь Rc берется как среднее значение между Rmin и Rmax. На рис. 2.1. показано как перестраивается сетка при удалении ненужных сопротивлений. Процедура поиска порогового сопротивления Rc и удаление сопротивлений происходит до тех пор, пока граничные значение Rmin и Rmax не будут равны.

Глава 3. Результаты моделирования

§ 3.1 Параметры модели

Для упрощения проведения расчетов в модели заложены безразмерные величины: среднее расстояние между квантовыми точками d берется равной 1, энергетические уровни в массиве квантовых точек E0 распределены по гауссовскому закону со среднеквадратичным отклонением 1. Поскольку в типичных массивах Ge квантовых точек кулоновское взаимодействие на среднем расстоянии .6 мэВ и E0?6 мэВ, то мы приняли заряд электрона e и диэлектрическую проницаемость е за единицу. Известно также, что радиус локализации в квантовых точках a ?30 нм и d ?18 нм, тогда можно радиус локализации взять за единицу. Средняя тепловая энергия kT взята равной 0.14, что соответствует температуре 10K. В моделировании массив 105 квантовых точек расположен случайным образом подложке с размерами 316Ч316. Половина квантовых точек были заняты носителями заряда.

§3.2 Кулоновская щель

При минимизации полной энергии системы до локального минимума образуется кулоновская щель вблизи уровня Ферми в зависимости плотности состоянии g (E) от энергии носителей заряда. Если проинтегрировать плотность состояний по энергии, то получим количество состояний с энергией, меньше некоторой величины E,. На рис. 3.1 показано три кривые: количество состояний от энергии в зависимости расположения точек Видно, что при E>Ef три кривые сливаются в одну. Рассмотрим поведение вблизи уровня Ферми иначе: разделим число состояний на (E-Ef)2 (см. рис. 3.2) Видно, что при (E-Ef)0 кривые не стремятся к константе р-1, а зависит от энергии как ~E1.2. Этот результат был получен до нас [11], но он дал нам понять, что наше модель работает правильно. Еще наша модель позволяет найти минимум энергии неупорядоченного массива с 105−106 квантовых точек за относительно короткое время.

§ 3.3 Температурная зависимость проводимости

Известно, что при низкой температуре в массиве квантовых точек наблюдается прыжковая проводимость, и зависимость проводимости от температуры должна подчиняться закону Эфроса-Шкловского. 2] В нашем моделировании получилось, что логарифм проводимости зависит от температуры как ~T-0.76, а не T-0.5. (Рис. 5) Для объяснения этого отклонения от закона Эфроса;

Шкловского была вычислена энергетическая полоска, в которой происходит движение носителей заряда по квантовым точкам в режиме прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка[4]. Получено, что энергетическая полоска выходит за приделы линейного участка в зависимости плотности состояний от энергии. Из-за этого и существует несогласование с законом Эфроса-Шкловского.

§ 3.4 Возбуждение и релаксация системы

Мы промоделировали возбуждение системы по схеме Монте-Карло и по алгоритму, описанному в § 2.2. Граничные параметры d1 и d2 взяли равными соответственно 3 и 11, временной параметр t0? 10−11сек согласно § 2.2. При таких параметрах максимальное время, за которое может на максимальное расстояние d2 произойти прыжок носителя заряда, равен 0.036 сек. На рис. 3.3 и рис. 3.4 построены временные зависимости проводимости и полной энергии системы. Из этих временных зависимостей можно предположить, что проводимость функционально зависит от полной энергии. Рис. 3.5 подтверждает наше предположение. Это можно объяснить тем, что при релаксации системы образуется кулоновская щель, которая увеличивает расстояние между свободными и занятыми точками, и тем самым увеличивается сопротивление в сетке сопротивлений Миллера-Абрахамса. Таким образом, уменьшение полной энергии сопровождается уменьшением проводимости.

Расчетное время релаксации проводимости составляет ~2.5 секунд. В эксперименте наблюдалась гораздо более длительная (~1 ч) неэкспоненциальная кинетика фотопроводимости (Рис. 1.1). Следовательно, в эксперименте фотопроводимость определяется не только перераспределением носителей заряда, но и другими процессами (например, изменением концентрации носителей заряда).

