Динамические модели управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений

Проблема оптимизации (выбора оптимальной структуры) и управления инвестиционным портфелем является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [33,37,40,42,45,111Д 12,114]. Под инвестиционным портфелем (ИП) обычно понимают набор рисковых и безрисковых финансовых активов, которые инвестор включает в свой портфель. Под рисковыми активами понимают финансовые активы со случайно меняющейся доходностью, такие как обыкновенные акции, а под безрисковыми — финансовые активы с детерминированной доходностью, такие как надежные облигации типа государственных обязательств или банковский депозит в надежном банке. Управление ИП осуществляется посредством операций купли-продажи активов на фондовом рынке с целью коррекции структуры ИП так, чтобы минимизировать риск портфеля и обеспечить достаточно высокую доходность инвестиций. Фондовый рынок служит эффективнейшим механизмом привлечения как внутренних, так и внешних инвестиций. Эффективность инвестиций в решающей степени зависит от выбранных стратегий управления ИП. Разработка таких стратегий является чрезвычайно актуальной и сложной проблемой, требующей привлечения современных математических методов и моделей и вычислительных технологий [33,45,100,114,111,135].

В связи с актуальностью проблемы, крупнейшие финансовые институты, такие как банки, инвестиционные фонды, управляющие компании вкладывают значительные средства в исследования фондового рынка и разработку математических моделей ИП, которые лежат в основе стратегий управления.

Существуют различные подходы к решению проблемы управления ИП, характеризующиеся многообразием критериев, моделей динамики капитала, используемыми моделями эволюции цен [5−9,29−31,34−36, 45, 47−55,59−74,7883,85−92,94−102,104,106,108−112,114−118,120,121,125−128,131−137], среди которых можно выделить два основных (направления).

Основой современной теории портфеля инвестиций и современной финансовой математики послужила фундаментальная работа Нобелевского лауреата по экономике 1990 г. Г. Марковица [112]. Подход Марковича (так называемый Mean-Variance, MY — подход) и последующие его модификации исходят из предположения о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы максимизировать доходность портфеля, с другой стороны — минимизировать (или ограничить) риск, либо минимизировать риск портфеля и получать при этом желаемую доходность. Проблема оптимизации структуры портфеля (определения долей вложений капитала инвестора в активы) в зависимости от выбора функции риска (обычно дисперсии портфеля или связанных с ней мер риска) и способов учета неопределенности, сводится к решению задач квадратичного, линейного или стохастического программирования [6,29,31,34,36,40,42,45, 79,87−90,104,111,121,132−135]. Таким образом, задача решается в статической постановке. Такие модели относятся к классу однопериодных моделей.

Отметим основные недостатки однопериодных моделей и их модификаций: стратегии управления, основанные на таких моделях, являются «близорукими» (myopic strategy [114]), поскольку не учитывают эволюцию (динамику изменения) цен на периоде инвестирования, а также не зависят от текущего значения капитала ИП — отсутствует обратная связьминимум риска достигается лишь в конце горизонта инвестирования, а в течение всего периода инвестирования он остается неопределеннымпараметры, характеризующие доходности финансовых активовожидаемые доходности и ковариации доходностей, предполагаются постоянными на весь период инвестирования, что не реалистичностратегия управления ИП получается очень чувствительной даже к малым неточностям в задании входных параметров модели, которые неизбежно возникают при практической реализации стратегий, поскольку теоретические значения параметров заменяются их приближенными оценками по историческим данным — структура портфеля искажается так называемым «модельным шумом» в силу большого числа оцениваемых параметроввведение дополнительных ограничений на объемы торговых операций и учет транзакционных издержек существенно усложняет решение задачи оптимизации и приводит к трудной проблеме решения задачи целочисленного программирования с помощью трудоемких алгоритмов перебора [99,102];

Для преодоления недостатков модели Марковица появились различные ее модификации [36,66,67,79,87,89,100,104,133], однако основные отмеченные проблемы в рамках статических моделей до сих пор не получили эффективного решения.

Другой подход к моделированию и управлению ИП основан на построении динамических моделей портфеля и использовании для оптимизации структуры ИП методов теории стохастического управления и мартингальных методов. В классической постановке, предложенной лауреатом Нобелевской премии по экономике 1997 г. Мертоном [114], оптимизационная проблема заключается в определении стратегии управления ИП в непрерывном времени, максимизирующей некоторую (достаточно искусственно выбираемую) интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и капитала в конечной точке горизонта инвестирования. Аналитическое решение данной задачи можно получить лишь для весьма ограниченного набора функций полезности и без учета ограничений на объемы торговых операций. В остальных случаях такой подход приводит к трудной проблеме численного решения интегро-дифференциальных уравнений динамического программирования Гамильтона-Якоби-Беллмана, которая известна как «проклятье размерности» [1,2,107,116].

