Кривые второго порядка, связанные с треугольником

Кривые второго порядка, или коники, традиционно считаются объектом аналитической геометрии. Их свойства изучаются обыкновенно в замкнутом, самодостаточном виде, как «вещь в себе» — рассказывается, разве что, о некоторых приложениях к задачам механики. А между тем, многие сложные и содержательные утверждения геометрии треугольника тесно связаны с теми или иными кониками, продолжая развивать всевозможные классические направления в планиметрии, взаимодействуя с такими объектами, как окружность Эйлера, прямая Валлиса — Симсона и т. д. и т. п. Кроме того, коники могут применяться для решения геометрических задач, на первый взгляд никак с ними не связанных.

Цель выпускной работы: рассмотреть кривые второго порядка, связанные с треугольником.

Исходя из цели, были поставлены задачи:

1. изучить учебно-методическую литературу по теме выпускной работы;

2. рассмотреть свойства коник, описанных около треугольника и вписанных в него;

3. рассмотреть два отображения, связанных с треугольником: изогональное и изотомическое сопряжения;

4. показать взаимосвязь между замечательными точками и линиями треугольника и кривыми второго порядка, связанными с треугольником;

5. подобрать задачи, решаемые с помощью кривых второго порядка, связанных с треугольником.

Объектом исследования является геометрия треугольника.

Предмет исследования — кривые второго порядка, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.

Работа состоит из двух глав. Глава 1 работы посвящена общеизвестным фактам из геометрии треугольника. В первом и втором параграфах рассказано о свойствах двух отображений плоскости, связанных с треугольником, — изогонального и изотомического сопряжений. Во третьем — даны определения замечательных точек и линий треугольника, показана взаимосвязь между ними. Для изучения свойств коник, связанных с треугольником, удобно использовать трилинейные координаты, основные сведения о которых изложены в последнем параграфе главы 1. Изложение во второй главе начинается с определения и общих свойств коник. Во втором и третьем параграфе охарактеризованы основные свойства описанных около треугольника и вписанных в него кривых второго порядка; приведены примеры коник, полученных как изогональный или изотомический образ замечательных прямых. В четвертом параграфе приведены примеры решения задач с использованием рассмотренного в выпускной работе материала.

В заключении даны некоторые выводы по работе.

1 Элементы геометрии треугольника

Для исследования свойств кривых второго порядка, связанных с треугольником, необходимо знание таких геометрических преобразований, как изоганальное и изотомическое сопряжения.

1.1 Изогональное сопряжение

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку Р внутри его. Отразим прямые АР, BP и CP относительно биссектрис углов А, В и С соответственно (рис. 1.1.1). Докажем, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Воспользуемся вспомогательным построением. Пусть P₁, Р₂ и P₃ — точки, симметричные точке Р относительно прямых АС, АВ и ВС соответственно (рис. 1.1.2), Q — центр описанной окружности треугольника Р₁Р₂Р₃. Покажем, что через точку Q проходят прямые, симметричные прямым АР, BP, CP относительно биссектрис углов А, В, С соответственно.

Будем считать, что треугольник ABC остроугольный. Обозначим BAC = б, РАС = ц. Тогда P₁AС = РАС = ц, P₂AB = PAB = б — ц. А поскольку AP₁ = АР = АР₂, треугольник Р₁АР₂ является равнобедренным, и его угол при вершине А равен 2б. Проведём биссектрису угла P₁АР₂. Она является серединным перпендикуляром к отрезку Р₁Р₂, а значит, проходит через точку Q. Но QAB = P₂AQ — P₂AB = б — (б — ц) = ц, т. е. QAB = PAC.

Аналогично доказываются равенства QBA = PBC и QCA = PCB.

Следовательно, прямые AQ, BQ и CQ симметричны прямым АР, BP и CP относительно биссектрис углов А, В и С соответственно.

Точку Q называют изогонально сопряжённой точке Р относительно треугольника ABC. Ясно, что если точка Q изогонально сопряжена точке Р, то точка Р изогонально сопряжена точке Q. Действительно, если прямая AQ симметрична прямой АР относительно биссектрисы угла А треугольника ABC, то и прямая АР симметрична прямой AQ.

Аналогичным образом можно определить изогонально сопряжённую точку не только для внутренних точек треугольника, но и для остальных точек плоскости, отличных от А, В и С. При этом может оказаться, что прямые, симметричные прямым АР, BP, CP относительно биссектрис треугольника ABC, параллельны. В таком случае мы считаем, что этой точке изогонально сопряжена «бесконечно удалённая» точка.

Отображение, которое переводит каждую точку плоскости (кроме А, В и С) в точку, которая ей изогонально сопряжена, называется изогональным сопряжением относительно треугольника ABC.