Из рис. 3.3 и 3.4 наблюдается, что полная энергия и проводимость при релаксации не возвращается в обратное состояние, а приходит в другое равновесное состояние. Это связано с тем, что при перераспределении носителей заряда образуется новая конфигурация системы, и чтобы система восстановила прежнее состояние, которое было до возмущения, необходимо разрешить в модели переходы носителей заряда на более далекие расстояния, т. е. в нашей модели увеличивать модельный параметр d2. Эти переходы менее вероятны (2.2.1), т. е. могут происходить через больший отрезок времени. По-видимому, в эксперименте так и происходит, т. е. наблюдается медленная релаксация (см. рис. 1.1). Но это не сильно повлияет на характерное время релаксации, т.к. основной вклад в изменение полной энергии системы дают переходы носителей заряда между парами точек, находящихся на коротком расстоянии. Для наблюдения медленной релаксации в нашей модели надо увеличить модельный параметр d2, но тогда увеличивается расчетное время, т.к. придется пробегать по увеличенному массиву пар точек.

На рис. 3.3 видно, что проводимость при возбуждении системы выходит на стационарное значение, а затем возникают флуктуации. Амплитуда флуктуации проводимости составляла 4.7· 10−4 при интенсивности света 103 фотонов в секунду, и 2.4· 10−3 при интенсивности света 104фотонов/сек. Для объяснения флуктуации мы посмотрели, как изменяется проводимость и полная энергия системы при поглощении одного фотона. Выяснили (см. рис. 3.6 и рис. 3.7), что в основном при поглощении одного фотона полная энергия системы растет, а проводимость изменяется как в положительную сторону, так и в отрицательную. По этим рисункам также видно, как неидеально работает модель возбуждения и релаксации, в нашей модели не может происходить одновременно подача фотонов на образец и энергетически выгодные переходы носителей заряда, а происходит последовательность событий согласно алгоритму из § 2.2. Но с другой стороны, мы своей моделью делаем более случайное перераспределение носителей заряда, по сравнению с моделью, в которой поступление фотонов не зависит от энергетически выгодных прыжков носителей.

Рассмотрим подробнее шумы в проводимости при освещении. На рис. 3.8 (в увеличенном масштабе) видно, что проводимость растет с увеличением полной энергии, и спадает при уменьшении энергии. Из выше изложенного следует, что существует корреляция между сопротивлением и полной энергией, как функциями времени. Для доказательства этого мы построили зависимость приращения полной энергии ДEtotal за время Дt=0.15 с от приращения логарифма сопротивления Д ln R за то же время (рис. 3.9). Видно, что точки группируются вблизи прямой ДEtotal = - 3000· Д ln R. Значит, действительно, существует корреляция между флуктуациями проводимости и полной энергии системы. Происхождение флуктуаций энергии очевидно: при поглощении каждого фотона система возбуждается, её энергия увеличивается; а в промежутках между поступлениями фотонов система релаксирует, т. е. её энергия уменьшается. Тем самым объясняется и происхождение шума в проводимости.

Так же мы рассмотрели, как изменяется проводящий кластер при поглощении каждого фотона. Выяснили, что перестройка этого кластера происходит в двух областях, в которых произошло изменение заряда из-за захвата электрона и дырки массивом квантовых точек (Рис. 3.10). Радиус корреляции проводящего кластера (критической подсетки) при температуре 10K равен 20 относительных единиц, что соответствует 0.36 мкм (при расчетной области 5.7×5.7 мкм2). Значит, наша система квантовых точек макроскопическая. Заметим, что размер области, в которой перестраивается проводящий кластер, порядка радиуса корреляции.

Основные результаты и выводы

· Созданы модели для расчета кулоновской щели, прыжковой проводимости и кинетики фотопроводимости в двумерном слое однозарядных центров (квантовых точек). При моделировании возбуждения массива квантовых точек светом мы используем два типа элементарных процессов: 1) прыжок электрона из случайно выбранной занятой точки на случайно пустую точку; 2) энергетически выгодные прыжки электронов. Процесс первого типа описывает фотовозбуждение электрон-дырочной пары в массиве квантовых точек. Процесс второго типа соответствует релаксации массива. В модели заложен поиск проводимости при возбужденном состоянии на основе сетки сопротивлений Абрахамса-Миллера, где уровень Ферми берется для всей системы такой же, как на краях образца.

· Плотность состояний при упорядоченном и случайном расположении квантовых точек в массиве от энергии вблизи уровня Ферми описывается законом ~|E — Ef|1.2.

· Проведено моделирование методом Монте-Карло возбуждения и релаксации проводимости и полной энергии массива с 105 квантовых точек. Возбуждение соответствовало освещению светом с интенсивностью 103−104 фотонов в секунду на весь образец. Показано, что полная энергия релаксирует экспоненциально; проводимость уменьшается с уменьшением полной энергии и имеет экспоненциальную временную зависимость.

· Расчетное характерное время релаксации проводимости очень быстрое (~2.5 с) по сравнению с экспериментальным характерным временем (~1 часа). Это означает, что в эксперименте фотопроводимость определяется не только перераспределением носителями заряда, но и другими процессами, не учтёнными в рассматриваемой модели (например, изменение концентрации носителей заряда).

· За время возбуждения системы проводимость доходит до стационарного значения, а затем происходят флуктуации с амплитудой сравнимой по порядку величины со средним значением проводимости. Существует корреляция между сопротивлением и полной энергией, как функциями времени. Такой шум связан с тем, что из-за одного перехода носителя заряда происходит изменение критической подсетки, т. е. могут выключиться одни пары квантовых точек, а другие включиться.

· Путём моделирования критической подсетки для прыжковой проводимости оценена корреляционная длина для типичного массива квантовых точек Ge в Si (плотность точек равна 1, радиус локализации равен 1, основное состояние точек распределены по гауссовскому закону со среднеквадратичном отклонении 1, заряд электрона равен 1, диэлектрическая проницаемость равна 1, тепловая энергия равна 0.14). Корреляционная длина составила 360 нм для температуры 10 K.

1. A.I.Yakimov, A.V.Dvurechenskii, Yu.Yu.Proskuryakov, A.I.Nikiforov, O.P.Pchelyakov, S.A.Teys, and A.K.Gutakovskii, Normal-incidence infrared photoconductivity in Si p-i-n diode with embedded Ge self-assembled quantum dots, Applied Phys. Lett. 75, № 10, 1413 (1999).

2. Н. П. Степина, А. И. Якимов, А. В. Ненашев, А. В. Двуреченский, А. И. Никифоров, Прыжковая фотопроводимость и ее долговременная кинетика в гетеросистеме с квантовыми точками Ge в Si, Письма в ЖЭТФ 78, вып. 9, 1077−1081 (2003).

3. Леденцов Н. В., Устинов В. М., Егоров А. Ю., Жуков А. Е., Максимов М. В., Табатадзе И. Г., Копьев П. С., Оптические свойства гетероструктур с квантовыми кластерами InGaAs-GaAs, ФТП 28, № 8, 1483−1487 (1994).

4. Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, М. «Наука» (1979).

5. А. В. Ненашев, А. В, Двуреченский, А. Ф. Зиновьева, М. Н. Тимонова, Электронная структура и локализация дырок в массиве туннельно-связанных квантовых точек Ge в Si, Материалы конференции молодых ученых СО РАН посвященной М. А. Лаврентьеву, Новосибирск, 137−142 (2003).

6. В. Ф. Гантмахер, Электроны в неупорядоченных средах, М.:ФИЗМАТЛИТ, (2003).

7. S.D.Baranovskii, A.L.Efros, B.L.Gelmont and B.I.Shklovskii, Coulomb gap in disordered systems: computer simulation, Solid State Communications, Vol. 27, 1−3 (1978).

8. А. С. Скал, Б. И. Шкловский, О формуле Мотта для низкотемпературной прыжковой проводимости. — ФТТ, 1976, т. 16, 1820

9. M. Ben-Chorin, Z. Ovadyahu and M. Pollak, Phys.Rev.B48 (1993), 15 025.

10. A. Mobius, M. Richter, and B. Drittler, Phys. Rev. B 45, 11 568 (1992).