В настоящее время существует множество подходов к решению проблемы оптимизации ИП, но большинство из них являются усложнением и развитием моделей Марковица и Мертона. В работах [52,53,55,125,126] в рамках непрерывных моделей предлагается использовать так называемый «чувствительный к риску» (risk — sensitive) критерий. Конструкция этого критерия позволяет ограничивать риск портфеля (логарифм дисперсии капитала) и максимизировать логарифм доходности портфеля на бесконечном горизонте инвестирования. В.

52,65,92,97,108,109,118,131,136,137] задача оптимизации портфеля в динамической постановке решается в рамках Mean-Variance подходадостигается минимум дисперсии капитала в конечной точке горизонта инвестирования при заданном математическом ожидании капитала в этой точке.

В работах [30,55,83,86,131] предложено использовать так называемый VaR (Value at Risk) критерий и его модификации, который позволяет максимизировать вероятность достижения или превышения капиталом заданного инвестором уровня в конечной точке горизонта инвестирования. Данные модели относятся к классу статических и определяют фиксированные доли вложений на весь период инвестирования. В работе [86] данный подход обобщается на динамические модели ИП (Dynamic Value at Risk). В [31] используется квантильный критерий. При практической реализации VaR — подхода требуется знание вида распределения доходностей рисковых активов и он чувствителен к выбору объема выборки для оценивания параметров [9].

В работах [59, 60,88,104] ставится задача управления инвестиционным портфелем таким образом, что бы в точности повторить или превзойти доходность некоторого индексного или базового портфеля (benchmark portfolio). В [88,104] данная задача решается в статической постановке, в [88] рассматривается также задача динамического перераспределения капитала вначале каждого периода инвестирования на основе статической модели. В [59,60] строятся динамические модели в непрерывном времени. Целью управления является максимизация вероятности превышения доходности базового портфеля или минимизация среднего времени достижения траектории базового портфеля. Обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [120].

В большинстве работ по управлению ИП предполагается, что транзакционные издержки не существенны и в них не учитываются явные ограничения на объемы (или доли) вложений в финансовые активы. На реальных рынках существуют жесткие ограничения на объемы заемных средств, а также на объемы «коротких» займов без покрытия (так называемая операция «продажи без покрытия» — short sale [42]). В некоторых случаях они вообще могут быть запрещены. Транзакционные издержки (брокерская комиссия, плата за поддержание счета) также могут быть существенными. Таким образом, реалистичные модели ИП должны учитывать транзакционные издержки и ограничения на объемы торговых операций (открываемых инвестором позиций с учетом заемных средств). Обзор работ, в которых строятся динамические модели ИП в непрерывном времени с учетом транзакционных издержек дан в [61]. В этих работах для синтеза стратегий управления применяются методы классической теории стохастического управления, оптимальной остановки, стохастического импульсного управления и др. [53,62,69,78,81,85,97,101,102,110,115−117].

Использование этих методов позволяет решить задачу только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив, а ограничения на объемы позиций не учитываются. При учете комиссионных издержек и ограничений в многомерном случае (когда портфель диверсифицирован и содержит множество активов), применение традиционных подходов к оптимизации ИП упирается в практически неразрешимую проблему «проклятья размерности» [107].

При построении моделей ИП возникает вопрос об адекватном описании эволюции цен (или доходностей) финансовых активов. Все рассмотренные подходы требуют знания вида вероятностного распределения цен (доходностей) рисковых активов и в основе используют для описания эволюции цен модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [44,45,56] с детерминированной постоянной волатильностыо (изменчивостью), то есть предполагается, что доходности подчиняются логнормальному распределению. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что распределение реальных доходностей отличается от логнормального [4345,58,93,96,124,129] и во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся, а также случайной волатильностью. Примерами таких моделей могут служить так называемые SV — модели, которые достаточно хорошо отражают эффекты «самовозбуждения» волатильности, наблюдаемые на реальных финансовых рынках [43−45,103,129] и скрытые марковские модели (НММ — Hidden Markov Model), в которых учитываются скачкообразные изменения в динамике рынка [80,81]. Скрытые марковские модели подробно изучены в [4,5]. Эти модели относятся к классу моделей, управляемых параметрами. Для описания эволюции волатильности в них используются стохастические уравнения.

К другому классу моделей относятся модели, управляемые данными [43−45,129]. В этом случае волатильность является функцией прошлых значений наблюдаемого временного ряда. Примерами этого класса моделей могут служить авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью (ARCH — Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), впервые предложенная в 1982 г. Нобелевским лауреатом по экономике Р. Энглом в работе [84], и ее многочисленные обобщения, такие как GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), EGARCH, IGARCH, GARCH-M и др. [43−45,57,58,93,129].