Рассмотрим несколько простейших свойств изогонального сопряжения.

1. Изогональное сопряжение не является взаимно однозначным отображением.

Рис. 1.3

Рассмотрим, например, точку на прямой ВС, отличную от В и С. Прямая, симметричная прямой ВС относительно биссектрисы угла В, есть, очевидно, прямая АВ, а прямая, симметричная ВС относительно биссектрисы угла С, есть прямая АС. Поэтому исходная точка перейдёт в точку А. Значит, вся прямая ВС (за исключением точек В и С, для которых отображение не определено) перейдёт в точку А. Поэтому изогональное сопряжение не взаимно однозначно.

Впрочем, если рассматривать плоскость без прямых, содержащих стороны треугольника, то изогональное сопряжение является взаимно однозначным отображением.

Приведённое утверждение требует некоторых пояснений для точек, изогонально сопряжённых точкам описанной окружности треугольника ABC (отличным от вершин А, В, С). Дело в том что для каждой такой точки Р прямые, симметричные прямым АР, BP и CP относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, параллельны.

Докажем, например, что прямые a и b параллельны. Сумма внутренних односторонних углов А + ? и B + ц, образованных при пересечении прямых a и b секущей АВ, равна А + ? + B + ц = A + B + C = 180°. Следовательно, а || b.

Это означает, что каждой точке описанной окружности, кроме вершин треугольника, соответствует некоторая несобственная точка, лежащая на несобственной прямой плоскости. Верно и обратное: если данной несобственной точке, определяемой «пучком» параллельных прямых, поставить в соответствие три параллельные прямые «пучка», проходящие через вершины треугольника, то прямые, симметричные им относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, определяют точку, изогонально сопряжённую этой несобственной точке. Тем самым доказана теорема 1: образом несобственной прямой при изогональном сопряжении является описанная окружность и наоборот.

2. Изогональное сопряжение имеет, ровно четыре неподвижные точки (т.е. существуют ровно четыре точки, которые изогонально сопряжены самим себе): центр вписанной и центры вневписанных окружностей треугольника ABC.

Рис. 1.4

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Эта точка самосопряжена. Центр вневписанной окружности — это точка пересечения двух биссектрис внешних углов треугольника. Поскольку биссектриса внешнего угла перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла, то преобразование симметрии относительно биссектрисы этого внутреннего угла оставляет прямую, содержащую биссектрису внешнего угла, на месте. Значит, при изогональном сопряжении точка пересечения двух биссектрис внешних углов также остаётся на месте. Других неподвижных точек изогональное сопряжение не имеет.

Приведем еще один способ построения изогонально сопряженной точки. Для этого рассмотрим ряд понятий связанных с треугольником.

Определение 1. Педальным (подйрным) треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершинами которого являются проекции точки P на стороны треугольника ABC.

Описанная окружность педального треугольника называется педальной (подерной) окружностью точки P относительно треугольника ABC.

Рис. 1.6

Теорема 1.1.1. Педальный треугольник вырождается (проекции лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Определение 2. Чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершины которого — точки пересечения прямых AP и BC, BP и AC, CP и AB. Описанная окружность чевианного треугольника называется чевианной окружностью точки P относительно треугольника ABC.

Рис. 1.1.7

Дадим еще определение окружностно-чевианного треугольника.

Определение 3. Окружностно-чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершин которого — это точки повторного пересечения прямых AP, BP, CP с описанной окружностью треугольника ABC.

Пусть точка P лежит внутри треугольника ABC (рис. 1.1.9), точка P_a симметрична ей относительно стороны BC, точки P_b и P_c определены аналогично. Пусть P? — это центр описанной окружности треугольника P_aP_bP_c. Точка C равноудалена от P_a и P_b, следовательно, прямая CP? является серединным перпендикуляром к отрезку P_aP_b.

А значит, P_aCP? =½P_aCP_b =C. Но тогда BCP? =P_aCP? ?BCP_a = C? BCP = ACP. Аналогично показывается, что ABP? = CBP и BAP? = CAP. А это и означает, что точка P? изогонально сопряжена P относительно ABC.

Рис. 1.1.9

Если точка P лежит вне треугольника, то рассуждения абсолютно аналогичны, но, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, треугольник P_aP_bP_c вырожден. Тогда центр описанной окружности треугольника P_aP_bP_c не определен (хотя естественно описанной окружностью считать прямую P_aP_b, а ее центром — точку на бесконечно удаленной прямой, соответствующую направлению, перпендикулярному P_aP_b).

Из второго построения изогонально сопряженных точек также следует, что центр педальной окружности точки P — это середина отрезка PP?, а радиус в два раза меньше длины отрезка P?P_a, поскольку педальная окружность точки P — это окружность, получающаяся из описанной окружности треугольника P_aP_bP_c гомотетией с центром в точке P и коэффициентом .

