Основные соотношения для высокочастотного электромагнитного поля

Основные соотношения для высокочастотного электромагнитного поля

• СОДЕРЖАНИЕ
• 1. Уравнения Максвелла
• 2. Граничные условия
• 3. Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга
• 4. Применение метода комплексных амплитуд
• 5. Волновой характер электромагнитного поля. Плоские волны
• 6. Распространение плоской волны в среде с потерями
• Список использованных источников

1. Уравнения Максвелла

Как известно, макроскопическое электромагнитное поле в сплошных неподвижных средах описывается следующими уравнениями Максвелла в дифференциальной форме

(1−1)

где и — мгновенные значения векторов напряженности электрического и магнитного поля, и — мгновенные значения векторов электрической и магнитной индукции, — мгновенное значение вектора объемной плотности электрического тока.

В уравнениях (1−1) число неизвестных больше числа уравнений, поэтому их дополняют еще двумя уравнениями

(1−2)

где — объемная плотность электрического заряда, и так называемыми материальными уравнениями, которые для линейной и изотропной среды (т.е. имеющей одинаковые свойства по всем направлениям) имеют вид

(1−3)

В (1−3) — абсолютная диэлектрическая, а — абсолютная магнитная проницаемости среды; это — скалярные величины.

Приведенные выше соотношения можно дополнить законом Ома в дифференциальной форме

(1−4)

где — удельная электрическая проводимость среды.

В системе единиц СИ, которой мы будем пользоваться в дальнейшем, перечисленные выше величины имеют следующую размерность:

— вольт на метр

— ампер на метр

— кулон на метр квадратный

— вебер на метр квадратный

— ампер на метр квадратный

— кулон на метр кубический

— 1/(Ом метр) Как уже говорилось, в изотропных средах величины и являются скалярными; они могут быть записаны в виде

где и — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума, выражающиеся соответственно в фарадах на метр и генри на метр, а и — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды (безразмерные величины). В системе единиц СИ Заметим, что существуют анизотропные среды, для которых соотношения (1−3) не выполняются. В таких средах связь между и и между и описывается не скалярными и, а тензорными и величинами. Соотношения (1−1), (1−2), (1−3) представляют полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Для описания электромагнитного поля нам также понадобится выражение для объемной плотности энергии электромагнитного поля

которое в случае изотропной среды, где выполняется условие (1−3) принимает вид

(1−5)

Плотность энергии имеет размерность джоуль на метр кубический.

В (1−5) первое и второе слагаемые в правой части представляют плотность энергии электрического и магнитного поля.

При использовании других систем единиц выражения (1−1) и (1−2) имеют иной вид. Так в системе СГС (Гауссовой) В этой системе — скорость света в вакууме, а значения и равны единице. В дальнейшем мы везде будем пользоваться системой СИ.

Все величины, входящие в приведенные выше соотношения (кроме, поскольку для идеально проводящей среды), являются конечными и непрерывными. Разрывы возможны только на границе раздела 2-х сред с разными параметрами.

Токи, входящие в уравнения Максвелла, могут быть порождены самим электромагнитным полем (токи проводимости, возникающие в среде с), а могут являться источниками электромагнитного поля. В последнем случае они называются сторонними ().

Векторное поле может быть изображено графически. Обычно оно изображается с помощью линий векторов и, т. е. линий к которым в любой точке пространства векторы и являются касательными.

При этом линии вектора изображаются сплошными, а линии вектора — штриховыми линиями.

Известно, что уравнения с частными производными, записанные выше, не имеют определенных решений, пока к ним не добавлены дополнительные условия. Примером таких условий являются граничные условия, рассмотренные в разделе 1.2.

2. Граничные условия

Выше уже говорилось, что возможен случай, когда параметры среды, и, изменяются скачкообразно. Это, например, имеет место, когда в неограниченном пространстве имеется какое-либо тело (диэлектрик или проводник) или несколько тел. В этом случае поведение векторов поля, и на поверхности тел, т. е. на границе раздела 2-x сред, определяется граничными условиями. Граничные условия могут быть получены из соотношений (1−1) и (1−2), записанных в интегральной форме; ниже мы просто сформулируем граничные условия без вывода. Поскольку любой вектор можно представить в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих к границе раздела, граничные условия формулируются отдельно для нормальных и тангенциальных составляющих. Пусть имеются 2 среды с параметрами, и, (рис. 1.1).

На границе раздела должны выполняться следующие условия:

1) Нормальные составляющие векторов и непрерывны при переходе из одной среды в другую

(1−6)

Условие (1−6) может быть нарушено только в случае, когда на границе раздела имеется слой поверхностного электрического заряда. Тогда нормальная составляющая вектора имеет скачок, численно равный поверхностной плотности заряда. Используя соотношения (1−3) из (1−6) получим

(1−7)

Следовательно, нормальные составляющие векторов и имеют разрыв на границе раздела 2-х сред.

2) Тангенциальные составляющие векторов и непрерывны при переходе из одной среды в другую

(1−8)

Граничное условие (1−8) часто используется при решении различных задач. При этом вначале отдельно определяются тангенциальные составляющие векторов и в средах 1 и 2, а затем полученное решение «сшивается» в соответствии с (1−8).

Очень важным является частный случай, когда среда 2 обладает свойствами иде ального проводника (). Сформулируем также без вывода граничные условия на поверхности идеального проводника:

1) Тангенциальная составляющая вектора равна нулю

(1−9)

Это соотношение легко получается из (1−8), если учесть, что в идеальном проводнике электромагнитное поле отсутствует и .

2) Нормальная составляющая вектора равна нулю.

(1−10)

3) Тангенциальная составляющая вектора имеет разрыв, численно равный величине плотности электрического поверхностного тока (этот ток протекает в бесконечно тонком поверхностном слое). Математически это записывается так

(1−11)

Здесь — вектор плотности электрического поверхностного тока, его направление определяется по правилу векторного произведения, размерность — ампер на метр. Поскольку правая часть (1−11) по абсолютной величине представляет тангенциальную составляющую вектора, то (1−11) можно записать в виде

(1−12)

т.е. плотность поверхностного тока численно равна тангенциальной составляющей вектора на поверхности идеального проводника. Здесь имеется в виду суммарное поле, которое представляется как сумма падающего и отраженного полей

(1−13)

Поскольку для идеально проводящей плоской поверхности бесконечных размеров численно равно, то (1−12) можно записать в виде

(1−14)

где — тангенциальная составляющая вектора падающего поля. Соотношение (1−14) справедливо только для идеально проводящей плоскости бесконечных размеров, если эти условия не выполняются, оно становится приближенным (приближение физической оптики).

Выражения (1−10) и (1−11) не очень удобны при решении ряда практических задач. Далее в разделе 2.4 мы получим другие граничные условия для тангенциальной составляющей вектора на поверхности идеального проводника.

3. Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга

Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Выше приводилось выражение (1−5), определяющее плотность энергии поля в единице объема. Здесь мы рассмотрим баланс энергии поля в некотором замкнутом объеме, ограниченном поверхностью (рис. 1.2).

Объем заполнен однородной и изотропной средой, имеющей некоторые потери, которая характеризуется параметрами, и .

Внутри объема могут находиться источники поля (сторонние токи), вследствие конечной проводимости среды в объеме в соответствии с (1−4) существуют токи проводимости .

(1−22)

Соотношение (1−22) носит название теоремы Пойнтинга, оно записано для мгновенных значений входящих в него величин.

Учитывая (1−15), (1−16) и (1−5) получаем, что левая часть (1−22) — это мощность, отдаваемая в данном объеме сторонними токами, первое слагаемое в правой части — увеличение энергии электромагнитного поля в объеме, второе — мощность потерь в объеме, а третье — поток вектора через поверхность. То есть мощность, отдаваемая в объеме сторонними токами, частично расходуется на увеличение запаса энергии в объеме, частично расходуется на потери в объеме и частично излучается во внешнее по отношению к объему пространство. Эта последняя часть мощности определяется как поток вектора (вектор Пойнтинга) через поверхность. Это слагаемое является очень важным, так как определяет наличие или отсутствие излучения. Количественно мгновенное значение мощности, излучаемой из объема, определяется соотношением

(1−23)

где (1−24)

— мгновенное значение вектора Пойнтинга (рис. 1.3). Его направление определяется по правилу векторного произведения.

Вектор представляет собой мгновенное значение вектора плотности потока мощности и имеет размерность ватт на квадратный метр. Заметим, что для изменяющихся во времени периодических процессов в течение периода могут изменяться как величина, так и направление вектора. Далее в разделе 1.8 мы рассмотрим определение вектора в случае гармонических колебаний.

4. Применение метода комплексных амплитуд

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по координатам и по времени. Для упрощения решения желательно избавиться хотя бы от производных по времени. Это можно сделать, применив метод комплексных амплитуд.

На практике наиболее часто встречается случай, когда вектора поля и токи изменяются во времени по гармоническому закону. При этом некоторая скалярная величина (например — напряженность поля), характеризующая поле, запишется в виде

(1−32)

где — угловая частота, а — частота колебаний.

Тогда вектор в декартовой системе координат запишется в виде

(1−33)

Здесь , — амплитуды составляющих вектора по осям координат, а, , — их фазы.

Среду, в которой существует электромагнитное поле, будем полагать однородной и изотропной, поэтому параметры среды, и — постоянны.

По формуле Эйлера

(1−34)

тогда выражение (1.32) можно записать в виде

(1−35)

и вместо (1.33) получим

(1−36)

Введем обозначение

(1−37)

где — величина называемая комплексной амплитудой, поскольку содержит информацию об амплитуде и фазе составляющей .

Тогда соотношение (1−36) можно записать в виде

(1−38)

где

(1−39)

Эта величина называется комплексной амплитудой вектора. Она характеризует амплитуду и фазу всех составляющих вектора .

Если некоторая комплексная величина удовлетворяет дифференциальному уравнению, то ему должны удовлетворять ее действительная и мнимая части. Поэтому в уравнения Максвелла можно вместо подставить и уравнения останутся справедливы.

Подставив вместо, , в (1−1) их комплексные амплитуды получим

(1−40)

В дальнейшем в этих соотношениях можно сократить и опустить индекс и точку сверху. Тогда (1−1) запишем в виде

(1−41)

подразумевая, что на самом деле каждая из векторных величин — это вещественная часть некоторой комплексной величины. Так на самом деле — это. Для того, чтобы перейти обратно к явной зависимости от времени, решение нужно умножить на и в полученном выражении взять вещественную часть.

Введем в уравнения (1−41) кроме электрических магнитные токи (см. раздел 1.4) и будем полагать, что среда характеризуется кроме электрической проводимости еще и магнитной проводимостью. Тогда в соответствии с (1−25), (1−26) и (1−27) вместо (1−41) получаем

(1−42)

Преобразуя правые части (1−42) запишем:

(1−43)

Введем обозначения

(1−44) (1−44)

где и — комплексные абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

В среде без потерь, соответственно и и — чисто вещественные величины, в случае среды с потерями и — комплексные величины. Мнимые части в (1−44) характеризуют плотность токов проводимости, т. е. потери в среде.

Чаще всего мы имеем дело с диэлектриком с потерями. Одной из его характеристик является тангенс угла диэлектрических потерь, обозначаемый. Он определяется соотношением

(1−45)

Чем больше, тем больше потери в диэлектрике.

В дальнейшем в обозначениях и точку наверху будем опускать, имея в виду, что в среде без потерь и вещественны, а в среде с потерями — комплексны. Тогда окончательно выражения (1−1) примут вид

(1−46)

Здесь мы избавились от производных по времени и токов проводимости в явном виде. Такая форма записи будет использоваться в дальнейшем.

5. Волновой характер электромагнитного поля. Плоские волны

Волновой характер электромагнитного поля можно доказать, если свести уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс.

Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой точке пространства вдали от источников. В этой точке отсутствуют сторонние токи и заряды (рис. 1.5). Введем декартову систему координат ,. Пусть среда, в которой существует электромагнитное поле, не имеет потерь.

