ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… свойства

Π›Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠŸΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ с Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… располоТСны Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ полуплоскости, принято Π² Π’Π­Π¦ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ»ΠΈ устойчивыми ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ. Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (p). МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ коэффициСнтов ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ… Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ условиС принадлСТности Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°. Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ этап: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… свойства (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

АкадСмия России

ΠšΠ°Ρ„Π΅Π΄Ρ€Π° Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ

ЛСкция

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π°

ΠžΡ€Π΅Π» 2009

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΈ:

Π Π°Π·ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»ΡƒΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡΠΌ ΡΡƒΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, устойчивых ΠΈ Π½Π΅ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… элСктричСских Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ, ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ устойчивости Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ связь ОПЀ с ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

РаспрСдСлСниС Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ВступлСниС…5 ΠΌΠΈΠ½.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ вопросы:

1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… цСпях…15 ΠΌΠΈΠ½.

2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Π°Ρ пСрСдаточная функция…20 ΠΌΠΈΠ½.

3. УстойчивыС ΠΈ Π½Π΅ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ элСктричСскиС Ρ†Π΅ΠΏΠΈ.

ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ устойчивости Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°…35 ΠΌΠΈΠ½.

4. Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ОПЀ ΠΈ ΠšΠŸΠ€…10 ΠΌΠΈΠ½.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

…5 ΠΌΠΈΠ½.

1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… цСпях

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаСизобраТСниС искомого колСбания находится ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ составлСния ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π² 3 этапа. Они ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ составлСны нСпосрСдствСнно ΠΏΠΎ ΡΡ…Π΅ΠΌΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² расчСта, срСди ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… наибольшСС распространСниС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ МУН ΠΈ ΠœΠšΠ’. Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ элСмСнты Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ схСмами замСщСния.

1 этап: систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ составлСнная ΠΏΠΎ ΠœΠ£Π для Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ N ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ² Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ - ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… проводимостСй, ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ·Π»Ρƒ, Π° — ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ этот ΡƒΠ·Π΅Π» с ΡΠΎΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌ «i» -ΠΌ ΡƒΠ·Π»ΠΎΠΌ.

Π’ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ части входятизобраТСния Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ «k» -ΠΌΡƒ ΡƒΠ·Π»Ρƒ.

РСшая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠœΠšΠ’, слСдуСт, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нСзависимых ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ΠΎΠ² ΠΈ, Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚Π²ΡƒΡΡΡŒ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ систСмС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой сумму сопротивлСний входящих Π² «k» -ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€, Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма сопротивлСний, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ входят Π² «k» -ΠΉ ΠΈ «i» -ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹.

Π—Π½Π°ΠΊΠΈ слагаСмых этой суммы ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ установлСнными Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π’ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ части ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ входят ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ источники Π­Π”Π‘.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ этап: Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ _изобраТСния Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ напряТСния ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΊΠ°).

Если Ρ†Π΅ΠΏΡŒ содСрТит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ источник (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ), Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Π³Π΄Π΅ — ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ опрСдСлитСля, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ i_ΠΉ строки ΠΈ k_Π³ΠΎ столбца.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, алгСбраичСскиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ) ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°, всС коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ вСщСствСнными числами.

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ этап: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ прСобразования Лапласа, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ находится. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ дСйствия производятся Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ обращСния Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°-МСллина ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ся достаточно слоТными. Однако Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… случаях, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… большоС ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ элСмСнтарным ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

— ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† соотвСтствия;

— Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π² Ρ€ΡΠ΄ с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ использованиСм Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† соотвСтствия.

2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Π°Ρ пСрСдаточная функция

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ -изобраТСния Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ -ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ воздСйствия ΠΏΡ€ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях называСтся ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ (ОПЀ). ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ .

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π·Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сопротивлСния ΠΈΠ»ΠΈ проводимости. Число ОПЀ для ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ†Π΅ΠΏΠΈ дСйствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ источник, Π° Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… напряТСний ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ².

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:

.

МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС раскрытия опрСдСлитСля ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°, ОПЀ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

Π³Π΄Π΅ ΠΈ — вСщСствСнныС числа, Ρ‚. Π΅. ОПЀ элСктричСской Ρ†Π΅ΠΏΠΈ прСдставляСт собой Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ числитСля Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ знамСнатСля.

ОПЀ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚вия, Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ элСмСнтами схСмы ΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ ΠΈΡ… ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ. Если извСстна ОПЀ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ находится ΠΊΠ°ΠΊ:

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· ΠžΠŸΠ€ для ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 1.

Рис. 1

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ схСмС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ОПЀ.

НайдСм .

;; .

Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ находятся, , .

3. УстойчивыС ΠΈ Π½Π΅ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ элСктричСскиС Ρ†Π΅ΠΏΠΈ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ устойчивости Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ ΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ†Π΅ΠΏΡŒ принято ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΡƒΡŽ, Ссли Π² Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свободныС колСбания. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΡƒΡŽ. Вакая Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° слСдуСт ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ устойчивости, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… русским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ А. М. Ляпуновым (1857— 1918 Π³Π³.).

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ соврСмСнных Π›Π Π’Π£ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚. Π΅. Π² ΡΡ…Π΅ΠΌΠ°Ρ… замСщСния содСрТат зависимыС источники. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ пассивная элСктричСская Ρ†Π΅ΠΏΡŒ являСтся устойчивой. Если ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½Π° Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π°, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ ΠΎΠ± Π΅Π΅ ΡƒΡΡ‚ойчивости остаСтся ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ: активная Ρ†Π΅ΠΏΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ устойчивой, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π΅ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈ рассмотрСнии ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ вопроса Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рСакция находится ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прСдставляСт ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, -ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:

Π³Π΄Π΅ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.

Для нахоТдСния ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π° такая функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ СдинствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° ΡΡƒΠΌΠΌΡƒ простых Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°:

.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° .

ΠŸΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ разлоТСния ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ соотвСтствий находится Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для .

ΠŸΡ€ΠΈ этом .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ срСди ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ вСщСствСнныС Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ сопряТСнныС. Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ вСщСствСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ функция Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, Ссли .

Если ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ:

.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ функция являСтся гармоничСской с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠΉ .

ПослСдняя Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, систСма устойчива, Ссли Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (вСщСствСнныС) части ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ знамСнатСля характСристичСского уравнСния ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. (Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ устойчивости А. М. Ляпунова, обоснованной Π² 90_Ρ… Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΠ°).

Для наглядного суТдСния ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π΅ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ плоскости. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 2 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ располоТСниС Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° знамСнатСля пятой стСпСни.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ корнями ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ: вСщСствСнСн ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½,; комплСксны, сопряТСны ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ вСщСствСнныС части. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ†Π΅ΠΏΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ устойчивой.

НаличиС Ρƒ Ρ…арактСристичСского уравнСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ вСщСствСнными частями ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС случайноС воздСйствиС, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ, Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π΅ свободныС колСбания. ЗначСния Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами ΡƒΡΠΈΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅ рассматриваСмая Ρ†Π΅ΠΏΡŒ Π±Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… воздСйствий «ΡΠ°ΠΌΠ°» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ говорят, «ΡΠ°ΠΌΠΎΠ²ΠΎΠ·Π±ΡƒΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ся» .

ЭлСктричСскиС Ρ†Π΅ΠΏΠΈ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… свободныС колСбания, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹, Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈΡ… Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚ания опрСдСляСтся Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами элСмСнтов Ρ†Π΅ΠΏΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ нСустойчивыми.

Π₯арактСристичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ знамСнатСля ОПЀ любой нСустойчивой Ρ†Π΅ΠΏΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, располоТСнныС Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части комплСксной плоскости. Одной ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ самых Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ с Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ источниками, являСтся Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° исслСдования ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ Π½Π° ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ устойчивости Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°

Π’ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… исслСдования Ρ†Π΅ΠΏΠΈ Π½Π° ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ характСристичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ знамСнатСля ОПЀ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, располоТСнныС Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ полуплоскости.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ΡƒΡΡ‚ойчивости Ρ†Π΅ΠΏΠΈ, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°Ρ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского уравнСния знамСнатСля, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ критСриями устойчивости.

Π’ Π½Π°ΡΡ‚оящСС врСмя извСстСн ряд ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅Π² устойчивости, срСди ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ устойчивости, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ А. Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π΅ΠΌ (1895), А. Π’. ΠœΠΈΡ…Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ (1938) ΠΈ Π“. ΠΠ°ΠΉΠΊΠ²ΠΈΡΡ‚ΠΎΠΌ (1932). НС Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ частном случаС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Один ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅Π² устойчивости Π±Ρ‹Π» Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ А. Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ ΠΈΠΌ Π² 1895 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ. Он ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» условия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ составлСнныС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ коэффициСнтами алгСбраичСского уравнСния с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ послСднСго ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ вСщСствСнныС части ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, Π±Ρ‹Π»ΠΈ располоТСны Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ полуплоскости.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° критСрия устойчивости Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°: (Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Рауса-Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°) Ρ†Π΅ΠΏΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ устойчивой, Ссли ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ:

составлСнный ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° знамСнатСля ОПЀ:

ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹;; ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ приводится Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°. Он ΡΠΎΡΡ‚авляСтся ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ простому ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ. На Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ коэффициСнты Π² Ρ‚ΠΎΠΌ порядкС, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ располоТСны Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, начиная с ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΡ‚ΠΎΠ»Π±Ρ†ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ элСмСнтом Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ коэффициСнты с ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ, Π° Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌ — с Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ индСксами. ВсС коэффициСнты, индСксы ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ нулями. ΠŸΡ€ΠΈ этом слСдуСт ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни:

.

Π•ΠΌΡƒ соотвСтствуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°:

.

Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ этого опрСдСлитСля:

;;; .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ рассматриваСмого уравнСния Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ полуплоскости. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ подстановкой, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹:

;; .

ΠŸΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ с Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… располоТСны Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ полуплоскости, принято Π² Π’Π­Π¦ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ»ΠΈ устойчивыми ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ. Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (p). МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ коэффициСнтов ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ… Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ условиС принадлСТности Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π°.

Π’Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ (p) ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт (_1), Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ ОПЀ пассивных Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

.

4. Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ОПЀ ΠΈ ΠšΠŸΠ€

КПЀ образуСтся ΠΈΠ· ΠžΠŸΠ€ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€, Ρ‚. Π΅. .

.

Если ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ возводится ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ чСтная, Ρ‚ΠΎ:, Ссли ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½Π° нСчСтная, Ρ‚ΠΎ .

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСщСствСнныС части ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ частоты, Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ — Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚. Π΅. ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

Π³Π΄Π΅ — Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ частоты .

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

.

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°:

АЧΠ₯: ;

Π€Π§Π₯: .

По ΡΡ‚ΠΈΠΌ выраТСниям ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ.

1. Π‘Π΅Π»Π΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ А. Π€. ВСория Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… элСктричСских Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ. — Πœ.: Π Π°Π΄ΠΈΠΎ ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·ΡŒ, 1986. (Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ);

2. Π‘Π°ΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π’. П. ΠΈ Π΄Ρ€. ВСория элСктричСских Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ. — Πœ.: Π Π°Π΄ΠΈΠΎ ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·ΡŒ, 1998.

3. ΠšΠ°Ρ‡Π°Π½ΠΎΠ² Н. Π‘. ΠΈ Π΄Ρ€. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ радиотСхничСскиС устройства. М.: Π’ΠΎΠ΅Π½. ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚., 1974. (Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ);

4. Попов Π’. П. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ — М.: Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ школа, 2000.(Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ)

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