Отсюда также следует такая теорема.

Теорема 1.1.2. Педальные окружности двух точек совпадают тогда и только тогда, когда они изогонально сопряжены.

Доказательство. Действительно, если точки P и P? изогонально сопряжены, то их педальная окружность — это окружность с центром в середине отрезка PP? и радиусом, где Pa и P?a — это точки, симметричные P и P? относительно стороны BC треугольника ABC.

Докажем обратное. Если педальные окружности точек P и Q совпадают, то по доказанному выше они совпадают с педальной окружностью точки P?, изогонально сопряженной точке P. У педального треугольника точки Q две из трех вершин общие с педальным треугольником либо точки P, либо точки P?. Следовательно, точка Q совпадает с одной из этих точек, потому что проекции точки на две прямые полностью задают положение этой точки.

С помощью изогонального сопряжения можно довольно просто доказать теорему Паскаля.

Теорема 1.1.3. (теорема Паскаля). Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на конике. Тогда точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Доказательство. Мы рассмотрим только один случай расположения точек на конике. Остальные рассматриваются аналогично.

Переведем проективным преобразованием конику в окружность. Получим следующую конструкцию (рис. 1.1.10).Точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке X, прямые BC и EF — в точке Y, а AF и CD — в точке Z. Надо доказать, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Рис. 1.10

Углы BAF и BCF равны, поскольку опираются на одну дугу. Аналогично равны углы CDE и CFE. Кроме того, треугольники AZD и CZF подобны. Рассмотрим преобразование подобия, переводящее треугольник AZD в треугольник CZF. При этом преобразовании точка X перейдет в точку X?, изогонально сопряженную точке Y относительно треугольника CZF (в силу вышеуказанных равенств углов). Следовательно, ?AZX=?CZX?=?FZY, а это и означает, что точки X, Z и Y лежат на одной прямой.

1.2 Изотомическое сопряжение

Помимо изогонального сопряжения, относительно данного треугольника определено и так называемое изотомическое, которое строится следующим образом.

Определение. Пусть прямые AP, BP, CP пересекают противоположные стороны треугольника ABC в точках A₁, B₁, C₁, и пусть A₂, B₂, C₂ — точки, симметричные A₁, B₁, C₁ относительно середин соответствующих сторон. Тогда прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке P?, которая называется изотомически сопряженной точке P относительно треугольника ABC.

Рассмотрим произвольную точку Р в плоскости треугольника АВС и ее чевианы. Осуществим затем симметрию оснований чевиан относительно середин соответствующих сторон. Тогда новая тройка прямых пересечется в точке P?, называемой точкой, изотомически сопряженной точке Р.

Как и в случае изогонального сопряжения, вершина треугольника изотомически сопряжена любой точке противоположной стороны. Во всех остальных случаях изотомическое сопряжение взаимно однозначно.

Неподвижными точками изотомического сопряжения являются центр тяжести треугольника и точки, симметричные его вершинам относительно середин противоположных сторон. Следует также отметить, что изотомическая сопряженность точек сохраняется при аффинных преобразованиях.

1.3 Замечательные точки и линии треугольника

С каждым треугольником связан ряд точек, обладающих многими интересными свойствами, которые называются замечательными точками треугольника.

Рассмотрим некоторые из них, необходимых для дальнейшего изложения.

1. Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

2. Центроид — точка пересечения медиан в треугольнике. Центроид традиционно обозначается латинской буквой G.

3. Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Также инцентр является центром вписанной в треугольник окружности (откуда и название). Традиционно обозначается латинской буквой I.

4. Точка Торричелли — точка, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120°, т. е. углы ATB, ATC и BTC равны 120°.

5. Точки Брокара

Первой точкой Брокара называется точка Р, лежащая внутри треугольника АВС, и удовлетворяющая условию .

Второй точкой Брокара называется точка Q, лежащая внутри треугольника АВС, и удовлетворяющая условию .

6. Точка Жергонна — точка пересечения отрезков касательных, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности и противоположных сторон.

7. Точка Нагеля — точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания соответственных вневписанных окружностей (рис. 1.3.4).

8. Точка Фейербаха — точка касания окружности девяти точек и вписанной окружности треугольника.

9. Точка Аполлония (A) - точка, педальный треугольник (образованный основаниями перпендикуляров, опущенной из данной точки на стороны треугольника или их продолжения) которой является правильным.

10. Точка Лемуана — точка пересечения симедиан.

Между указанными замечательными точками существуют пары изогонально (изотомически) сопряженных точек.

Теорема 1.3.1. Первая и вторая точки Брокара изогонально сопряжены.

Доказательство. Пусть Р и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника АВС соответственно,

Докажем, что. Так же, как в предыдущем пункте, построим точку (Рис. 1.3.7). Как мы установили, точка Р лежит на отрезке . Поскольку то прямые АС и параллельны. Пусть точки K и L — основания перпендикуляров, опущенных на прямую АС из точек В и соответственно (Рис. 1.3.8). Пусть также точка К лежит на отрезке АС, а не на его продолжении (остальные случаи разбираются аналогично). Тогда из равенства получаем

Поскольку, по определению, угол меньше любого из углов треугольника АВС, а значит, меньше 90°, то по величине однозначно определяется угол. Для угла, связанного со второй точкой Брокара, мы получим точно такое же выражение, поэтому

Из равенства этих углов следует, что первая и вторая точки Брокара изогонально сопряжены.

Теорема 1.3.2. Ортоцентр треугольника изогонально сопряжен центру описанной окружности.

Доказательство. Это следует из теоремы 1.1.2. Действительно, педальные окружности точек H и O совпадают с окружностью девяти точек Эйлера.

Теорема 1.3.3. Центроид и точка Лемуана изогонально сопряжены.

Доказательство. Прямые, симметричные медианам относительно биссектрис соответствующих углов, называются симедианами. Точка пересечения симедиан, изогонально сопряжена точке пересечения медиан.

Теорема 1.3.4. Точки Жергонна и Нагеля сопряжены изотомически.

Эта теорема доказывается аналогично.

Рассмотрим некоторые замечательные линии треугольника.

Замечательные линии — это неформальное название для отрезков (или прямых), окружностей и более сложных кривых, встречающихся в геометрии треугольника и обладающих теми или иными интересными свойствами. В частности так называют линии, проходящие через несколько замечательных точек треугольника. К замечательным линиям треугольника относят, например, его высоты, медианы, биссектрисы, прямую Эйлера, прямую Симсона и т. д.

1. Прямая Симсона.

Теорема Симсона. Для того чтобы четыре точки принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы ортогональные проекции одной из них на прямые, определяемые тремя остальными точками, были коллинеарны.

Прямая, на которой лежат эти проекции, называется прямой Симсона.

Отметим интересное свойство прямой Симсона, связанное с изогональным сопряжением.

Если точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, то изогонально сопряженной точке P будет точка на бесконечно удаленной прямой, которая задает направление, перпендикулярное прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC (прямой, проходящей через проекции точки P на стороны треугольника ABC).

Рассмотрим случай, изображенный на рисунке (рис. 1.1.5), остальные случаи разбираются аналогично. Пусть точка P лежит на описанной окружности, а Pb и Pc — проекции точки P на стороны AC и AB соответственно. Точку пересечения прямой Симсона точки P с прямой a, симметричной AP относительно биссектрисы A, обозначим через X. Четырехугольник APP_cP_b вписанный, а значит, AP_bP_c =180? ?APP_c =180? ?(90? ?PAP_c)= 90? + PAP_c = 90? + XAP_b. Но, поскольку внешний угол равен сумме двух оставшихся внутренних углов треугольника, AXP_b =90?. Аналогично доказывается, что прямые, симметричные PB и PC относительно биссектрис соответствующих углов, перпендикулярны P_bP_c.

2. Прямая Эйлера может быть определена как прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера проходит через: центроид треугольника, ортоцентр треугольника, точку пересечения серединных перпендикуляров, центр окружности девяти точек.

3. Ось Брокара — прямая соединяющая точку Лемуана и центр описанной окружности.

Для дальнейшего изложения важен вопрос о взаимном расположении каждой из замечательных линий с описанной окружностью.

В зависимости от того, сколько общих точек имеет замечательная прямая с описанной около данного треугольника окружностью (2, 1 или 0), при изогональном сопряжении возникают гипербола, парабола или эллипс соответственно.

При изогональном сопряжении описанная окружность переходит в бесконечно удалённую прямую. Поэтому количество точек пересечения образа прямой l при изогональном сопряжении равно количеству точек пересечения прямой l с описанной окружностью. Коника является эллипсом, если она не пересекает бесконечно удалённую прямую; параболой — если касается; гиперболой — если пересекает в двух точках.

1.4 Изогональное сопряжение в трилинейных координатах

Рассмотрим треугольник ABC и точку Р внутри его. Пусть х, у, z — расстояния от точки Р до прямых ВС, СА и АВ соответственно (рис. 1.4.1). Тогда набор чисел (x, y, z) называется трилинейными координатами точки Р относительно треугольника ABC.