Величина — это волновое число или коэффициент фазы. Иногда используется термин «постоянная распространения». В нашем случае, когда среда не имеет потерь, вещественно, но в среде с потерями комплексно. Физический смысл рассмотрим ниже.

Таким образом, после ряда преобразований получили

(1−53)

Это — однородные векторные волновые уравнения или уравнения Гельмгольца. Они справедливы для монохроматических колебаний с частотой и в той области пространства, где отсутствуют сторонние токи и заряды. Получим простейшее решение этих уравнений. Решение ищем в некоторой области, достаточно удаленной от точки расположения источников поля (точка на рис. 1.5).

Поскольку можно полагать, что расстояния, то поле в точке не должно зависеть от координат и. Тогда в выражении для оператора Лапласа останется только вторая производная по .

Известно, что в декартовой системе координат векторное волновое уравнение распадается на 3 скалярных. Так вместо (1−53) можно записать

(1−54)

(1−55)

Выражения (1−54) и (1−55) записаны относительно проекций векторов и на оси декартовой системы координат. Рассмотрим решение таких уравнений.

Поскольку существует только зависимость от координаты, все уравнения имеют однотипный вид:

(1−56)

Это — линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его решение, как известно, имеет вид:

(1−57)

Решение всех остальных уравнений аналогично. Тогда, очевидно, и в векторной форме

(1−58)

где — единичный вектор, указывающий направление, а и — произвольные постоянные. Для определения произвольных постоянных и рассмотрим физический смысл полученного решения.

Для того, чтобы от записи с использованием комплексных амплитуд перейти к явной зависимости от времени (см. раздел 1.5) умножаем (1−58) на и берем вещественную часть.

(1−59)

Имеем 2 решения: в виде и в виде. Проанализируем их, рассмотрев, как перемещается в пространстве точка с постоянной фазой (т.е. при постоянном аргументе косинуса).

В момент времени точка имеет координату, при изменении времени на точка перемещается на

(1−60)

Поскольку, то и .

Решение в виде характеризует электромагнитную волну, распространяющуюся от источников в направлении оси. Для решения в виде получим и, соответственно. Оно характеризует волну, распространяющуюся к источникам в направлении, противоположном оси, что не соответствует физическому смыслу задачи. Поэтому в (1−59) необходимо положить и окончательное решение для примет вид

(1−61)

а с использованием метода комплексных амплитуд

. (1−62)

Скорость перемещения точки с постоянной фазой в направлении распространения волны (ось) называется фазовой скоростью. Из (1−60) и (1−52) получаем

(1−63)

Полученное решение представляет собой плоскую волну. Поверхности равных фаз — это плоскости. Определим фазовую скорость в вакууме. Подставив в (1−63) значения и (см. раздел 1.1) получим

(1−64)

Это — скорость света в вакууме ().

В среде, отличной от вакуума, , и. В частности, для диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью

(1−65)

Расстояние, на котором аргумент косинуса изменяется на называется длиной волны ().

Подставляя в аргумент косинуса значения и и образовав разность аргументов запишем

.

Отсюда

и (1−66)

Уже говорилось, что — это волновое число или коэффициент фазы. Эта величина показывает, как изменяется фаза поля с расстоянием и имеет размерность радиан/метр. Длина волны измеряется в метрах. Из соотношений (1−52) и (1−66) видно, что в диэлектрике при длина волны меньше, а волновое число больше, чем в вакууме.

В заключение сформулируем основные свойства плоской волны в среде без потерь:

1) Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

2) Поверхности равных фаз — плоскости, перпендикулярные направлению распространения.

3) Амплитуда поля от расстояния не зависит.

4) Распространение волны происходит с фазовой скоростью, зависящей от параметров среды.

5) Отношение амплитуд векторов и есть постоянная величина, называемая волновым сопротивлением среды .

6) Вектор Пойнтинга, а значит и направление переноса энергии поля, совпадает с направлением распространения.

Плоская волна является идеализированным, наиболее простым для анализа вари антом, но следует учитывать, что на больших расстояниях от любого реального источника поле весьма близко к рассмотренной плоской волне.

6. Распространение плоской волны в среде с потерями

В среде с потерями, и и волновое число, определяемые соотношениями (1−44) и (1−52), будут комплексными. Обозначим это комплексное волновое число

(1−74)

Здесь вещественная часть обозначена; далее будет видно, почему это сделано.

В уравнениях (1−53) вместо будет фигурировать и в результате вместо (1−58) мы получим

(1−75)

Исходя из физического смысла задачи мы в (1−75) полагаем, как ранее это делалось при анализе выражения (1−58). В результате получаем

(1−76)

Если теперь от комплексных амплитуд перейти к явной зависимости от времени, то вместо (1−76) получим

(1−77)

Сравним полученное ранее решение (1−61) для среды без потерь с (1−77). Видно, что амплитуда поля с расстоянием уменьшается, это уменьшение характеризуется коэффициентом, который называется коэффициентом затухания.

Роль волнового числа играет вещественная часть, которую мы обозначили. Посмотрим, насколько уменьшится амплитуда поля, если оно пройдет расстояние .

Из (1−76) получаем

(1−78)

Здесь — число, показывающее во сколько раз уменьшилась амплитуда, имеет размерность 1/метр.

В технике величину затухания часто обозначают не в относительных единицах, а в децибелах. Затухание в децибелах определяется соотношением

(1−79)

Здесь, .

Пусть среда имеет только диэлектрические потери. Тогда в соответствии с (1−44) и (1−45)

(1−80) (1−44)

и выражение для примет вид

(1−81)

Получим отдельные выражения для и через параметры среды. Для этого возведем правую и левую части (1−81) в квадрат и приравняем вещественные части. Приравняем также квадраты модулей правой и левой части (1−81). После ряда преобразований получаем

(1−82)

Проанализируем полученные соотношения. В случае отсутствия потерь и получаем и, т. е. приходим к прежнему решению (1−62) для плоской волны в среде без потерь. Рассмотрим отдельно случаи хорошего диэлектрика с малыми потерями (мало и мал) и хорошего проводника (велико и велик).

В случае диэлектрика с малыми потерями и из (1−82) получаем приближенное выражение для

(1−83)

При вычислении выражения для уже нельзя полагать, а величину нужно приближенно вычислить по формуле бинома.

(1−84)

Тогда с учетом (1−45) получаем

(1−85)

В хорошем диэлектрике с малыми потерями волновое число, фазовая скорость и длина волны почти такие же, как в диэлектрике с теми же параметрами и ,

но без потерь. Амплитуда поля с расстоянием убывает по закону, причем затухание практически не зависит от частоты.

В случае хорошего проводника и выражения (1−82) принимают вид

(1−86)

В хорошем проводнике при, и электромагнитное поле проникает в проводник только на очень небольшое расстояние. Чем выше частота, тем быстрее затухает поле с расстоянием. В хорошем проводнике ток в соответствии с (1−4) протекает только в очень тонком поверхностном слое, быстро затухая при продвижении вглубь проводника по закону (см. рис. 1.6). Это явление носит название «поверхностный эффект» или «скин-эффект».

Для количественной оценки, насколько глубоко ток и поле проникают в проводник, вводится понятие глубины проникновения. Это — расстояние, пройдя которое, амплитуда поля уменьшается в «» раз ().

Полагая и .

Воспользовавшись (1−86) получаем

(1−87)

Для идеального проводника и, т. е. ток протекает только в бесконечно тонком поверхностном слое. Для реально существующих хороших проводников глубина проникновения очень мала и уменьшается с увеличением частоты.

Список использованных источников

1. Мешков И. Н. Электромагнитное поле Мешков И. Н., Чириков Б. В. М., 1987 — 256 с.

2. Стась И. Е., Шипунов Б. П., Ивонина Т. С. Электродные процессы в высокочастотном электромагнитном поле // Известия вузов. Химия и химическая технология / Стась И. Е., Шипунов Б. П., Ивонина Т. С. — 2003.