В [45,94,114,120,129] рассматриваются модели доходностей, в которых содержатся как регулярные возмущения, соответствующие колебаниям доходностей акций в результате регулярных событий финансового рынка, так и импульсные возмущения, описывающие воздействие редких экстремальных событий или ожиданий.

В работах [36,42,123,125,129] для описания и прогноза доходностей рисковых активов используются методы регрессионного анализа — это так называемые факторные модели. Наиболее известной из них является однофакторная рыночная модель, которая связывает доходность акции с доходностью рыночного индекса [42,123] и предложена в 1964 г. Нобелевским лауреатом по экономике 1990 г. У. Шарпом [123]. Многофакторные модели связывают доходности с различными факторами, такими как объем ВВП, цена на нефть, уровень безработицы, индекс деловой активности и др. Обзор и анализ свойств наиболее популярных моделей доходностей дан в [45].

В [7,11,12,75] предложен новый подход к управлению ИП, в рамках которого проблема формулируется как динамическая задача слежения за траекторией роста некоторого эталонного (базового) портфеля, доходность которого задается инвестором. В качестве меры риска используется квадратичный функционал. Оптимальные стратегии минимизируют суммарное взвешенное среднеквадратичное отклонение капитала управляемого (реального) портфеля от траектории эталонного портфеля. Для решения задачи используются методы теории стохастического линейно-квадратичного управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами [28,74]. Позже аналогичный критерий управления ИП был использован в работе [130].

Отметим, что в отличие от «mean — variance» подхода [52,65,92,108,109,108,109,118,136,137], при котором минимизируется дисперсия портфеля в конечной точке горизонта инвестирования при заданном математическом ожидании его конечного капитала, без учета ограничений на объемы торговых операций, подход, предложенный в [7,11,12,72] позволяет получить максимально гладкую кривую роста капитала управляемого портфеля на всем горизонте инвестирования, что является одним из основных требований к торговым стратегиям со стороны инвесторов, работающих на финансовых рынках [42].

Привлекательной чертой данных моделей является также то, что в рамках данного подхода можно использовать большинство моделей цен (доходностей) финансового рынка, обзор которых дан выше [5,8,13,14,27,28, 75−77].

В [5,7,8,11−14,27,28,75−77] ограничения на объемы торговых операций учитываются не явно, в виде штрафа за большую «мощность» управляющих переменных («мягкие ограничения»), в [130] задача решена без учета ограничений, транзакционные издержки не учитываются. Кроме того, в рассмотренных в обзоре моделях не учитывается отличие ставки доходности безрискового актива и ставки, по которой происходит заимствование капитала.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения и исследования моделей управления ИП, адекватно учитывающих реальное поведение финансового рынка (нестационарность, нестабильность, возможные изменения правил торгов), реальные ограничения и издержки при управлении инвестициями (транзакционные издержки, ограничения на объемы торговых операций и пр.). Модель должна отражать реальный процесс управления инвестициями («проскальзывание» цен, то есть исполнение заявки на покупку или продажу акций по цене хуже, чем цена в момент выставления заявки, возможное неисполнение заявок в полном объеме из-за недостаточной ликвидности рынка и пр.) и потребности инвесторов. Модели должны быть достаточно универсальными и предусматривать включение в портфель различных финансовых инструментов. От того, насколько совершенны стратегии управления, используемые инвесторами, зависит стабильность финансового рынка и функционирование экономики в целом.

Целью работы является разработка и исследование динамических моделей управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение и исследование динамических моделей управления ИП на нестационарном финансовом рынке с учетом ограничений на объемы торговых операций (размеры открываемых позиций), учитывающих «проскальзывание» цен, а также различие ставок кредитования и доходности безрисковых активов;

2. Построение и исследование динамических моделей управления ИП с авторегрессионной зависимостью последовательностей доходностей финансовых активов с учетом ограничений и различия ставок;

3. Построение и исследование моделей управления ИП на финансовых рынках со стохастической и условно гетероскедастичной волатильностью с учетом транзакционных издержек и ограничений, а также различия ставок;

4. Построение и исследование робастных адаптивных стратегий управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек, ограничений и различия ставок при неопределенности в задании параметров моделей.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, теории моделей финансового рынка, методология управления с прогнозирующей моделью, методы матричной алгебры, методы оптимизации, численные методы и методы компьютерного моделирования.

Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие:

4.3. Выводы.

В данной главе приведены результаты численного моделирования и тестирования адаптивных робастных стратегий управления ИП с использованием реальных данных о ценах акций, торгуемых на российской бирже «Фондовая биржа ММВБ» (фондовая секция Московской межбанковской валютной биржи), одной из крупнейших европейских бирж Euronext, а также валютных пар, торгуемых на международном валютном рынке Forex (foreign exchange). Результаты моделирования показали работоспособность и эффективность предложенных моделей ИП и построенных на их основе стратегий на всех рынках, несмотря на их особенности.

Стратегии управления показали эффективную работу даже при использовании достаточно простых моделей доходностей активов.

Upravlenia 4 akzia.

I I I i.

I i •i.

Ш .j—" H — fttff for frjJtb/t W 1 «» ««» > i i i 1. ¦ i.

Достоинство этих моделей в том, что для них требуется оценивать в реальном времени минимум параметров — по-существу, только ожидаемые доходности, причем с использованием несложных процедур. Относительно поведения волатильностей необходим минимум информации — достаточно знать только интервалы изменения, причем их границы не зависят от времени. В условиях нестационарного нестабильного поведения рынков (а это их типичное поведение, даже в «спокойные» времена) решающую роль при управлении ИП играет адаптивная оптимизация управления капиталом — расчет оптимальных позиций (вложений или объемов купли-продажи активов) в зависимости от текущего состояния портфеля и трендов доходностей рисковых активов.

Отметим также, что кроме приведенных в диссертационной работе результатов моделирования, модели ИП тестировались на многих других наборах акций, которые включались в портфель, в том числе торгуемых на Нью-Йоркской фондовой бирже NYSE (New York stock exchange). Результаты тестирования в целом не отличаются от приведенных в данной главе. Таким образом, по результатам численного моделирования можно сделать вывод, что стратегии управления являются робастными (не чувствительными) и по отношению к выбору рисковых активов, включаемых в портфель.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В данной работе предложены динамические модели управления ИП на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений. Получены следующие основные результаты.

1. Разработаны агрегированные динамические модели управления ИП, учитывающие ограничения на объемы вложений и займов, а таюке различие ставок кредитования и доходности безрискового актива. Рассмотрены модели ИП с детерминированной нестационарной волатильностью рисковых финансовых активов, модели с условно-гетероскедастичной волатильностью, модели ИП, доходности рисковых активов которых подчиняются многомерным процессам авторегресии.

2. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения со скользящим горизонтом инвестирования за некоторым базовым (гипотетическим) портфелем, параметры которого задаются инвестором (в другой версии — слежение за опорной траекторией, превосходящей базовую).

3. Предложен метод определения оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью, позволяющий получать закон управления с обратной связью при ограничениях на управляющие воздействия (объемы вложений в финансовые активы, а таюке объем заемных средств). Синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования и достаточно просто реализуется численно. Предложен подход к синтезу субоптимальных стратегий управления ИП с учетом транзакционных издержек и «проскальзывания» цен.

4. Разработаны многомерные сетевые модели управления ИП, в которых доходности рисковых активов подчиняются: а) дискретизованным уравнениям типа геометрического броуновского движения с переменными детерминированными параметрами (ожидаемой доходностью и волатильностью) — б) уравнениям с условной гетероскедастичностью волатильностейв) уравнениям со стохастической волатильностью (БУ-модель волатильности) — г) факторным моделям доходностей.

5. На базе многомерных моделей построены оптимальные стратегии управления со скользящим горизонтом инвестирования (с прогнозирующей моделью), с учетом транзакционных издержек и различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива, при ограничениях на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов) и на вложения и займы финансовых активов.

6. Рассмотрена агрегированная модель ИП с неопределенностью в задании параметров уравнений, описывающих доходности рисковых финансовых активов. Доходности активов описываются моделью, в которой содержатся как регулярные возмущения, соответствующие колебаниям доходностей акций в результате регулярных событий финансового рынка, так и импульсные возмущения, описывающие воздействие редких экстремальных событий (диффузионно-скачкообразный финансовый рынок). На базе этой модели ИП получены робастные стратегии управления с прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования) с учетом ограничений на вложения и займы, и различия ставок кредитования и доходности безрискового актива;

7. Рассмотрена многомерная модель управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с неопределенностью в задании параметров. На ее базе получены робастные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом транзакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов), ограничений на вложения и займы (в том числе «продажи без покрытия) финансовых активов, а также различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива.

8. Проведено численное моделирование и тестирование моделей с использованием реальных данных различных финансовых рынков, которое подтвердило работоспособность и эффективность предложенных моделей управления ИП.

9. По результатам численного моделирования можно сделать вывод о том, что стратегии управления являются робастными (не чувствительными) и по отношению к выбору рисковых активов, включаемых в портфель.