Установим связь между трилинейными и барицентрическими координатами. Напомним, что барицентрические координаты точки Р (относительно треугольника ABC) — это такая тройка чисел (?, ?, ї), что точка Р является центром масс системы точек {(А, ?), (В, ?), (С, ї)} (точке А «приписана» масса х, точке В-масса у, а точке С — масса z). Как видно из определения, числа х, у, z определены с точностью до пропорциональности (т.е. точки с координатами (х, у, z) и (лх, лу, лz) при л?0 совпадают).

Например, точка с трилинейными координатами (r, r, r) — это точка пересечения биссектрис (r — радиус вписанной окружности треугольника), а точка с барицентрическими координатами (r, r, r) = (1,1,1) — это точка пересечения медиан.

Разница, казалось бы, невелика. Но оказывается, что барицентрические координаты хорошо приспособлены к аффинным свойствам, а трилинейные — к метрическим. (Свойство называют аффинным, если оно сохраняется при ортогональной проекции одной плоскости на другую. Например, свойство быть точкой пересечения медиан треугольника — аффинное. Если же свойство существенно зависит от расстояний и углов, то такое свойство называют метрическим. Например, свойство быть точкой пересечения биссектрис треугольника — метрическое.)

Пусть Р — произвольная точка плоскости. Тогда её первая трилинейная координата х — это ориентированное расстояние от точки Р до прямой ВС (т.е. расстояние, взятое со знаком «+», если точки Р и А расположены по одну сторону от прямой ВС, и со знаком «-», если по разные стороны). Соответственно, у и z — это ориентированные расстояния до прямых СА и АВ (рис. 1.4.2).

Итак, каждой точке плоскости мы сопоставили три числа. Но для того, чтобы задать точку на плоскости, вполне достаточно двух чисел (например, в декартовой системе координат). Конечно, барицентрические координаты точки — это тоже три числа, но зато они определены с точностью до пропорциональности. Соотношения (1) приводят нас к выводу, что и трилинейные координаты также можно определить с точностью до пропорциональности.

Пусть точки р и q изогонально сопряжены относительно треугольника ABC и отличны от его вершин, (p₁, p₂, p₃) — трилинейные координаты точки Р. Точки прямой АР (в том числе и несобственная точка) имеют координаты вида (х, р₂, р₃), где х — любое число (включая ?). Прямая AQ симметрична АР относительно биссектрисы угла А, поэтому её точки имеют координаты вида (х', p₃, p₂) (рис. 1.4.3): х' — переменная, а последние две координаты поменялись местами. Поскольку трилинейные координаты определены с точностью до постоянного множителя, можно также утверждать, что точки прямой AQ имеют координаты.

Проводя аналогичные рассуждения для вершин В и С, мы получим, что при изогональном сопряжении точка (р₁, p₂, p₃) переходит в точку

2. Коники, связанные с треугольником

2.1 Общие свойства конических сечений

Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

Теорема 2.1.1. Сечением любого прямого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь гиперболой (рис. 2.1.1), параболой (рис. 2.1.2) или эллипсом (рис. 2.1.3). При этом, если плоскость пересекает только одну плоскость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если плоскость пересекает только одну плоскость по незамкнутой кривой, то эта кривая — парабола; если секущая плоскость пересекает обе плоскости конуса, то в сечении образуется гипербола.

Перечислим некоторые общие свойства конических сечений.

Эллипс и гипербола имеют центр симметрии (который в случае параболы удаляется в бесконечность — точку пересечения прямых, параллельных оси параболы). Любая прямая, соединяющая середины двух параллельных хорд коники, проходит через ее центр (в случае параболы имеем прямую, параллельную оси параболы), т. е. является диаметром коники.

Фокусами эллипса называются точки, сумма расстояний от которых до любой точки коники, равна большей оси эллипса. У эллипса есть две оси симметрии. Это прямая, соединяющая фокусы, и серединный перпендикуляр к отрезку с концами в фокусах. Эти две прямые называются большой и малой осями эллипса, а длины их частей, лежащих внутри эллипса, — длинами большой и малой осей. Расстояние между фокусами называют фокусным расстоянием.

Фокусами гиперболы называются точки, модуль разности расстояний от которых до любой точки коники, постоянен. Гипербола состоит из двух дуг, которые сколь угодно близко приближаются к двум прямым, называемым асимптотами гиперболы. Гипербола с перпендикулярными асимптотами называется равносторонней. Прямая, проходящая через фокусы гиперболы, является ее осью симметрии и называется действительной осью. Перпендикулярная ей прямая, проходящая через середину отрезка между фокусами, также является осью симметрии и называется мнимой осью гиперболы.

Парабола имеет единственную ось симметрии, проходящую через её фокус.

Все коники проективно эквивалентны, т. е. переводятся друг в друга подходящим проективным преобразованием. При этом гипербола пересекает бесконечно удаленную прямую в двух точках, парабола ее касается, а эллипс не имеет с ней общих точек.

Любые пять точек общего положения (т.е. среди которых отсутствуют тройки коллинеарных точек) лежат на некоторой конике, однозначно определенной этими точками. Доказательство.

Двойственное к этому утверждение состоит в том, что пять прямых общего положения (т.е. среди которых нет троек конкурентных прямых) однозначно задают конику, их касающуюся.

Теорема 2.1.2. Кривая, изогонально сопряжённая прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

Доказательство. Если прямая не проходит через вершины треугольника, то в трилинейных координатах она задаётся уравнением px + qy + rz = 0, где числа p, q, r отличны от нуля. Её образ при изогональном сопряжении задаётся уравнением, т. е. pyz + qxz + rxy = 0. Это уравнение задаёт некоторую конику, проходящую через вершины треугольника.

Прямая, проходящая через вершину A, задаётся уравнением qy + rz = 0, её образ при изогональном сопряжении задаётся уравнением x (ry + qz) = 0.

Это уравнение задаёт две прямые: x = 0 (прямая BC) и ry + qz = 0 (эта прямая симметрична исходной прямой относительно биссектрисы угла A).

2.2 Коники, описанные около треугольника

Из школьного курса геометрии нам известно, что около любого треугольника можно описать окружность. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через его вершины. При проективном преобразовании образом окружности является кривая второго порядка.

Кривая второго порядка, содержащая вершины треугольника ABC, называется описанной около этого треугольника.

Каждая кривая второго порядка, описанная около треугольника, может быть получена как изогональный (или изотомический) образ некоторой прямой.

Лемма 2.2.1: Пусть Р и P' - изотомически сопряженные точки относительно треугольника АВС. Тогда прямая РP' параллельна прямой ВС если и только если центр коники, описанной около АВС и проходящей через Р и P' лежит на медиане .

Доказательство.

Конику через пять точек провести можно (теорема…). Предположим, что прямая РP' параллельна прямой ВС. Тогда, поскольку Р и P' - изотомически сопряжены, середина отрезка ВС, точка A₀ будет также и серединой отрезка A_pA'_m с концами в основаниях соответствующих чевиан (т.к. основания чевиан симметричны относительно A₀). Поэтому медиана AA₀ будет пересекать отрезок РP' в его середине P₀. Итак, A₀ и — середины параллельных хорд коники. Значит, медиана, содержащая точку P₀, также будет проходить и через центр коники (в случае параболы — параллельно ее оси).

Теорема. 2.2.1. Гипербола, описанная около треугольника, является равносторонней (т.е. имеет перпендикулярные асимптоты) тогда и только тогда, когда на гиперболе лежит ортоцентр треугольника Н.

Доказательство. Пусть X, Y — две точки бесконечно удаленной прямой, направления на которые перпендикулярны. Проведем через точки A и B прямые, параллельные направлению на X, а через C и H — прямые, параллельные направлению на Y. Пусть UV — диагональ образованного этими прямыми прямоугольника, а B? — основание высоты треугольника, опущенной из точки B (рис. 2.2.2). Так как четырехугольники BB?CV и AUB?H вписаны в окружности с диаметрами BC и AH, ?AB?U = ?AHU, ?VB?C = ?VBC. Но ?AHU = ?VBC как углы с перпендикулярными сторонами, значит, точки U, B?, V лежат на одной прямой, и по обратной теореме Паскаля шестиугольник AXBHYC вписан в конику, т. е. равносторонняя гипербола ABCXY проходит через точку H.

Теорема 2.2.2 Центр описанной гиперболы расположен на окружности Эйлера, асимптоты же совпадают с прямыми Симсона диаметрально противоположных точек, образованных пересечением изогонального образа гиперболы с описанной окружностью.

Доказательство. Пусть D — четвертая (отличная от A, B и C) точка пересечения гиперболы и описанной окружности треугольника ABC, а A?, B?, C?, D? — ортоцентры треугольников BCD, CDA, DAB, ABC соответственно (рис. 2.2.3)

Так как CD?=2R|cos —BCA|=2R|cos —BDA|=DC?, CDC?D? — параллелограмм, т. е. C?D? ||CD и C?D? =CD.

Следовательно, четырехугольники ABCD и A?B?C?D? центрально симметричны. Их центр симметрии является центром гиперболы, на которой в силу основного свойства равносторонней гиперболы лежат все 8 точек. При этом он совпадает с серединой отрезка DD? и, значит, лежит на окружности Эйлера треугольника ABC (а также треугольников BCD, CDA и DAB).

Теорема 2.2.3 Кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.

Доказательство. I способ. Согласно теореме 2.1.2 рассматриваемая кривая является коникой, проходящей через вершины треугольника. Нужно лишь доказать, что эта коника является равнобочной гиперболой.

Первое решение. При изогональном сопряжении точка O переходит в ортоцентр. Если коника проходит через вершины треугольника и его ортоцентр, то она — гипербола с перпендикулярными асимптотами (теорема 2.2.1).

II способ. При изогональном сопряжении точки описанной окружности переходят в бесконечно удалённые точки (теорема). Легко также видеть, что если точки P₁ и P₂ лежат на описанной окружности треугольника ABC и прямые, симметричные прямым AP_i, BP_i и CP_i относительно биссектрис углов A, B и C, параллельны прямой l_i, то угол между прямыми l₁ и l₂ равен углу ?P₁AP₂. Поэтому диаметрально противоположным точкам P₁ и P₂ соответствуют перпендикулярные прямые l₁ и l₂.

Теорема 2.2.3 Если, описанная коника получена соответствующим сопряжением из некоторой прямой, содержащей его неподвижную точку, то эта прямая будет касаться коники в неподвижной точке.

Примем эту теорему без доказательства.

Кривых, описанных около треугольника, может существовать бесконечное количество, поэтому есть смысл рассмотреть кривые, которые являются образами замечательных линий и как следствие проходят через некоторые замечательные точки.

I. Бесконечно удаленная прямая при изотомическом сопряжении преобразуется в эллипс, описанный около исходного треугольника Данный эллипс называется описанным эллипсом Штейнера (рис. 2.2.4) и обладает рядом замечательных свойств:

1. Центр эллипса совпадает с точкой пересечения медиан исходного треугольника.

Доказательство. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее правильный треугольник в треугольник ABC. Тогда описанная окружность этого треугольника перейдет в эллипс, причем центром этого эллипса будет центр тяжести треугольника ABC, так как при аффинном преобразовании сохраняется простое отношение трех точек.

2. Эллипсу Штейнера принадлежат точки, симметричные центроиду относительно середин соответствующих сторон.

3. Среди всех описанных эллипсов эллипс Штейнера имеет, наибольшую площадь.

Доказательство. Это следует из того, что среди всех треугольников, вписанных в окружность, правильный имеет максимальную площадь, а аффинные преобразования сохраняют отношения площадей.

II. Ось Брокара при изогональном сопряжении переходит в некоторую кривую второго порядка. Так как ось Брокара имеет две точки пересечения с описанной окружностью, то образом оси Брокара будет описанная гипербола. Эта кривая называется гиперболой Киперта (рис. 2.2.5).

III. Так как ось Брокара проходит через точку Лемуана и центр описанной окружности, а образом точки Лемуана при изогональном сопряжении является центроид (см. 1.3), а образом центра описанной окружности — ортоцентр (см. 1.3), то это — описанная около треугольника гипербола, проходящая через центроид G и ортоцентр Н.

IV. Гипербола Киперта является равносторонней (теорема 2.2.1)

V. Гипербола Киперта может также быть получена как множество перспекторов (см. 2.3) исходного треугольника и треугольников, составленных из вершин равнобедренных треугольников, построенных на сторонах данного, с одним и тем же углом при основании (причем вершины одновременно откладываются или вовне или вовнутрь).

VI. При изотомическом сопряжении прямая Жергонна переходит в некоторую кривую второго порядка. Образом прямой Жергонна будет описанная гипербола, так как прямая Жергонна и описанная окружность имеют две общие точки. Эта кривая называется гиперболой Фейербаха (рис. 2.2.6). Отметим два основных свойства гиперболы Фейербаха

Рис. 2.2.6

1. Центром гиперболы Фейербаха является точка Фейербаха F (отсюда и пошло название этой гиперболы).

Доказательство. Гиперболу Фейербаха можно получить также как изогональный образ прямой OI, поэтому на ней лежат точки Н и I. Педальные окружности точек I и H имеют единственную общую точку — точку Фейербаха. Следовательно, она и является центром гиперболы.

2. Гипербола Фейербаха является равносторонней (теорема 2.2.1)

VII. Прямая Эйлера проходит через центр описанной окружности O и центроид G. При изогональном сопряжении O в ортоцентр H, а G перейдет в точку Лемуана. Образом прямой Эйлера при изогональном сопряжении, является описанная гипербола проходящая через точку Лемуана и ортоцентр. Эта кривая называется гиперболой Енжабека (рис. 2.2.7). На ней лежит центр описанной окружности.

1. Гипербола Енжабека является равносторонней (теорема 2.2.1)

Рис. 2.2.7

2.3 Коники, вписанные в треугольник

Коника, касающаяся прямых, содержащих стороны треугольника, называется вписанной.

Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр.

Директриса вписанной параболы всегда проходит через ортоцентр Н треугольника, а ее фокус лежит на описанной около треугольника окружности.

Отсюда вытекает доказательство двух красивых фактов, связанных с полным четырехсторонником:

Пусть имеются четыре прямые общего положения, образующие четыре треугольника. Их ортоцентры лежат на одной прямой (т.н. прямая Штейнера-Обера полного четырехсторонника), а описанные около этих треугольников окружности пересекаются в одной точке (так называемой точке Микеля полного четырехсторонника) (рис. 2.3.1).

В самом деле, обязательно должна найтись парабола, касающаяся всех четырех прямых (ибо пятой прямой, которой касается парабола, будет бесконечно удаленная прямая).

Таким образом, эта парабола будет вписана во все четыре треугольника, а значит, их ортоцентры лежат на директрисе, а описанные окружности проходят через фокус.

Теорема 2.3.1. Фокусы эллипса, вписанного в треугольник, изогонально сопряжены относительно этого треугольника.

Доказательство. Рассмотрим угол А треугольника ABC. Пусть эллипс, вписанный в треугольник, касается сторон АВ и АС в точках К и L соответственно, а F₁ и F₂ — фокусы эллипса. Поскольку касательная к эллипсу образует равные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фокусами, точка F'₁. симметричная F₁ относительно КА, лежит на прямой F₂K. Точно так же, точка F'₂, симметричная F₂ относительно LA, лежит на прямой F₁L. При этом F'₁F₂ = F₁K + F₂K = F₁L + F₂L = F₁F'₂. Значит, треугольники F₂AF₁ и F₂AF'₁ равны по трём сторонам.

Следовательно, KAF₁ = F'₁AF₁ = F₂AF'₂ = LAF₂. Это означает, что прямые AF₁ и AF₂ симметричны относительно биссектрисы угла А. Аналогичные рассуждения для углов В и С треугольника показывают, что F₁ и F₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.

I. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее правильный треугольник в треугольник ABC. Тогда вписанная окружность этого треугольника перейдет в эллипс. Образ вписанной окружности правильного треугольника называют вписанным эллипсом Штейнера.

1. Центром эллипса Штейнера является центр тяжести треугольника ABC.

Доказательство. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее правильный треугольник в треугольник ABC. Тогда вписанная окружность этого треугольника перейдет в эллипс, причем центром этого эллипса будет центр тяжести треугольника ABC, так как при аффинном преобразовании сохраняется простое отношение трех точек.

Существует единственная коника, касающаяся данных трех прямых, с центром в данной точке. А значит, это и будет эллипс Штейнера.

2. Эллипс Штейнера касается сторон треугольника ABC в их серединах, так как в правильном треугольнике точки касания вписанной окружности со сторонами — это их середины

3. Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник.

Это следует из того, что среди всех треугольников, описанных около данной окружности, правильный имеет минимальную площадь, а аффинные преобразования сохраняют отношения площадей.

4. Перспектром вписанного эллипса Штейнера является центроид треугольника.

5. Множеством центров коник, проходящих через вершины треугольника и его центр тяжести, является вписанный эллипс Штейнера.

Вписанный эллипс Брокара — это эллипс с фокусами в точках Брокара.

1. Фокусами эллипса Брокара являются точки Брокара.

2. Его перспектором служит точка Лемуана.

3. Эллипс Брокара касается сторон треугольника в основаниях симедиан.

Доказательство. Пусть треугольники BCA₁ и C₂AB подобны треугольнику ABC и расположены так, как показано на рис. 2.3.3. Обозначим их описанные окружности через и . Поскольку точки P и Q лежат на и соответственно и углы, опирающиеся на дуги CP и AQ, равны, то отношение длин отрезков CP и AQ равно отношению радиусов окружностей и. C другой стороны, отношение радиусов этих окружностей равно коэффициенту подобия треугольников BCA₁ и C₂AB, а значит, равно т. е., а поскольку ?PCA = ?QAC (углы Брокара), треугольники CL_bP и AL_bQ подобны. Следовательно, ?PL_bC = ?Br2L_bA. Значит, эллипс с фокусами в точках Брокара и суммой расстояний до фокусов PL_b +QL_b касается прямой AC в точке L_b. Но такой эллипс единственный, и это эллипс Брокара.

То, что эллипс Брокара касается AB и BC в точках L_c и L_a, доказывается аналогично.

Парабола Киперта — вписанная в треугольник парабола, директриса которой совпадает с прямой Эйлера.

1. Перспектор парабола Киперта совпадает с точкой Штейнера S.

2. Фокус параболы Киперта расположен на описанной окружности.

2.4 Применение к решению задач

Знания о кониках связанных с треугольником, могут применяться в геометрических задачах, на первый взгляд ни как с ними не связанных. В качестве примера рассмотрим две задачи:

Для доказательства этих утверждений, воспользуемся леммой 2.2.1.

1. Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через точки Жергонна и Нагеля, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Фейербаха лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне.