Основы статистики

Лабораторная работаПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

При условии справедливости гипотезы H0 рассчитанная t-статистика имеет распределение Стьюдента с n — 2 степенями свободы. Найденное значение t = 5,74 сравнивается с критическим значением t, при = n — 2 = 30−2 = 28 степенях свободы. В нашем случае t, = t =0.05, =28 = 1,701. Так как расчетное значение 5,74 по абсолютной величине превосходит табличное 1,701 для заданного уровня значимости… Читать ещё >

Основы статистики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Лабораторная работа № 1

Первичная обработка данных

При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, Время простоя состава под скрещением, (в мин.).

Задание: произвести первичную обработку полученных опытных данных с целью изучения свойств случайной величины Х.

1) Составим расчетную таблицу, в которой запишем вариационный ряд (элементы выборки в порядке возрастания признака) и произведем расчеты, необходимые для вычисления числовых характеристик.

Таблица 1 — Расчетная таблица


Номер п/п	Выборка, мин.	Вариационный ряд, , мин.
	23,3	0,24	— 10,2363	104,7825	— 1072,5888	10 979,3765
	7,04	0,42	— 10,0563	101,1298	— 1016,9954	10 227,2446
	2,47	0,55	— 9,9263	98,5321	— 978,0624	9708,5734
	39,8	0,68	— 9,7963	95,9681	— 940,1360	9209,8852
	0,42	1,46	— 9,0163	81,2943	— 732,9762	6608,7578
		1,48	— 8,9963	80,9340	— 728,1094	6550,3145
	18,1	2,16	— 8,3163	69,1614	— 575,1693	4783,2993
	5,5	2,47	— 8,0063	64,1014	— 513,2170	4108,9861
	1,48	3,21	— 7,2663	52,7996	— 383,6595	2787,7978
	10,8	5,01	— 5,4663	29,8808	— 163,3384	892,8622
	16,9	5,3	— 5,1763	26,7944	— 138,6969	717,9413
	9,77	5,5	— 4,9763	24,7639	— 123,2334	613,2504
	0,55	7,04	— 3,4363	11,8084	— 40,5776	139,4380
	26,2	8,96	— 1,5163	2,2993	— 3,4865	5,2866
	1,46	9,09	— 1,3863	1,9219	— 2,6644	3,6938
	5,3	9,45	— 1,0263	1,0534	— 1,0811	1,1096
	9,09	9,77	— 0,7063	0,4989	— 0,3524	0,2489
	8,96	10,4	— 0,0763	0,0058	— 0,0004	0,0000
	11,7	10,8	0,3237	0,1048	0,0339	0,0110
		11,5	1,0237	1,0479	1,0727	1,0981
	0,68	11,7	1,2237	1,4974	1,8323	2,2421
	2,16		1,5237	2,3216	3,5373	5,3896
	0,24		4,5237	20,4636	92,5703	418,7573
	11,5	16,9	6,4237	41,2635	265,0629	1702,6759
	5,01	18,1	7,6237	58,1203	443,0897	3377,9685
	19,3	19,3	8,8237	77,8571	686,9850	6061,7270
	3,21	23,3	12,8237	164,4464	2108,8062	27 042,6273
	26,5	26,2	15,7237	247,2337	3887,4202	61 124,4992
	10,4	26,5	16,0237	256,7579	4114,2029	65 924,6158
	9,45	39,8	29,3237	859,8774	25 214,7590	739 389,1891
Итого	314,290	314,290	0,0000	2578,7215	29 405,0276	972 388,8669

2) Найдем размах выборки

= 39,56.

3) Длина интервала

= 6,697.

4) границы интервалов: = 0,24, = 6,937, = = 13,634, = 20,331, = 27,029, = 33,726,

= 40,423.

5) Построим интервальный статистический ряд:

Таблица 2 — Интервальный статистический ряд


Границы интервалов, мин.	Частоты	Частости	Накопленные частости
(0,24; 6,937)		12/30	12/30
(6,937; 13,634)		10/30	22/30
(13,634; 20,331)		4/30	26/30
(20,331; 27,029)		3/30	29/30
(27,029; 33,726)		0/30	29/30
(33,726; 40,423)		1/30
Итого

6) Вычислим числовые характеристики.

В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюденных значений. Эта статистика называется выборочным средним.

Для оценивания по выборочным данным моды распределения, используется то значение сгруппированного статистического ряда, которому соответствует наибольшее значение частоты. По интервальному статистическому ряду определяется модальный интервал, в который попало наибольшее число элементов выборки, и в качестве точечной оценки моды может использоваться среднее значение этого интервала.

Для определения выборочного значения медианы используется вариационный ряд. В качестве оценки медианы принимают средний (т.е. -й) член этого ряда, если значение n — нечётно и среднее арифметическое между двумя средними (т.е. междум им) членами этого ряда, если n — чётно. В нашем случае объем выборки = 40 — четное, т. е. в качестве оценки медианы примем

= .

В качестве оценки дисперсии используется статистика

= .

Оценка среднего квадратического отклонения = .

Оценка коэффициента вариации .

Оценка коэффициента асимметрии

Оценка коэффициента эксцесса

7) Для приближённого построения эмпирической функции распределения воспользуемся соотношением:

8) Построим гистограмму частот и эмпирическую функцию распределения.

Рисунок 1 — Гистограмма частот Рисунок 2 — Функция распределения Вывод. В результате исследования выборки значений непрерывной случайной величины, характеризующей время простоя состава под скрещением, получили следующие результаты, мин.: минимальное время простоя — 0,24, максимальное — 39,8, среднее значение времени простоя состава под скрещением — 10,476, наиболее вероятное время простоя состава под скрещением — 3,589, средневероятное — 9,270, среднеквадратическое отклонение времени простоя состава под скрещением от среднего значения составило 9,430. Оценка коэффициента вариации составила 159,638%, что указывает на большую колеблемость признака относительно среднего значения, оценка коэффициента асимметрии составила 1,209, оценка коэффициента эксцесса составила 1,241.

Лабораторная работа № 2

Подбор закона распределения одномерной случайной величины

Цель работы: изучить методику применения критерия Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины.

Задание: с помощью критерия проверить согласование выдвинутой гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины с имеющимися выборочными данными.

Алгоритм применения критерия ² для проверки гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины.

1 Выборочные данные представляются в виде интервального или сгруппированного статистического ряда.

2 Выбирается уровень значимости .

3 Формулируется гипотеза о виде закона распределения исследуемой случайной величины.

4 Вычисляются вероятности p_i попадания значений случайной величины Х в рассматриваемые разряды разбиения:, (), где F (x) — гипотетическая функция распределения случайной величины X.

Замечание. Если изучается непрерывная случайная величина, то при вычислении значений необходимо изменить границы первого и последнего частичных интервалов разбиения таким образом, чтобы учесть все возможные значения, которые может принять случайная величина предполагаемого класса. В зависимости от конкретного вида проверяемой гипотезы границы частичных интервалов необходимо изменить следующим образом:


Вид закона распределения	Первый интервал разбиения	Последний интервал разбиения
Равномерный
Экспоненциальный
Нормальный

5 Определяются значения теоретических частот np_i (i=1, 2,…, k). При необходимости для обеспечения условия np_i3 (если объем выборки), np_i5 (если объем выборки), объединяются несколько соседних разрядов разбиения.

6 Вычисляется наблюдаемое значение критерия

²: .

7 По таблицам квантилей распределения ² определяется критическое значение, соответствующее заданному уровню значимости и числу степеней свободы

=k-r-1.

Если расчётное значение критерия попадает в критическую область, т. е., то проверяемая гипотеза отвергается (при этом вероятность отклонения верной гипотезы равна).

В случаях, когда наблюденное значение ² не превышает критического, считают, что выдвинутая гипотеза не противоречит опытным данным. Подчеркнем, что полученный результат свидетельствует лишь о приемлемом согласовании проверяемой гипотезы с имеющимися выборочными данными и, в общем случае, не является доказательством истинности этой гипотезы.

По таблице, полученной в лабораторной работе № 1 и по гистограмме частот выдвигаем нулевую гипотезу о виде закона распределения случайной величины (времени простоя состава под скрещением).

Случайная величина (время простоя состава под скрещением) распределена по показательному (экспоненциальному) закону.

Выбираем уровень значимости .

Вычислим вероятности p_i попадания значений случайной величины Х в рассматриваемые разряды разбиения по формуле:

Проверим гипотезу с помощью критерия согласия Хи-квадрат Пирсона.

Вычислим параметр = = = 0,95 453 244 = 0,095.

Так как изучается непрерывная случайная величина, то при вычислении значений необходимо изменить границы первого и последнего частичных интервалов разбиения. В нашем случае проверяется гипотеза о показательном законе распределения.


Вид закона распределения	Первый интервал разбиения	Последний интервал разбиения
Экспоненциальный

Вычислим вероятности по формуле

Пример расчета:

1 — 0,516= 0,484.

Для того чтобы облегчить расчеты, можно с помощью пакета программ выполнить промежуточные расчеты, которые необходимо оформить в виде таблицы:

Таблица 1 — Расчетная таблица вероятностей


Граница интервала
			0,484	0,484
6,937	— 0,662	0,516	0,244	0,244
13,634	— 1,301	0,272	0,129	0,129
20,331	— 1,941	0,144	0,068	0,068
27,029	— 2,580	0,076	0,036	0,036
33,726	— 3,219	0,040	0,040	0,040
	;		;	;
Итого	;	;

Таблица 2 — Расчет ²


Границы интервалов	Частоты эмпирические	Вероятности	Частоты теоретические
(0; 6,937)		0,484	14,528	0,440
(6,937; 13,634)		0,244	7,308	0,992
(13,634; 20,331)		0,129	3,856	0,003
(20,331; 27,029)		0,068	2,035
(27,029; 33,726)		0,036	1,074
(33,726; ?)		0,040	1,200
Итого				1,435= ²

Вычислим число степеней свободы = k-r-1 = 3−1-1= 1, где k = 3 — число интервалов в таблице 2 после объединения, r=1 — число параметров выбранного закона распределения — в нашем случае показательный закон (один параметр).

По таблицам квантилей распределения ² определяется критическое значение, соответствующее заданному уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы = 1.

Вывод. Сравниваем полученное значение в таблице = 1,435 с табличным = 3,841. Так как расчетное = 1,435 меньше, чем табличное = 3,841, то гипотеза о показательном законе распределения подтвердилась.

Лабораторная работа № 3

Построение регрессионной модели системы двух случайных величин

Цель работы: изучить основные методы регрессионного и корреляционного анализа; исследовать зависимость между двумя случайными величинами, заданными выборками.

Задание: по виду корреляционного поля сделать предположение о форме регрессионной зависимости между двумя случайными величинами; используя метод наименьших квадратов, найти параметры уравнения регрессии; оценить качество описания зависимости полученным уравнением регрессии.

По результатам пятнадцати совместных измерений веса грузового поезда, т, и соответствующего времени нахождения поезда на участке Y, ч, представленных в таблице 1, следует исследовать зависимость между данными величинами. Необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов, оценить тесноту связи между величинами, проверить значимость коэффициента корреляции и спрогнозировать время нахождения поезда на участке при заданном весе поезда (5200 т).

Решение. На величину времени нахождения поезда на участке Y, помимо веса X, влияние оказывает профиль и качество железнодорожного полотна, качество подвижного состава, направление и скорость ветра и другие факторы. Поэтому зависимость между величиной времени нахождения поезда на участке Y и веса поезда X является статистической: при одном весе поезда при различных дополнительных условиях время нахождения поезда на участке может принимать различные значения. Для определения вида регрессионной зависимости построим корреляционное поле.

Рис. 1. Корреляционное поле Характер расположения точек на диаграмме рассеяния позволяет сделать предположение о линейной регрессионной зависимости .

Таблица 1 — Результаты промежуточных вычислений


Вес грузового состава, т,	Время нахождения поезда на участке, час.,
4435,68	4,098	— 463,381	— 0,057	0,003	26,274
5100,58	4,190	201,519	0,035	0,001	7,114
4885,41	4,156	— 13,651	0,001	0,000	— 0,018
5416,94	4,225	517,879	0,070	0,005	36,407
4496,66	4,108	— 402,401	— 0,047	0,002	18,792
4722,08	3,950	— 176,981	— 0,205	0,042	36,228
5537,91	4,200	638,849	0,045	0,002	28,940
5074,01	4,180	174,949	0,025	0,001	4,426
4807,09	4,145	— 91,971	— 0,010	0,000	0,892
4046,02	4,050	— 853,041	— 0,105	0,011	89,313
4683,93	4,130	— 215,131	— 0,025	0,001	5,314
4872,42	4,154	— 26,641	— 0,001	0,000	0,019
4003,22	4,040	— 895,841	— 0,115	0,013	102,753
4628,01	4,122	— 271,051	— 0,033	0,001	8,863
4293,44	4,274	— 605,621	0,119	0,014	— 72,251
5035,70	4,175	136,639	0,020	0,000	2,774
5780,28	4,274	881,219	0,119	0,014	105,129
4752,14	3,970	— 146,921	— 0,185	0,034	27,136
6115,63	4,320	1216,569	0,165	0,027	201,099
4788,77	4,143	— 110,291	— 0,012	0,000	1,290
5140,42	4,189	241,359	0,034	0,001	8,279
5856,44	4,285	957,379	0,130	0,017	124,746
5243,49	4,200	344,429	0,045	0,002	15,603
5007,53	4,170	108,469	0,015	0,000	1,660
5321,63	4,210	422,569	0,055	0,003	23,368
5296,32	4,300	397,259	0,145	0,021	57,722
4046,73	4,050	— 852,331	— 0,105	0,011	89,239
4051,41	4,050	— 847,651	— 0,105	0,011	88,749
4795,27	4,146	— 103,791	— 0,009	0,000	0,903
4736,68	4,137	— 162,381	— 0,018	0,000	2,874
Итого 146 972				0,239

Найдем уравнение прямой линии методом наименьших квадратов

Средний вес грузового состава:

= .

Среднее значение времени нахождения поезда на участке:

Коэффициенты уравнения:

Уравнение регрессии имеет вид: .

Для линейной связи коэффициенты:

— постоянная регрессии, показывает точку пересечения прямой с осью ординат

— коэффициент регрессии, показывает меру зависимости переменных y от х, указывает среднюю величину изменения переменной у при изменении х на одну единицу, знак В₁ определяет направление этого изменения.

Вычислим линейный коэффициент корреляции

= 0,735 247 869.

Таблица 2 — Расчет значений времени нахождения поезда на участке по уравнению регрессии


Вес грузового состава, т,	Время нахождения поезда на участке, час.,
4435,68	4,098	4,97 226 427
5100,58	4,19	4,179 694 528
4885,41	4,156	4,153 006 814
5416,94	4,225	4,218 932 922
4496,66	4,108	4,104 789 828
4722,08	3,95	4,132 748 858
5537,91	4,2	4,233 936 932
5074,01	4,18	4,176 399 029
4807,09	4,145	4,143 292 719
4046,02	4,05	4,48 896 573
4683,93	4,13	4,128 017 082
4872,42	4,154	4,151 395 653
4003,22	4,04	4,43 588 053
4628,01	4,122	4,121 081 277
4293,44	4,274	4,79 584 282
5035,7	4,175	4,171 647 408
5780,28	4,274	4,263 998 285
4752,14	3,97	4,136 477 225
6115,63	4,32	4,305 592 025
4788,77	4,143	4,141 020 474
5140,42	4,189	4,184 635 916
5856,44	4,285	4,273 444 473
5243,49	4,2	4,197 419 774
5007,53	4,17	4,168 153 459
5321,63	4,21	4,207 111 544
5296,32	4,3	4,203 972 323
4046,73	4,05	4,48 984 635
4051,41	4,05	4,49 565 099
4795,27	4,146	4,141 826 674
4736,68	4,137	4,134 559 708
Итого 146 971,84	124,641	124,641

Рис. 2. Корреляционное поле и линия регрессии

Спрогнозируем время нахождения поезда на участке при заданном весе грузового состава (5200 т).

Качественная оценка тесноты связи между величинами выявляется по шкале Чеддока (таблица 3).

Таблица 3 — Шкала Чеддока


Теснота связи	Значение коэффициента корреляции при наличии
	прямой связи	обратной связи
Слабая	0,1−0,3	(-0,1) — (-0,3)
Умеренная	0,3−0,5	(-0,3) — (-0,5)
Заметная	0,5−0,7	(-0,5) — (-0,7)
Высокая	0,7−0,9	(-0,7) — (-0,9)
Весьма высокая	0,9−0,99	(-0,9) — (-0,99)

Вывод. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. Т.к. = 0,735, то можно говорить о том, что между величинами X и Y существует линейная прямая, высокая связь.

Чтобы сделать статистический вывод о значимости коэффициента корреляции (при проверке линейности регрессионной зависимости) выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии линейной зависимости между исследуемыми с. в. против альтернативной гипотезы о наличии линейной связи.

корреляция регрессионный распределение вариационный

Если гипотеза H₀ отклоняется, то считается, что уравнение регрессии Y по X действительно имеет линейный вид.

Для проверки гипотезы H₀ вычисляется t-статистика

= 5,74.

При условии справедливости гипотезы H₀ рассчитанная t-статистика имеет распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. Найденное значение t = 5,74 сравнивается с критическим значением t_, при =n-2 = 30−2 = 28 степенях свободы. В нашем случае t_, = t _=0.05, ₌₂₈ = 1,701. Так как расчетное значение 5,74 по абсолютной величине превосходит табличное 1,701 для заданного уровня значимости, то нулевая гипотеза H₀ с. в. отклоняется, и с вероятностью ошибки можно утверждать, что между исследуемыми величинами существует линейная зависимость.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой