Многочлены Чебышева и их основные свойства

МИНистерство ОБРазования и НАУКИ РОССИи Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»

Физико-математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Курсовая работа

«Многочлены Чебышева и их основные свойства»

Выполнила:

студентка 3 курса ОЗО ФМФ направления

«Педагогическое образование»

профиля «Математика»

Ю.М. Симонаева Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук М. М. Сорокина Брянск 2014

Содержание Введение Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства

3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева

3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева Заключение Список используемой литературы Введение Теория многочленов представляет один из центральных разделов современной алгебры. Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности. В XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Позднее Н. Абель и П. Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Э. Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.

Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). В дальнейшем многие ученые занимались изучением многочленов. Я. Бернулли, Э. Безу, У. Горнер, Ж. Лагранж, П. Чебышев, С. Эйзенштейн, Д. Гильберт и многие другие известные математики открыли немало нового и удивительного о многочленах, ставшего впоследствии привычным и обыкновенным.

В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а₀, а₁, …, а_n являются объектами произвольной природы, а не только числами. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т. д.).

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе. Изучение многочленов обогатило математику, позволило расширить понятие числа и доказать основную теорему алгебры.

Среди многочленов от одной переменной важное место занимают многочлены Чебышева. Чебышев Пафнутий Львович — великий русский математик и механик, академик Петербургской Академии наук. В научном наследии П. Л. Чебышева насчитывается более 80 работ. Математические достижения П. Л. Чебышева в основном получены в следующих областях: теория чисел, теория вероятностей, проблема наилучшего приближения функций и общая теория многочленов, теория интегрирования функций. П. Л. Чебышев открыл класс специальных многочленов, носящих его имя и в наши дни. Многочлены Чебышева, Чебышева-Лагерра, Чебышева-Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике и в разнообразных приложениях. Чебышевская теория наилучшего приближения функций многочленами находит применение в решении геодезических и картографических задач, в решении алгебраических уравнений. В рассматриваемой теории Чебышева содержатся идеи общей теории ортогональных многочленов.

В курсовой работе изучаются основные положения теории многочленов. Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Глава 1 носит вспомогательный характер. Здесь приводятся все используемые в работе определения и обозначения. Основное содержание курсовой работы представлено в главах 2 и 3. Глава 2 посвящена изучению основных положений теории многочленов от одной переменной. В главе 3 проводится исследование многочленов Чебышева. Данная глава состоит из 2 разделов. В первом разделе рассматривается определение и изучаются простейшие свойства многочленов Чебышева. Второй раздел посвящен исследованию основных теорем о многочленах Чебышева. Автором курсовой работы изучены и детально изложены центральные результаты о многочленах Чебышева, представленные в книге В. В. Прасолова «Многочлены».

Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве называется правило или закон, по которому любым двум элементам из, необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из .

Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.

Определение 1?. Бинарной алгебраической операцией на множестве называется отображение. Вместо пишут. Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают символами и другими.

Определение 2. Непустое множество с определённой на нём бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) операция ассоциативна на, т. е.

;

2) в существует нейтральный элемент относительно операции, т. е.

;

3) для каждого элемента из в существует симметричный ему элемент относительно операции, т. е. .

Определение 3. Группа относительно операции называется абелевой, если операция коммутативна на, т. е. .

Определение 4. Группа относительно операции сложения называется аддитивной.

Определение 5. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.

Определение 6. Непустое множество с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):

1. — аддитивная абелева группа, т. е.

а) ассоциативность сложения на

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность сложения на

.

2. В выполняются дистрибутивные законы, т. е.

а) — правый дистрибутивный закон, б) — левый дистрибутивный закон.

Определение 7. Кольцо называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на, т. е. .

Определение 8. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на, т. е. .

Определение 9. Кольцо называется ассоциативно-коммутатитвным, если — ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 10. Кольцо называется кольцом с единицей, если в существует единичный элемент, т. е. .

Определение 11. Элементы и кольца называются делителями нуля, если, но .

Определение 12. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Определение 13. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элементы и кольца называются ассоциированными в и обозначаются, если и .

Определение 14. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элемент называется обратимым в кольце, если в кольце найдется обратный к нему элемент, т. е. такой элемент, что. Иначе, элемент называется необратимым элементом .

Определение 15. Полем называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим.

Определение 15'. Непустое множество с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями и называется полем, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля):

1. — аддитивная абелева группа, т. е.

а) ассоциативность операции, т. е.

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность операции, т. е. .

2. В выполняются дистрибутивные законы, т. е.

а) — правый дистрибутивный закон;

б) — левый дистрибутивный закон.

3. — мультипликативная абелева группа, т. е.

а) ассоциативность операции, т. е.

;

б) ;

в) ;

г) коммутативность операции, т. е. .

Определение 16. Множество называется числовым, если .

Определение 17. Поле называется числовым, если оно является числовым множеством, т. е. .

Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной Определение 1. Пусть и — ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо называется простым расширением кольца с помощью элемента, если выполняются следующие условия:

1) — подкольцо кольца ;

2), и записывают .

Определение 2. Простое расширение называется простым трансцендентным расширением кольца, если выполняется следующее условие: из равенства следует, что. Элемент в этом случае называется трансцендентным элементом над (относительно).

Лемма 1. Пусть — простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей,. Если

и

то и .

Лемма 2. Пусть и — простые трансцендентные расширения ассоциативно-коммутативных колец и с единицами. Если и — изоморфизм на, то, причем существует единственный изоморфизм кольца на, который переводит элемент в элемент (т.е.) и продолжает изоморфизм .

Следствие 2.1. Пусть и — простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей. Тогда .

Лемма 3. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, и лишь конечное число. Тогда множество является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей относительно операций, заданных по правилу:

1)

2) где и т. д.,

Теорема 1. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для существуют простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.

Замечание. Кольцо, построенное в лемме 3, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца согласно теореме 1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной (неизвестной) над кольцом и обозначается. Элементы кольца называются многочленами (полиномами) над кольцом от переменной .

Пусть, например,, причём (ввиду теоремы 1). Тогда — свободный или постоянный член многочлена , — старший коэффициент многочлена .

Определение 3. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, Число называется степенью многочлена и обозначается, т. е. (степень многочлена — это степень переменной при старшем коэффициенте).

Определение 4. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна, т. е.. Таким образом, если, то (.

Теорема 2. Пусть — ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,. Тогда:

1) ;

2) .

Следствие 2.1. Пусть — область целостности. Тогда .

Теорема 3. Если — область целостности, то — область целостности.

Теорема 4. Пусть — область целостности. Тогда для существует поле частных.

Определение 5. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен, если и обозначается или .

Простейшие свойства отношения делимости в :

1) рефлексивность ;

2) транзитивность и ;

3) и ;

4) ;

5).

Определение 6. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (т.е.),. Элемент называется значением многочлена в точке (на элементе) и обозначается, то есть .

Теорема 5 (теорема Безу). Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,,. Тогда существует такой, что .

Доказательство. Пусть. Тогда .

Таким образом,, где. Теорема доказана.

Определение 7. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,. Элемент называется корнем многочлена, если .

Следствие 5.1. Пусть — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,,. Тогда — корень делится на .

Следствие 5.2. При делении многочлена на получается остаток, равный .

Теорема 6. Пусть — область целостности,,. Тогда многочлен имеет не более попарно различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочленй степени над областью целостности имеет не более попарно различных корней.

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру .

1) Пусть не имеет корней, т. е. имеет нуль корней и значит — верно.

2) Пусть. Предположим, что утверждение верно при .

3) Докажем, что утверждение верно при:. Если не имеет корней, то число корней равно и — верно. Пусть имеет хотя бы один корень и — корень такой, что. Тогда по теореме Безу, где, причём по пункту 2) имеет не более попарно различных корней.

Покажем, что все корни многочлена, отличные от, являются также корнями многочлена. Пусть — корень ,

, т. е. так как — область целостности) — корень. Таким образом, многочлен имеет корень, а все остальные корни многочлена являются также корнями многочлена. Так как имеет не более попарно различных корней, то многочлен имеет не более, чем попарно различных корней.

Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого. Теорема доказана.

Следствие 6.1. Пусть — область целостности,. Если многочлен имеет более попарно различных корней, то является нулевым многочленом.

Определение 8. Пусть, , где — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены и называются алгебраически равными, если, .

Определение 9. Многочлены и из называются функционально равными, если, , т. е. значения многочленов и в любой точке кольца совпадают.

Теорема 7. Пусть — бесконечная область целостности,. Многочлены и алгебраически равны и равны функционально.

Теорема 8. Пусть — поле,. Тогда существуют единственные многочлены такие, что, причем .

Определение 10. Пусть — поле,. Многочлен называется наибольшим общим делителем многочленов и (или коротко, НОД и) и обозначается, если выполняются два условия:

1) — общий делитель многочленов и, т. е. и ;

2) делится на любой общий делитель многочленов и, т. е. если и, то .

Лемма 4. Пусть — поле,, и. Тогда НОД многочленов и и НОД многочленов и ассоциированы, т. е. .

Лемма 5. НОД двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Определение 11. Пусть — поле,. Многочлен называется наименьшим общим кратным многочленов и (или коротко, НОК и) и обозначается, если выполняются два условия:

1) — общее кратное многочленов и, т. е. и ;

2) делит любое общее кратное многочленов и, т. е. если и, то .

Лемма 6. НОК двух многочленов определяется однозначно с точностью до ассоциированности.

Пусть — поле,. Для нахождения НОК многочленов и применяется следующая формула: .

Теорема 9 (теорема о линейном представлении НОД). Пусть — поле,, ,. Тогда .

Определение 12. Пусть — поле,,. Многочлен вида называется формальной производной многочлена и обозначается .

Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Определение 13. Многочлен положительной степени над полем называется неприводимым над, если он не допускает представления в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Определение 14. Многочлен положительной степени над полем называется приводимым над, если он допускает представление в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Лемма 7. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Лемма 8. Пусть — поле, — неприводимые над многочлены. Если, то .

Замечание 1. Пусть — поле. Тогда — область целостности — область целостности все элементы области целостности подразделяются на 4 вида:

=

Замечание 2. Поскольку НОД и НОК многочленов определяются однозначно с точностью до ассоциированности, то многочлены и являются взаимно простыми .

Замечание 3. Пусть — неприводимый над многочлен. Если, то либо, либо .

Лемма 9. Пусть — поле, , — неприводимый над многочлен. f p и взаимно просты.

Лемма 10. Пусть — поле, , — неприводимый над многочлен. Если, то хотя бы из множителей делится на, то есть .

Теорема 10. (Основная теорема о многочленах). Любой многочлен положительной степени над полем допускает представление в виде произведения неприводимых над многочленов, причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Доказательство. 1) Существование. Пусть и. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру .

1. Пусть неприводим над — искомое представление.

2. Допустим, что утверждение верно для любого многочлена положительной степени над полем .

3. Докажем утверждение для многочлена. Если неприводим над, то — искомое представление. Пусть приводим над

где и и — представление и в виде произведения неприводимых над многочленов — искомое представление.

Из 1−3 по методу математической индукции утверждение верно для любого .

2) Единственность. Пусть и — требуемые представления. Так как, то либо, либо. Пусть, например,. Так как левая часть делится на, то по лемме 4 хотя бы один из множителей делится на. Так как множители можем менять местами, то будем считать, что по лемме 8 и по замечанию 3, где,. Так как левая часть делится на, то, как и выше, получим и, где, причем и т. д., через конечное число шагов получим. Допустим, что противоречие. Таким образом, представление многочлена в виде требуемого произведения определяется однозначно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности. Теорема доказана.

Определение 15. Пусть — поле. Многочлен называется нормированным или приведенным, если .

Следствие 10.1. Любой многочлен положительной степени над полем допускает представление в виде:, где , — неприводимые над нормированные многочлены.

Определение 16. Пусть , — поле,. Представление многочлена в виде, где , — попарно различные неприводимые над полем нормированные многочлены,, называется каноническим представлением многочлена, число называется кратностью множителя. Если, то называется простым неприводимым множителем многочлена .

Определение 17. Пусть , — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, — корень. Число называется кратностью корня многочлена, если, но .

В этом случае пишут — данная запись означает, что — это наибольшая степень, которая делит .

Теорема 11. Пусть — несократимая рациональная дробь. Если — корень, то .

Доказательство. Так как — корень, то, то есть:

. Так как, то. Так как, то .

Теорема доказана.

Следствие 11.1. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами являются его целыми корнями.

Следствие 11.2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного числа.

Теорема 12. Пусть, , — несократимая рациональная дробь. Если — корень, то, .

Следствие 12.1. Пусть , — несократимая рациональная дробь. Если — корень, то, .

Глава 3. Многочлены Чебышева и их основные свойства

3.1 Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева многочлен чебышев корень переменная Определение 1. Многочлены, где, определенные рекуррентным соотношением и начальными условиями и называют многочленами Чебышева.

Определение многочленов Чебышева основано на том, что полиномиально выражается через, т. е. существует такой многочлен, что при .

Формула показывает, что многочлены, определенные рекуррентным соотношением и начальными условиями и, обладают нужным свойством.

Непосредственно из того, что при, следует, что при. А из рекуррентного соотношения следует, что, где — целые числа.

Теорема 1. Пусть — многочлен степени со старшим коэффициентом 1, причем при .

Тогда. Другими словами, многочлен — наименее уклоняющийся от нуля на интервале многочлен степени со старшим коэффициентом 1.

Доказательство. Воспользуемся свойством многочлена, а именно тем, что при. Рассмотрим многочлен. Его степень не превосходит, поскольку старшие члены многочленов и равны. Из того, что при, следует, что в точке

знак числа cовпадает со знаком числа. Таким образом, в концах каждого отрезка многочлен принимает значения разного знака. Поэтому у многочлена на этом отрезке есть корень. В случае, когда, либо — двукратный корень, либо внутри одного из отрезков и есть еще один корень. Это следует из того, что в точках и мнгочлен принимает значения одного знака (рис.1).

Рис.1

Количество отрезков равно, поэтому многочлен имеет по крайней мере корней. Для многочлена степени не более это означает, что он тождественно равен нулю, т. е.. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть. Тогда Доказательство. Поскольку, то и. Следовательно, .

Пусть и. Тогда и Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть — нечетное простое число. Тогда

.

Доказательство. Запишем в виде. Тогда Если, то делится на. Поэтому

. Следствие доказано.

Определение 2. Композиция многочленов и определяется равенством .

Определение 3. Многочлены и называются коммутирующими, если, т. е. .

Теорема 3. Многочлены и коммутирующие.

Доказательство. Пусть. Тогда и. Поэтому. Аналогично. Таким образом, равенство выполняется при, а значит, это равенство выполняется при всех. Теорема доказана.

Определение 4. Пусть, где и. Говорят, что пара многочленов и эквивалентна паре многочленов и .

Теорема 4 (Ритт). Пустьи — коммутирующие многочлены. Тогда пара многочленов и эквивалентна одной из следующих пар:

(1) игде

(2) игдеи — многочлены Чебышева;

(3) игде Теорема 4 была доказана в 1922 году американским математиком Риттом; все известные ее доказательства весьма сложные. Современное изложение доказательства теоремы Ритта приведено в книге Прасолова В. В., Шварцмана О.В.

В некоторых случаях вместо многочлена рассматривают многочлен со старшим коэффициентом 1. Многочлены удовлетворяют рекуррентному соотношению. Поэтому — многочлен с целыми коэффициентами.

Если, то и. Следовательно,, т. е. многочлен соответствует полиномиальному выражению величины через .

С помощью многочленов можно доказать следующее утверждение.

Теорема 5. Если оба числа и рациональны, то число целое, т. е.

Доказательство. Пусть — несократимая дробь и, где. Тогда. Поэтому — корень многочлена с целыми коэффициентами. Пусть — несократимая дробь. Тогда, и значит, делится на. Однако числа взаимно простые. Поэтому, т. е. — целое число. Теорема доказана.

3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева Определение 5. Многочлены называют ортогональными многочленами на отрезке с весовой функцией, если и при .

В пространстве многочленов степени не более задают скалярное произведение формулой .

Ортогональные многочлены образуют ортогональный базис в пространстве с таким скалярным произведением.

Если задан отрезок и весовая функция, то ортогональные многочлены определены однозначно с точность до пропорциональности. В самом деле, они получаются в результате ортогонализации базиса

Наиболее известны следующие ортогональные многочлены:

Теорема 6. Многочлены Чебышева образуют ортогональную систему многочленов на отрезке с весовой функцией .

Доказательство. Сделаем замену. Получим при. Теорема доказана.

Следствие 2. Если — многочлен степени и при, то, где — некоторое число.

Доказательство. В пространстве со скалярным произведением

ортогональное дополнение к подпространству, порожденному многочленами, порождено многочленом Чебышева. Следствие доказано.

Теорема 7. Многочлены Чебышева можно вычислять по формуле

.

Доказательство. Индукцией по доказывается, что при, где — многочлен степени, причем, и

при .

Следовательно, — многочлен степени .

Проверим, что, т. е.

при. Интегрируя по частям получаем Первое слагаемое равно нулю, так как при. Затем интегрируем по частям второе слагаемое и т. д. Чтобы в конце концов получить нуль, необходимо проинтегрировать по частям раз. При этом на последнем шаге возникнет дифференциал. Это означает, что число должно быть неотрицательно, т. е. .

Остается проверить, что. Для этого вычисляют. Действительно, что при рекуррентное соотношение

принимает вид. Таким образом,

. Кроме того,. Теорема доказана.

Теорема 8. Пусть многочлен, где, таков, что при. Тогда при .

Доказательство. Воспользуемся тем, что при,. Многочлен полностью определяется значениями .

Где Дифференцируя раз соотношение (1), получим Так как, то

Многочлен в точке принимает значение. Поэтому Кроме того,. Далее, при знак числа не зависит от. Действительно, все корни многочлена принадлежат отрезку. Поэтому все корни многочлена также принадлежат этому отрезку. Следовательно, при и при .

В итоге при получаем В этом случае из неравенства (2) следует, что Теорема доказана.

Теорема 9. Пусть многочлен, где, таков, что при. Тогда .

Доказательство. Так как, где, то по теореме 8 при получим. Теорема доказана.

Теорема 10. При и при выполняется неравенство .

Доказательство. Для многочлена выполняется условие теоремы 8. Поэтому. Теорема доказана.

Теорема 11. При выполняется неравенство

.

Доказательство. Пусть. Рассмотрим многочлен. Проверим, что многочлен удовлетворяет условию теоремы 8, т. е. что при. При вещественном функция зависит только от, причем если, то монотонно возрастает с возрастанием. Кроме того,

при. Следовательно, если и, то .

Согласно теореме 8 при выполняется неравенство, т. е.. Теорема доказана.

Определение 6. Для последовательности функций рассматривают ряд. Если радиус сходимости данного ряда положителен, то функцию называют производящей функцией последовательности .

Теорема 12. При и выполняются следующие равенства:

(а)

(б) .

Доказательство.

а) Пусть. Тогда. Поэтому. Кроме того, при. Следовательно, Теорема доказана.

б) Продифференцировав по обе части равенства (а), получим Следовательно, Теорема доказана.

Теорема 13. Пусть и. Тогда Доказательство. Согласно теореме 12 (а),

Поэтому Суммирование ведется до тех пор, пока. Поэтому. Теорема доказана.

Для многочлена :

где

При выполняется равенство, а при выполняется равенство Таким образом, если, а при многочлены задаются формулой (1), то выполняется соотношение где

Соотношения (1) и (2) можно записать следующим образом. Пусть и, где — некоторое фиксированное число. Тогда

(при второе соотношение принимает вид). Покажем, что соотношения (3) эквивалентны не только для указанных последовательностей, но и для произвольных последовательностей. Заметим, что первое соотношение имеет вид, а второе соотношение имеет вид. Поэтому каждое соотношение однозначно определяет как последовательность по последовательности, так и последовательность по последовательности. Для последовательностей, , где и — фиксированные наборы чисел, соотношения (3) эквивалентны, поскольку они эквивалентны для последовательностей,. Проверим, что для любой последовательности можно подобрать такие числа и, что при. Выберем произвольные попарно различные числа. Тогда для чисел получим систему линейных уравнений с определителем Эта система уравнений имеет решение при любых .

Соотношение (3) позволяют получать нетривиальные тождества с биномиальными коэффициентами. Пусть, например, при всех. Тогда Данные тождества получаются из разложений и по биному Ньютона. В таком случае соотношение

принимает вид Заключение В курсовой работе

ѕ изучены основные понятия теории многочленов от одной переменной (многочлен, степень многочлена, нулевой многочлен, неприводимый (приводимый) над полем многочлен, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов над полем, каноническое представление многочлена, корень многочлена, кратность корня многочлена и др.), приведены примеры многочленов (многочлены над числовыми полями), рассмотрены основные свойства многочленов от одной переменной (свойства кольца многочленов над областью целостности, свойства степени многочлена, свойства неприводимых многочленов над полем и др.);

ѕ изучены и детально изложены центральные результаты о многочленах Чебышева: теорема Чебышева о наименее уклоняющемся от нуля на интервале [-1,1] нормированном многочлене, теоремы о вычислении значений многочлена Чебышева, теорема о свойстве коммутирования многочленов Чебышева, теорема об эквивалентных парах многочленов, теорема об ортогональности системы многочленов Чебышева, теоремы о неравенствах для многочленов Чебышева).

Список используемой литературы

1. Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2001.

2. Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Оникс, 2012.

4. Кострикин А. И.

Введение

в алгебру. В 3-х частях. Часть 1: Основы алгебры: учебник. — М.: МЦНМО, 2009.

5. Кострикин А. И.

Введение

в алгебру. В 3-х частях. Часть 2: Линейная алгебра: учебник. — М.: МЦНМО, 2012.

6. Кострикин А. И.

Введение

в алгебру. В 3-х частях. Часть 3: Основные структуры алгебры: учебник. — М.: МЦНМО, 2009.

7. Курош А. Г. Основы высшей алгебры. — СПб.: Лань, 2011.

8. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — СПб.: Лань, 2007.

9. Родина М. А., Солодовников А. С. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1986.

10. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — СПб.: Лань, 2007.

11. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. — СПб.: Лань, 2008.

12. Окунев Л. Я. Высшая алгебра. — СПб.: Лань, 2009.

13. Прасолов В. В., Шварцман О. В. Азбука римановых поверхностей. — М.: Фазис, 1999.