Однофакторный регрессионно-корреляционный анализ экономической модели

КУРСОВА РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭКОНОМЕТРИКА»

Задача: «Однофакторный регрессионно-корреляционный анализ экономической модели»

По территориям региона приводятся данные за 199х год (табл.1):

Таблица 1

Требуется:

1. Построить поле корреляции.

2. Для характеристики зависимости y от x:

а) построить линейное уравнение парной регрессии y от x;

б) оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и коэффициента детерминации;

в) оценить качество линейного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силу связи с помощью среднего коэффициента эластичности и бета-коэффициента;

д) оценить статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера;

е) оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

3. Проверить результаты, полученные в п. 2 с помощью ППП Excel. Рассчитать параметры показательной парной регрессии. Проверить результаты с помощью ППП Excel. Оценить статистическую надёжность указанной модели с помощью F-критерия Фишера.

4. Обоснованно выбрать лучшую модель и рассчитать по ней прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличиться на 5% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости г=0,05.

Решение:

1. Построим поле корреляции, для чего отложим на плоскости в прямоугольной системе координат точки (x_i, y_i) (рис.1)

Рис. 1. Поле корреляции

2. Для расчёта параметров линейной регрессии строим расчётную таблицу (табл.2.)

Таблица 2

2а. Построим линейное уравнение парной регрессии y по x. Используя данные таблицы 2, имеем

в = =

б = y — в * x = 191,417−1,570*87,667=53,809

Тогда линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

y = 53,809+1,570 * x.

Оно показывает, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная зарплата возрастает в среднем на 1,570 руб. 2б. Учитывая:

у_x = у_y =

оценим тесноту линейной связи с помощью линейного коэффициента парной корреляции:

r_xy = в *

Найдём коэффициент детерминации:

R² = r²_xy = 0,7246

Это означает, что 72% вариации заработной платы y объясняется вариацией фактора х — среднедушевого прожиточного минимума.

2 В. Для оценки качества полученной модели найдём среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем, расчётные значения отклоняются от фактических на 4,8428%. Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. значение — менее 8%.

2 г. Для оценки силы связи признаков y и х найдём средний коэффициент эластичности:

Таким образом, в среднем на 0,72% по совокупности изменится среднедневная зарплата от своей средней величины при изменении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%. Бета-коэффициент:

в _yx = в *

показывает, что среднее квадратическое отклонение среднедневной зарплаты изменится в среднем на 85% от своего значения при изменении прожиточного минимума в день одного трудоспособного на величину его квадратического отклонения.

2д. Для оценки статистической надёжности результатов используем F — критерий Фишера.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о о статистической незначимости полученного линейного уравнения.

Рассчитаем фактическое значение F — критерия при заданном уровне значимости г = 0,05

Сравнивая табличное F_табл = 4,96 и фактическое F_факт = 26,315 значения, отмечаем, что F_табл < F_факт ,

что указывает на необходимость отвергнуть выдвинутую гипотезу Н_о.

2е. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью tстатистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала для каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля: б = в = r_xy = 0.

Табличное значение tстатистики t_табл для степеней свободы

при заданном уровне значимости г = 0,10 составляет 1,8.

Определим величину случайных ошибок:

Найдём соответствующие фактические значения t-критерия Стьюдента:

Фактические значения t — статистики превосходят табличное значение t_табл = 1,8

t_в = 5,130 > t_табл, t_б = 1,990 > t_табл, t_r = 5,130 > t_табл

поэтому гипотеза Н_о о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля отклоняется, т. е. параметры б, в, r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Для расчёта доверительных интервалов для параметров б и в определим их предельные ошибки

.

Доверительные интервалы

для параметры: (5,128; 102,490)

для параметры в: (1,019; 2,120)

С вероятностью

= 1 — г = 1 — 0,05 = 0,95

можно утверждать, что параметр в, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т. е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

3. Проверим результаты, поученные в пункте 2 с помощью ППП Excel.

Параметры парной регрессии вида y=+x определяет встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН представлен на рисунке 2:

Рис. 2. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и номинальной вероятности.

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 3.

регресионный корреляция детерминация Рис. 3. Результаты применения инструмента Регрессия Сравнивая полученные вручную и с помощью ППП Excel данные, убеждаемся в правильности выполненных действий.

4. Построению показательной модели

(1)

предшествует процедура линеаризации переменных.

Прологарифмируем обе части уравнения (1), получим:

ln y = ln б + x * ln в (2)

ведём обозначения

Y = ln y, C = ln б, B = ln в

Тогда уравнение (2) запишется в виде:

Y = C + B * x. (3)

Параметры полученной линейной модели (3) рассчитываем аналогично тому, как это было сделано ранее. Используем данные расчётной таблицы 3.

Таблица 3

Построим линейное уравнение парной регрессии Y по X. Используя данные таблицы 3, имеем:

.

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = 4,51 276+0,8 392* х (4)

Тесноту полученной линейной модели характеризует линейный коэффициент парной корреляции:

r_xY = в *

Коэффициент детерминации при этом равен:

R² = r²_xy = 0,85 382² = 0,7290

Это означает, что 73% вариации фактора Y объясняется вариацией фактора х. Средняя ошибка линейной аппроксимации составляет:

Проведя потенцирование уравнения (4), получим искомую нелинейную (показательную) модель

y =91,1733*1,843^x (5)

Результаты вычисления параметров показательной кривой (1) можно проверить с помощью ППП Excel, для чего используем встроенную статистическую функцию ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

Результат вычисления функции ЛГРФПРИБ представлен на рисунке 4:

Рис. 4. Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ

Для расчёта индекса корреляции с_xy нелинейной регрессии воспользуемся вспомогательной таблицей 4.

Таблица 4

Найдём коэффициент детерминации

R² = с_xy = 0,8513²= 0,7246

Это означает, что 72% вариации заработной платы y объясняется вариацией фактора x — среднедушевого прожиточного минимума.

Рассчитываем фактическое значение F-критерия при заданном уровне значимости г = 0,05:

Сравнивая табличное F_табл = 4,96 и фактическое F_факт = 24,3149 значения, отмечаем, что

F_табл < F_факт ,

что указывает на необходимость отвергнуть выдвинутую гипотезу Н_о о статистически незначимых параметрах уравнения (5)_.

5. Так как коэффициенты детерминации, соответствующие линейной и показательной моделям практически равны (около 72% вариации заработной платы y объясняется вариацией фактора x — среднедушевого прожиточного минимума в обеих моделях), то нет весомых оснований отдать предпочтение какой-либо модели. Тем не менее, прогнозное значение результата рассчитаем по показательной модели (R²_лин = 0,7246 = R²_показ = 0,7246).

По условию задачи прогнозное значение фактора выше его среднего уровня х = 87,677 на 5%, тогда оно составит:

и прогнозное значение зарплаты при этом составит:

y _р = 91,1733*1,843^x=91,1733*1,843^92,05=197,3982

Найдём ошибку прогноза:

и доверительный интервал прогноза при уровне значимости г = 0,05.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза

(174,9423; 219,8541)

Задача: «Анализ и прогнозирования временных рядов «

В таблице каждого варианта заданы временные ряды:

Таблица 5

Y-объем реализации продукции фирмы.

Следующие рядыХ₁ — время, Х₂— расходы на рекламу,

Х₃— цена товара,

Х₄ — средняя цена конкурентов,

Х₅ — индекс потребительских расходов являются рядами независимых переменных.

Требуется:

Вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции и про

анализировать тесноту связи между показателями.

Выбрать вид линейной модели регрессии, включив в нее два

фактора. Обосновать исключение из модели трех других факторов.

Аналитическими методами а) оценить параметры и качество модели, б) вычислить среднюю ошибку аппроксимации, в) вычислить множественный коэффициент детерминации.

С целью проверки полученных результатов провести регрессионный анализ выбранной модели с помощью Excel.

Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную (вычислить соответствующие коэффициенты эластичности и

Р;

коэффициенты, пояснить смысл полученных результатов).

Выбрать с помощью Excel наилучший вид тренда временных

рядов, соответствующих оставленным в модели переменным. По полученным зависимостям вычислить их прогнозные значения на два

шага вперед.

Определить точечные и интервальные прогнозные оценки объема реализации продукции фирмы Y на два шага вперед.

Решение:

В данном примере число наблюдений n=20, факторных признаков m=5.

1. Корреляционный анализ Найдём матрицу коэффициентов парной корреляции с помощью Excel: Сервис Анализ данных На новом рабочем листе получаем результаты вычислений — таблицу значений коэффициентов парной корреляции (рис.5).

Рисунок .5. Результаты корреляционного анализа

2. Выбор вида модели

— Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т. е. объём реализации, имеет тесную связь:

с индексом

— с индексом потребительских расходов r_yX5=0,6688,

— с расходами на рекламу r_yX2=0,712,

— со временем r_yX1=0,976

Однако X₁ и X₅ тесно связаны между собой r_X1X5=0,721,

что свидетельствует о наличии коллинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели X₅ — индекс потребительских расходов. Переменные Х1 (время), Х3 (цена товара), Х4(цена конкурента) также исключаем из модели, т.к. связь их с результативным признаком Y (объёмом реализации) невысокая.

После исключения незначимых факторов имеем n = 20, k = 2.

Модель приобретает вид:

3. Оценка параметров и качества модели На основе метода наименьших квадратов проведём оценку параметров регрессии по формуле

. (1)

При этом используем данные, приведённые в таблице 6

Таблица 6

Непосредственное вычисление вектора оценок параметров регрессии, а согласно формуле (1) весьма громоздко.

Задача существенно упрощается при использовании средств Excel. Операции, предписанные формулой (1) целесообразно проводить с помощью следующих встроенных в Excel функций

Ё МУМНОЖ — умножение матриц;

Ё ТРАНСП — транспортирование матриц;

Ё МОБР — вычисление обратной матрицы.

После вычислений имеем:

Уравнение регрессии зависимости объёма реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в виде Рис. 6. Результат вычислений — вектор оценок параметров регрессии, а Расчётные значения Y определяются путём последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого момента времени t.

Регрессионный анализ При проведения регрессионного анализа с помощью Excel получили

(рис.7)

Рис. 7. Результаты регрессионного анализа, проведённого с помощью Excel

Рис. 8. График остатков

5. Оценка качества модели В таблице «Вывод остатка» (рис.7) приведены вычисленные по модели значения Y и значения остаточной компоненты е.

Исследование на наличие автокорреляции остатков проведём с помощью d — критерия Дарбина — Уотсона. Для определения величины d — критерия воспользуемся расчётной таблицей 7.

Таблица 7

Имеем

.

В качестве критических табличных уровней при n=20, двух объясняющих факторах при уровне значимости г = 0,05 возьмём величины d_L= 1,10 и d_U= 1,54 (из приложения). Расчётное значение d = 1,4031 попало в интервал от d_L= 1,10 до d_U= 1,54.

Рис. 9. Сравнение расчётного значения d — критерия Дарбина — Уотсона с критическими значениями d_L и d_U

Так как расчётное значение d — критерия Дарбина — Уотсона попало в зону неопределенности, то нельзя сделать окончательный вывод об автокорреляции остатков по этому критерию.

Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:

Коэффициенты автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным

Если коэффициент автокорреляции первого порядка r₁ находится в интервале

— 1,96 * 0,224< r₁ < 1,96 * 0,224

то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка.

Используя расчетную таблицу 7, получаем:

Так как

— 0,439 < r₁ = 0,3355 < 0,439,

то свойство независимости остатков выполняется.

Вычислим для построенной модели множественный коэффициент детерминации

Множественный коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием включенных в модель факторов Х₂ и Х₅. Т.о., около 73% вариации зависимой переменной (объема реализации) в построенной модели обусловлено влиянием включенных факторов Х₂ (реклама) и Х₅ (индекс потребительских расходов).

Проверку значимости уравнения регрессии проведем на основе F-критерия Фишера Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95, степенями свободы и

составляет F_табл= 3,5915.

Поскольку F_факт= 22,6306 > F_табл= 3,5915,

то уравнение регрессии следует признать адекватным.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии а₁ и а₂ оценим с использованием F-критерия Стьюдента:

Табличное значение, t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и степенях свободы (20 — 2 — 1) = 17 составляет t_та6л = 2,1.

Так как

t_a1 4,6199 > t_та6л = 2,1,

t_a2 4,1369 > t_та6л = 2,1

то отвергаем гипотезу о незначимости коэффициентов уравнения регрессии а₁ и а₂.

6. Влияние факторов на зависимую переменную Проанализируем влияние включенных в модель факторов на зависимую переменную по модели. Учитывая, что коэффициенты регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, вычислим соответствующие коэффициенты эластичности, в — коэффициенты:

Таким образом, при увеличении расходов на рекламу на 1% величина объема реализации изменится приблизительно на 0,2%, при увеличении потребительских расходов на 1% величина объема реализации изменится на 0,61%.

Кроме того, при увеличении затрат на рекламу на 4,0053 ед. объем реализации увеличится на 22 тыс. руб. (0,5755*37,3291? 22), при увеличении потребительских расходов на 15,1568 ед. объем реализации увеличится на 19 ед. (0,5153*37,3291? 19).

7. Точечное и интервальное прогнозирование Найдем точечные и интервальные прогнозные оценки объема реализации на два квартала вперед.

Для построения прогноза результативного признака Y и оценок прогноза необходимо определить прогнозные значения, включенных в модель факторов Х₂ и Х₅. Построим линию тренда для временного ряда «Индекс потребительских расходов» (рис. 10).

Рис. 10. Результат построения тренда и прогнозирования по тренду для временного ряда «Индекс потребительских расходов»

В качестве аппроксимирующей функции выбран полином второй степени — парабола:

Х₅ = 58,664+5,5154t — 0,1723t²

по которой построен прогноз на два шага вперед, причем прогнозные значения на 21-ый и 22-ой периоды соответственно составляют:

Х₅(21) = 58,664 + 5,5154*21 — 0,1723*21² =98,5031,

Х₅(22) = 58,664 + 5,5154*22 — 0,1723*22² =96,6096.

Построим линию тренда для временного ряда «Затраты на рекламу» (рис. 11).

Рис. 11. Результат построения тренда и прогнозирования по тренду для временного ряда «Затраты на рекламу»

Для фактора Х₂ «реклама» выбираем полиномиальную модель пятой степени (этой модели соответствует наибольшее значение коэффициента детерминации):

Х₂ = -0,0002*t⁵+0,0091*t⁴-0,148*t³+0,991*t²-2,6371*t+7,0271.

Полиномы высоких порядков редко используются при прогнозировании экономических показателей. В этом случае при вычислении прогнозных оценок коэффициентов модели необходимо учитывать большое число знаков после запятой.

Прогнозные значения на 21-ый и 22-ой периоды соответственно составляют:

Х₂(21= -0,0002*21⁵+0,0091*21⁴-0,148*21³+0,991*21²-2,6371*21+7,0271=-28,9921,

Х₂(22)= = -0,0002*22⁵+0,0091*22⁴-0,148*22³+0,991*22²-2,6371*22+7,0271=-46,2459

Для получения прогнозных оценок переменной Y по модели подставим в неё найденные прогнозные значения факторов X2 и X5, получим

Y (21)

Y (22)

Доверительный интервал прогноза имеет границы:

верхняя граница прогноза: Y (n+1)+U (l),

нижняя граница прогноза: Y (n+1)-U (l),

где, .

Имеем

t_кр=2,11 (по таблице при г=0,05 и числе степеней свободы 17),

Тогда с использованием Excel, имеем

4,4560

и Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в таблице прогнозов (табл.8)

1. Гордон В. А., Шмаркова Л. И. Методические указания по выполнению контрольной № 1 по дисциплине «Эконометрика» Орёл, 2003

2. Гордон В. А., Шмаркова Л. И. Методические указания по выполнению контрольной № 2 по дисциплине «Эконометрика» Орёл, 2003