Адаптивное управление сетевыми динамическими системами с возмущениями

В последнее десятилетие наблюдается рост интереса к управлению сетями взаимосвязанных систем. Это вызвано не только относительной новизной темы, но и практической значимостью, поскольку множество физических объектов могут рассматриваться как взаимосвязанные системы. К ним можно отнести телекоммуникационные сети, молекулярные ансамбли, биологические объекты, пищевые цепочки, встраиваемые системы, коллективы роботов или транспортных средств, многоядерные процессоры. К задачам теории управления в сетях относятся следующие задачи: управление с целью синхронизации [1, 25, 40, 44, 55, 58], управление с ограничениями на информационный канал [31, 45], управление движением групп мобильных роботов (мультиа-гентные системы — Multiagent Systems) [20−22, 38, 39, 42, 43, 46, 47, 54] в том числе и предотвращения столкновений (Collision Avoidance) [24, 26, 50, 51] и т. д. Кроме того, в задачах кибернетики рассматриваются проблемы передачи шифрованных сообщений [8, 41] с помощью сетей, а также сенсорные сети. Разработка подобных систем связана со стремительным развитием информационных и коммуникационных технологий, включающих беспроводную связь, беспроводные сенсоры, многоядерные процессоры, процессорные сети и телекоммуникационные сети. Возрастает интерес к моделированию и управлению в биологических, биохимических и социальных сетях. Однако синтез регуляторов, обеспечивающих желаемое поведение объектов сети, затруднен сложностью и пространственной распределенностью этих объектов, а также ограничениями на обмен информацией между ними, что повышает интерес к построению алгоритмов децентрализованного управления.

Хотя задачи децентрализованного управления хорошо исследованы в работах Воронова, Миркина, Мюррея, а также в [15, 27, 49], постоянно возникают все более сложные задачи, например, управление через канал с ограниченной пропускной способностью или управление через канал связи с наличием различных искажений. Новые задачи требуют одновременного рассмотрения аспектов теории управления, кодирования, информации и численных методов, а также некоторых областей физики (статистической механики). В большинстве существующих работ по адаптивному управлению на основе пасси-фикации, например, в [2, 7, 12−14, 28], рассматриваются лишь детерминированные системы. В то же время в практических задачах не всегда возможно задать точную математическую модель, и для учета погрешностей в уравнения объектов вводятся возмущения, которые зачастую носят случайный характер и оказывают существенное влияние на динамику системы. Решение некоторых задач адаптивного управления объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, на основе пассификации изложено в книге [10]. Результаты [10] интерпретируются как решение задачи адаптивной стабилизации линейных объектов, в которых ограниченные возмущения типа белого шума действуют либо на параметры объекта, либо на его координаты. В работе [16] рассмотрена задача адаптивной стабилизации при наличии координатно-параметрических стохастических возмущений типа белого шума, а в работах [4, 5] рассмотрены задачи идентификации и адаптивного управления для объектов с различными ограниченными возмущениями, но только для одного объекта.

Несмотря на большой интерес к управлению сетями, пока решен только ограниченный класс задач управления и синхронизации. К примеру, в существующих работах по синхронизации и групповому управлению в основном рассматриваются линейные модели подсистем [45]. В работах [40, 55, 58] предполагается, что все состояния отдельной подсистемы доступны измерению, а также что управление входит во все уравнения подсистем.

Целью работы является синтез регуляторов по выходу, обеспечивающих сходимость в некоторую область решений динамических систем с возмущениями, образующих сети, при неполных измерениях и управлениях для различных случаев.

В работе рассмотрены задачи управления в сетях двух типов.

1. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных динамических объектов в форме Лурье при наличии ограниченных возмущений.

2. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных объектов со стохастическими возмущениями типа белого шума, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями.

В первом типе задач ограниченные возмущения считаются частью взаимосвязей между подсистемами, для достижения цели управления используется модель «ведущая-ведомые подсистемы» с неоднородными связями (leader-follower или master-slave). Во втором типе задач возмущения уже не считаются ограниченными, а принимаются белошумными с ограниченной интенсивностью. Для описания таких систем используются системы стохастических дифференциальных уравнений Ито. Задачи первого типа рассматриваются в главе 2, второго типа — в главе 3.

Диссертационная работа организована следующим образом: в первой главе приводятся вспомогательные результаты, необходимые для дальнейшего изложения: частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана), некоторые матричные неравенства, сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений, а также предложенные A. JI. Фрадковым методы пассификации и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления и в задачах управления объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениямиво второй и третьей главах изложены основные результаты работы.

В главе 2 /диссертации рассматриваются идентичные объекты, описывающиеся уравнениями в форме Лурье (то есть системами дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых разбиты на линейную и нелинейную компоненты), при неполных наблюдениях и управлениях в различных случаях при наличии ограниченной помехи в уравнениях объектов. Синтез регуляторов производится с помощью метода скоростного градиента, предложенного в работах [7, 14, 15] и методов огрубления, предложенных в [27, 34]. Связи между объектами не предполагаются линейными, они могут быть нелинейными. В отличие от известных работ, например, [58], считается, что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Предполагается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров. Кроме того, коэффициенты в уравнениях объектов сети в случае согласованности структур агентов со структурой лидирующей подсистемы также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема, являющаяся изолированной, т. е. не связанной с остальными. Функция управления ведущей подсистемы считается известной. Ставится задача нахождения функций управления взаимосвязанными подсистемами и условий, обеспечивающих синхронизацию, т. е. стремление вектора состояния каждой подсистемы в некоторую окрестность траектории ведущей подсистемы. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса. Доказывается, что для достижения цели управления для некоторой, достаточно большой области достаточно потребовать гипер-мини-мально-фазовость функции некоторого вида и малость взаимосвязей. Полученные результаты демонстрируются на примере синхронизации нескольких взаимосвязанных цепей Чуа с возмущениями, проявляющих хаотическое поведение.

В разделах 2.1−2.3 главы 2 диссертации рассматриваются два случая уравнений подсистем: случай подсистем с липшицевыми нелинейностями и случай подсистем с нелипшицевыми нелинейностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности. Поставленные задачи решаются с помощью результатов, изложенных в [15−18, 34, 41]. Алгоритм адаптации синтезируется методом скоростного градиента с последующим огрублением.

В разделах 2.4−2.6 приводится постановка задачи управления неидентичными системами, структурно согласованными между собой, при наличии ограниченных возмущений. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получаются условия достижения цели управления в виде сходимости решения каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы.

В разделе 2.7 полученные результаты иллюстрируются примером синхронизации нескольких взаимосвязанных цепей Чуа с ограниченными возмущениями, проявляющих сложное поведение.

В главе 3 работы рассматриваются сети динамических объектов с возмущениями типа белого шума с ограниченной интенсивностью. Снова предполагается, что связи между объектами могут быть нелинейными и что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Как и в главе 2, считается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров, а в случае согласованности коэффициенты в уравнениях объектов сети также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема с известной функцией управления и ставится задача нахождения децентрализованного алгоритма адаптивного управления и условий, обеспечивающих сходимость вектора состояния каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса.

В разделах 3.1−3.3 рассматриваются сети идентичных объектов с возмущениями типа белого шума с ограниченной интенсивностью, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями для подсистем с липши-цевыми нелинейностями и подсистем с нелипшицевыми нелинейностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности.

В разделах 3.4−3.6 приводится постановка задачи управления сетями неидентичных объектов, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений, структурно согласованными между собой. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получены условия достижения цели управления в виде сходимости решения каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом.

Выбор линейных регуляторов в работе мотивируется тем, что подход к решению задач основан на использовании квадратичной функции Ляпунова в случае ограниченных возмущений и квадратичной стохастической функции Ляпунова в случае возмущений типа белого шума, и линейные регуляторы с настраиваемыми коэффициентами приводят к эффективно решаемым матричным неравенствам.

Согласно замечанию 3 из раздела 2.3.1, все теоремы глав 2 и 3 могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ: [6, 32, 33, 35−37, 48], — из них 5 — в соавторстве. Работы [6, 33] опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

В работах, написанных в соавторстве, Г. К. Григорьеву принадлежит в [33, 48] - формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с ограниченными возмущениями, остальным авторам — общая постановка задач и формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с задержками, в [32, 35] Г. К. Григорьеву принадлежат условия пас-сификации стохастических систем, а соавторам принадлежит общая постановка задачи, детализация алгоритмов управления и доказательство теорем, в [6] Г. К. Григорьеву принадлежит реализация описываемых методов, формулировка и доказательство теоремы, а А. Л. Фрадкову — общие постановки задач. и

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случаях глобально липшицевых нелинейностей и монотонных нелинейностей. Предложена децентрализованная структура адаптивного регулятора с зоной нечувствительности на основе пасси-фикации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

2. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случае монотонных нелинейностей. Получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

3. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случаях глобально липшицевых нелинейностей и монотонных нелинейностей. Предложена децентрализованная структура адаптивного регулятора с отрицательной параметрической обратной связью на основе пассификации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

4. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случае глобально липшицевых нелинейностей. Получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

5. Синтезирован алгоритм управления сетями цепей Чуа и получены условия их работоспособности.