Основы теории вероятности

Контрольная работа

Основы теории вероятности

Задание 1

Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.

Формулировка теоремы Бернулли: «Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.»

p₁ = 0.7

p₂ = 0.8

p₃ = 0.9

p₄ = 0.7

p₅ = 0.8

Проверка теоремы с помощью программы:

Текст программы:

Program Cep;

Uses CRT;

Const c=5;

Var op, i, j, n, m:integer;

a, rab, pp, ppp, ppp1, ppp2:real;

p:array[1.c] of real;

x:array[1.c] of byte;

Begin

ClrScr;

Randomize;

p[1]: =0.7; p[2]: =0.8; p[3]: =0.9; p[4]: =0.7; p[5]: =0.8;

Writeln (' Опытов: Мсходы: Вер-ть:'); Writeln;

For op:=1 to 20 do Begin

n:=op*100;m:=0;

Write (' n=', n:4);

For i:=1 to n do Begin

For j:=1 to c do Begin

x[j]: =0;

a:=random;

if a

End;

rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);

If rab>0 then m:=m+1;

End;

pp:=m/n;

writeln (' M= ', m:4,' P*= ', pp:3:3);

End;

ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp:=ppp1-ppp2;

Writeln; Writeln (' Вер. в опыте: p=', ppp:6:3);

Readln;

End.

Результаты работы программы

Вер. в опыте: p= 0.939

Проверка в ручную:

Первый способ:

Второй способ:

Вывод: Теорема Бернулли верна

Задача № 2

Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в) произведение числа очков делится на N. (N = 8)

Исходы:

1−1 2−1 3−1 4−1 5−1 6−1

1−2 2−2 3−2 4−2 5−2 6−2

1−3 2−3 3−3 4−3 5−3 6−3

n = 36 — кол-во комбинаций

1−4 2−4 3−4 4−4 5−4 6−4

1−5 2−5 3−5 4−5 5−5 6−5

1−6 2−6 3−6 4−6 5−6 6−6

а). Сумма чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 26

Вероятность

б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16

Вероятность

в). Произведение числа очков делится на N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 5

Вероятность

Задача № 3

Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i — го сорта равно n_i, i = 1, 2, 3, 4.

Для контроля наудачу берутся m — изделий. Определить вероятность того, что среди них m₁ первосортных, m₂, m₃ и m₄ второго, третьего и четвёртого сорта соответственно.

Задача № 4

В лифт k — этажного дома сели n пассажироа (n

k = 11, n = 4

а) Все на разных:

n = 11⁴ = 14 641

б) Хотя бы два на одном:

Задача № 5

В двух партиях k₁ и k₂% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.

k₁ = 86%, k₂ = 32%

A₁ — доброкачественные в 1-й партии

A₂ — доброкачественные в 2-й партии а). одно бракованное:

б). два бракованных:

в). Одно доброкачественное и одно бракованное:

Задача № 6

Из 1000 ламп n_i принадлежат i — партии, i = 1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

n₁ = 700 n₂ = 90 n₃ = 210

p₁ = 0.06 p₂ = 0.05 p₃ = 0.04

Пусть:

H₁ — взяли из 1-й партии

H₂ — взяли из 2-й партии

H₃ — взяли из 3-й партии

Пусть B_i — брак из i — й партии =>

Так как

то =>

Задача № 7

В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.

k = 8, l = 7, m = 3, n = 3

Пусть:

H₁ — все чистые марки

H₂ — 1-чистая, 2-гашёные

H₃ — 2-чистые, 1-гашёная

H₄ — все гашёные

По теореме о полной вероятности:

Задача № 8

В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i — заводпоставляет m_i% изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i — го завода n₁% первосортных. Куплено одно изделие.

Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i — заводом.

m₁ = 60 m₂ = 20 m₃ = 20

n₁ = 70 n₂ = 80 n₃ = 90

Пусть:

H₁ — поставил первый завод

H₂ — поставил второй завод

H₃ — поставил третий завод Пусть: А — первосортных изделий =>

По формуле Бейсса:

=> так как i = 3

Задача 9

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

p = 0.3 — вероятность на 1 билет

n = 15 — кол-во купленных билетов Формула Бернули :

m = 1,2,3,4,…, n

Производная функция :

q = 1 — p

Наивероятнейшее число выигравших билетов

=>

Наивероятнейшее число выигравших билетов: m₀ = 4

— соответствующая вероятность

Задача № 10

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.

р = 0.007 — вероятность «сбоя» при вызове

n = 1000 — кол-во вызовов

m = 7 — кол-во «сбоев»

По закону Пуассона:

=>

Задача № 11

По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию ц (t), математическое ожидание Мо, дисперсию Dо случайной величины о.

Биномиальный закон:

n = 3

p = 0.67

=>

=>

1. Е. С. Венцель «Теория вероятности»

2. В. Ф. Чудесенко «Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР»

3. Курс лекций по Теории вероятности