Определение вероятности событий

Задание 1

Из N стрелков можно выделить четыре группы: а₁ — отличных стрелков, а₂ — хороших, а₃ — посредственных и а₄ — плохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка i-й группы равна p_i (i = 1, 2, 3, 4). Случайно на линию огня вызываются два стрелка и стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

Решение:

Вероятность того, что будут вызваны два стрелка из i-й и j-й группы равна

Вероятность того, что хотя бы один из них попадет равна

В результате вероятность попадания будет

Полная вероятность будет равна

Задание 2

Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при каждом броске равна 0,4. Что вероятнее — ожидать попадания трех мячей при четырех бросках мяча или попадания четырех мячей при шести бросках, если броски считать независимыми?

Решение:

Будем считать вероятность попадания по формуле Бернулли:

где

n — число бросков;

k — число попаданий;

p — вероятность попадания при одном броске.

Тогда вероятность попадания трех мячей при четырех бросках мяча будет

А вероятность попадания четырех мячей при шести бросках

Т.е. вероятнее ожидать попадания трех мячей при четырех бросках мяча.

Задание 3

В партии из 10 деталей имеются 8 стандартных. Из этой партии случайным образом взято 4 детали. о — число стандартных выбранных деталей.

Требуется:

1. Построить закон и многоугольник распределения случайной величины о;

2. Построить функцию распределения и ее график;

3. Найти математическое ожидание Мо, дисперсию Dо, среднее квадратическое отклонение уо случайной величины о;

4. Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее своего среднего значения, т. е.P (о < Mо).

вероятность функция распределение дисперсия

Решение:

1. о может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятности этих событий посчитаем по формуле биномиального распределения

где n = 4, р = 0,8

Ряд распределения будет таким:

2) Найдем функцию распределения дискретной случайной величины

3) Для дискретной величины

4) Тогда

Задание 4

Дана плотность распределения случайной величины о

Требуется:

1. Найти постоянную А, функцию распределения F_о(x), математическое ожидание Мо, дисперсию Dо случайной величины о.

2. Построить графики f_о(x), F_о(x), при м = 1.

3. Вычислить Р (х₁< о<x₂) двумя способами: с помощью плотности распределения, с помощью функции распределения при х₁ = м/3, х₂ = м/2

Решение:

Функция распределения равна

Постоянная А находится из условия, что

Т.е. функция распределения будет

Задание 5

Задана нормально распределенная случайная величина о с параметрами

а = 6, у = 1 + 6/7 = 13/7, ()

Требуется:

1. Построить график плотности распределения f_о(x),

2. Вывести формулу, связывающую функцию распределения F_о(x) с функцией Ф (х) Лапласа-Гаусса:

Ф (х) =

3. Используя полученную выше связь F_о(x) с Ф (х), построить график функции распределения F_о(x).

4. Выразить Р (х₁< о<x₂) через функцию Ф (х) (вывести формулу) исходя из соотношения

Р (х₁< о<x₂)=

5. Получить численное значение вероятности при х₁ =,+3у х₂ = - 3у.

Решение:

Плотность вероятности для нормального распределения имеет вид

График этой функции приведен на рис. Он имеет вид колокола с максимумом в точке х = а=6 и расстоянием до точек перегиба у = 13/7.

2. Выведем формулу, связывающую функцию распределения F_о(x) с функцией Ф (х) Лапласа-Гаусса:

Ф (х) =

Т.е. графики этих функций совпадают с точностью до значений по оси х

4. Выразим Р (х₁< о<x₂) через функцию Ф (х) (вывести формулу) исходя из соотношения

5. Получить численное значение вероятности при х₁ =,+3у х₂ = - 3у.

Задание 6

Дайте подробные ответы на вопросы

Доказательство свойств плотности распределения

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: .

Свойство 1: Плотность распределения неотрицательна, т. е.

Доказательство: функция F (x) является неубывающей функцией, а так как плотность вероятности есть производная от функции распределения F (x), а производная от неубывающей функции положительна или равна нулю.

Свойство 2: Для функции распределения F (x) справедливо равенство:

Доказательство: действительно, так как по определению, то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,

Свойство 3: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, б), определяется равенством Доказательство:

Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен

.

Но по свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность .

Свойство 4. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от —? до? равен единице:

Доказательство: в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен

.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

Равенство представляет условие нормировки вероятностей для непрерывных случайных величин. Условие нормировки вероятностей часто используется для определения неизвестного параметра закона распределения.

вероятность функция распределение дисперсия

1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. М., 1979.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика (4-е изд.). М.: Высшая школа, 1972

3. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей (2-е изд.) М.: Наука, 1974

4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М., Наука, 1986