Основы научного исследования и планирование экспериментов на транспорте

• ВВЕДЕНИЕ
• ЗАДАНИЕ
• ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
• ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
• УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
• РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
• ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ
• ВЫВОД
• ЛИТЕРАТУРА

Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.

Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.

Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов — это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f (X₁, X₂,…X_k), где X — факторы, Y — функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

Объект исследования — одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.

Предмет исследования — процесс функционирования двигателя.

Цель исследования — анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональной зависимости

ЗАДАНИЕ

Область планирования фактора X: X_min = 0,012 м, X_max = 0,055 м.

План проведения эксперимента:

Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Х_min, Х_max), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

где — интервал (шаг) варьирования фактора;

— натуральное значение основного уровня фактора;

— кодированное значение фактора x;

— натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N — число опытов.

В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ

Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.

Табл. 1

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

Получим функциональную зависимость Y = f (X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a₀ + a₁X) и квадратичную зависимости (Y = a₀ + a₁X + a₂X²). Посредством МНК значения a₀, a₁ и a₂ найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Y_j от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:

.

Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a₀, a₁ и a₂.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a₀ + a₁X. Получим:

;

.

Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

Решая эту систему, найдем коэффициенты a₁ и a₀:

; .

Для квадратичной зависимости Y = a₀ + a₁X + a₂X² система нормальных уравнений имеет вид:

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.

Табл. 2

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X найдем коэффициенты a₁ и a₀:

.

.

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X + a₂X² найдем коэффициенты a₁, a₂ и a₀:

Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:

.

.

.

Найдем определитель (det) матрицы:

.

;; .

;; .

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

Построим графики функций Y = a₀ + a₁X; Y = a₀ + a₁X + a₂X² :

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ

Для проверки адекватности модели определим абсолютные Y_j и относительные погрешности в каждом из опытов.

Y_j = - Y_j; ,

где — расчетное значение функции (отклика) в j-ой точке.

Данные представим в виде таблицы 3.

Табл. 3

Просматривая значения этих погрешностей, исследователь может легко понять, какова погрешность предсказания в точках, где проводились опыты, устраивают его или нет подобные ошибки. Таким образом, путем сопоставления фактических значений отклика с предсказанными по уравнению регрессии можно получить достаточно надежное свидетельство о точностных характеристиках модели.

С помощью анализа работоспособности регрессионной модели выясним практическую возможность ее использования для решения какой-либо задачи. Это анализ будем проводить, вычисляя коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения). Коэффициент детерминации R² вычисляется по формуле:

где — общее среднее значение функции отклика.

.

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 4.

Табл. 4

Для уравнения регрессии Y = a₀ + a₁X:

Для уравнения регрессии Y = a₀ + a₁X + a₂X²:

Т.к. в уравнениях регрессии оба уравнения принято считать работоспособными. В уравнении регрессии вида Y = a₀ + a₁X + a₂X²

а в уравнении регрессии вида Y = a₀ + a₁X. Из этого следует, что в уравнении вида Y = a₀ + a₁X + a₂X² найденное значение регрессии лучше объясняет вариацию в значениях Y (N >> (d+1)), чем в уравнении вида Y = a₀ + a₁X.

ВЫВОД

В процессе выполнения контрольно-курсовой работы мы научились:

- разрабатывать план проведения вычислительного эксперимента;

- проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ и накапливать статистическую информацию;

- обрабатывать полученные статистические данные с помощью регрессионного анализа и получать формульные зависимости, связывающие значение выходной переменной (отклика) объекта с входными переменными (факторами);

- графически представлять и анализировать полученные результаты (проверять адекватность и работоспособность регрессионной модели);

- вычислять коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения) и анализировать полученные результаты.

1. Гурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1972.

2.Красовский Г. И., Филаретов Г. Ф. Планирование эксперимента. — Минск, 1982.

3.Румшинский Л. З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство. — М.: Наука, 1971.