Основы высшей математики

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Филиал Уральского государственного экономического университета в г. Березники Кафедра математики и естественных наук Контрольная работа № 1

по дисциплине: «Математика»

Выполнил:

Студентка I курса, группы ЭКПС-091

Лоскутова Ирина Петровна Проверил:

к. ф-м. н., профессор Кобзев Виктор Николаевич Березники

Задача 1.1 Вычислить определитель 4-го порядка Решение. Так как элемент, то 1-ую строку нужно умножить на (- 2) и прибавить ко 2-ой строке; 1-ую строку умножаем на (- 3) и прибавляем к 3-ей строке; 1-ую строку умножаем на (- 4) и прибавляем к 4-ой строке, получаем матрицу:

Ответ: .

Задача 1.2 Решить систему матричным способом Решение. В матричной форме система имеет вид: (1), где

;; .

Найдем определитель матрицы А:

.

Так как, то матрица, А невырожденная и обратная матрица существует.

Найдем матрицу, транспонированную к А:

.

Найдем алгебраические дополнения к матрице :

;

;

;

;

;

;

;

.

Из алгебраических дополнений элементов матрицы составим присоединенную матрицу :

.

Вычислим обратную матрицу :

.

Проверим правильность вычисления обратной матрицы:

По формуле (1) вычислим:

Ответ:

Проверка:

Система решена верно.

Задача 1.3 Решить систему методом Крамера Решение. Найдем определитель системы Так как, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

;

.

математический матрица невырожденный транспонированный По формулам Крамера:

;

Ответ: решение системы .

Задача 1.4 Найти общее решение системы, используя метод Гаусса Решение. Расширенная матрица система имеет вид:

Так как элемент, то 1-ую строку прибавляем ко 2-ой строке, 1-ую строку умножаем на (- 2) и прибавляем к 3-ей строке, 1-ую строку умножаем на 4 и прибавляем к 4ой строке, исключим элемент из всех строк, начиная со второй. Результаты запишем в матрицу:

Так как элемент, то, прибавляем 2-ую строку к 3-ей, умножаем 2-ую строку на (- 2) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент из 3-ей и 4ой строк. Результаты запишем в матрицу:

Так как элемент, то, умножаем 3-ю строку на (- 1) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент из 4-ой строки. Результаты запишем в матрицу:

Система уравнений примет вид:

— связные элементы, — свободная,

Ответ:

Проверка. Подставим все значения в первое уравнение системы.

Получим:

система решена верно.

Задача 1.5

Даны векторы

.

Найти: 1), 2), 3), 4), 5) .

Решение

.

1) .

2)

.

3) .

4)

Т.к., то

5) .

Ответ:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .