Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью системы массового обслуживания

Лабораторная работа № 4

Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью системы массового обслуживания

1. Цель работы Целью работы является:

1. Изучение методов планирования машинного эксперимента с моделью системы.

2. Приобретение практических навыков по оценке коэффициентов модели заданной функциональной зависимости

3. Проведение имитационного эксперимента в соответствии с построенным планом

2.Теоретические сведения

2.1 Планирование эксперимента Эффективность машинных экспериментов с имитационными моделями систем массового обслуживания существенно зависят от выбора плана эксперимента, так как план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы и в целом влияет на эффективность использования ЭВМ при моделировании.

Планирование эксперимента — это средство построения математических моделей различных процессов, способ сокращения времени и средств, повышение производительности труда исследователя.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей хорошими статистическими свойствами.

Такой моделью является абстрактная схема типа «черного ящика» вида:

Y=F (x), (1)

Где Y={y1,y2…ym} - множество выходных переменных, называемых реакциями или откликами (эндогенные переменные)

X={x1,x2,…xn}- множество переменных называемых факторами (экзогенные переменные)

Fфункция, связывающая реакцию с факторами, называемая функцией реакции или отклика.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки характеристик процесса функционирования исследуемой системы необходимо создать также условия, которые способствовали бы выявлению факторов, влияющих на реакцию системы. Для этого необходимо, в первую очередь, установить область экспериментирования.

Локальная область эксперимента задается выбором комбинации основных уровней факторов xi (i= 1, n), их интервалами варьирования xi (i= 1, n) и центром эксперимента хi⁰(i= 1, n). Затем следует описать функциональную зависимость, оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

При классическом методе планирования опыта варьируется один фактор, а при математическом планировании эксперимента одновременно изменяются все факторы.

Одной из задач математического планирования эксперимента является получение модели описывающей реакции получаемой системы на много факторные экзогенные переменные. Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам статистического моделирования являются полиномиальные модели вида:

y= a₀+a_ix_i+a_ijx_ix_j +a_ijkx_ix_jx_k+… (2)

Для оценки коэффициентов данного уравнения используется метод множественной регрессии, оснований на методе наименьших квадратов.

После выбора модели планирования следующей задачей является планирование и проведение эксперимента.

Для планирования эксперимента составляется матрица планирования, в которой отражаются условия изменения уровней факторов xi (i= 1, n).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Количество всех возможных испытаний определяется по формуле:

N=qⁿ (3)

где q — число уровней изменения факторов.

n — число факторов При q = 2 получается двухуровневый план эксперимента. Такой план называется планом N=2^n.. Для получения данного плана необходимо все факторы варьировать на двух уровнях: нижнем x_i⁰-?x_i и верхнем x_i⁰+? x_i, расположенных симметрично, относительно центра эксперимента. Для упрощения и унификации записи условий опытов и облегчения обработки данных используются кодированные значения: на нижнем уровне -1 и на верхнем уровне +1. Тогда условия эксперимента удобно представить в виде таблицыматрицы планирования, в которой строки соответствуют различным опытам, а столбцы значениям факторов. Так, для трех факторов (n=3) матрица планирования примет вид (Таблица 1). При этом в таблице добавлены «фиктивные переменные» единичного столбца х₀ и столбцов произведений х₁*х₂, х₁*х₃, х₂*х₃ и х₁*х₂*х₃, которые используются для оценки свободного члена а₀ и эффектов взаимодействия а₁₂, а₁₃, а₂₃, а₁₂₃.

Таблица 1

Матрица планирования

Как видно из таблицы, количество опытов равно N=2³=8.

Рассматриваемый полный факторный эксперимент 2ⁿ обладает тремя основными свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. Это значит, что алгебраическая сумма элементов вектор — столбца для каждого фактора равна 0, т. е.

_ij=0 (4)

где i — номер фактора (i=1,n);

j — номер опыта (j=1,N).

2. Условием нормировки, т. е. сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

_ij ²= N (i=1,n) (5)

3.Ортогональностью, это означает, что сумма почленных произведений любых двух векторстолбцов матрицы равна 0, т. е.

_{ij *}х_kj=0 (ik; i, k=1,n) (6)

Данные свойства, особенно условие ортогональности, позволяют значительно упростить определение коэффициентов уравнения множественной регрессии. В этом случае оценки коэффициентов регрессионной модели можно вычислить по формуле:

a_i=_ij*y_j /N (i=0,n) (7)

А коэффициенты парных взаимодействий соответственно по формуле:

a_ik=_ij*x_kj*y_j /N (ik; i, k=1,n) (8)

Количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возникает проблема сокращения числа опытов. В связи с этим используется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который представляет часть полного факторного эксперимента. Матрица планирования для дробного факторного эксперимента называется дробной репликой. Различают регулярные и нерегулярные дробные реплики.

Регулярные реплики образуются из ПФЭ 2ⁿ делением пополам, на четыре части, восемь частей ит.д., т. е. на число кратное 2. Они называются соответственно: полурепликой, четвертьрепликой, — реплики и т. д. ДФЭ обозначается как 2^n-k, где

k — кратность деления ПФЭ 2ⁿ на части 2^k. Например, ДФЭ типа 4−2 означает, что ПФЭ из N=2⁴=16 делится на 2²=4 и получается план эксперимента, состоящий из N=2⁴⁻²=4 опытов.

Если регулярные реплики умножить на нечетные числа, больше единицы, то получаются нерегулярные реплики. Как например, реплики, реплики, реплики и т. д. являются нерегулярными.

Использование ДФЭ позволяет значительно сократить количество экспериментов и тем самым сэкономить ресурсы ЭВМ.

2.2 Пример планирования машинного эксперимента для модели СМО Пусть необходимо провести машинный эксперимент по определению функциональной зависимости среднего времени ожидания заявки в очереди (_ож) от факторов: интенсивность поступления заявок л, интенсивности обслуживания м и емкости буфера L для однофазной одноканальной системы массового обслуживания со следующими параметрами: интенсивность поступления заявок л=155; интенсивность обслуживания м=105; количество мест в очереди L=102.

Для определения заданной зависимости представим математическую модель системы в виде:

y= a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃, (9)

x₁= л; x₂= м; x₃= L; y=_ож

Так как порядок модели n=3, то матрица планирования для полного факторного эксперимента примет вид (Таблица 2).

Таблица 2. Матрица планирования для модели СМО

При этом следует помнить, что кодированные значения факторов соответствуют -1 нижнему уровню фактора, а +1 верхнему уровню фактора:

· для интенсивности поступления заявок л нижний уровень равен л_k=10, а верхний л_b=20;

· для интенсивности обслуживания м нижний уровень равен м_k=5, а верхний 15 м_b;

· для количества мест в очереди L нижний уровень L_k =8и верхний L_b=12

Поэтому при моделировании этих уровней факторов в блоке управления необходимо организовать их изменения. Это можно сделать путем введения нуля циклов. Тогда блоксхема управления вариантами моделирования примет вид (Рис1)

Рис1. Блоксхема управления вариантами моделирования Для определения среднего времени ожидания _ож можно воспользоваться блоксхемой Рис лабораторной работы 3. Результаты моделирования заносятся в Таблицу 2 в колонку для y.

По Таблице 2 и формуле 7 определяются коэффициенты выбранной модели планирования эксперимента а_i (i=0.3). Таким образом, зависимость среднего времени ожидания от интенсивности поступления заявок, интенсивности обслуживания и количества мест в очереди примет вид:

_ож =…л+…м+…L (10)

2. Содержание исследования В состав исследования, проводимого в данной лабораторной работе, входит:

1. Анализ зависимости влияния экзогенных переменных модели однофазной одноканальной СМО на эндогенные переменные.

2. Построение плана машинного эксперимента на основе множественного регрессионного анализа и метода наименьших квадратов.

3.Моделирование системы массового обслуживания

В качестве объекта моделирования рассматривается однофазная одноканальная система, структура, которой показана на Рис 2:

м

очередь л

L

Рис2Структура исследуемой системы

Параметры системы:

· интенсивность поступления заявок л=155;

· интенсивность обслуживания м=105;

· длина очереди L=102;

Варианты лабораторной работы приведены в таблице 3, в которой ПФЭ полный факторный эксперимент; ДФЭ — дробный факторный эксперимент; _ож — среднее время ожидания заявок в очереди; _сист— среднее время пребывания заявок в системе; - средняя длина очереди; Р_отк — вероятность отказа; А — абсолютная пропускная способность системы; qотносительная пропускная способность системы; К_пр — коэффициент простоя системы.

4. Порядок выполнения работы

1. Ознакомится с методическими указаниями по выполнению данной лабораторной работы.

2. Получить у преподавателя вариант задания на составление плана машинного эксперимента для СМО

3. Составить матрицу планирования для проведения машинного эксперимента

4. Разработать блоксхему моделирующего алгоритма в соответствии с содержанием проводимого исследования

5. Составить программу на одном из языков программирования

6. Произвести отладку программы и решение поставленной задачи на ПЭВМ

7. Оформить отчет Интерфейс программы Листинг программы

Private Sub Command1_Click ()

Dim L As Integer

Dim Tobs As Currency

Dim Tosv As Currency

Dim Toch () As Currency

Dim Potk As Currency

Dim q As Currency

Dim a (8) As Currency

Dim Kpr As Currency

List1.Clear

List2.Clear

List2.AddItem («Коэффициенты:»)

For lyamda = 10 To 20 Step 10

For nyu = 5 To 15 Step 10

For L = 8 To 12 Step 4

ReDim Toch (L) As Currency

x = 0.5

k = 0

Kotk = 0

Noch = 0

Toj = 0

Tsis = 0

Kobs = 0

Tnezan = 0

Tpost = 0

Tosv = 0

10: x = Rnd (x)

T = -1 / lyamda * Log (x)

Tpost = Tpost + T

k = k + 1

If k > 50 Then

GoTo 100

End If

30: If Tpost < Tosv Then

GoTo 20

Else

GoTo 40

End If

20: If Noch = L Then

Kotk = Kotk + 1

GoTo 10

Else

Noch = Noch + 1

Toch (Noch) = Tpost

GoTo 10

End If

40: If Noch = 0 Then

Kobs = Kobs + 1

Tnezan = Tpost — Tosv

x = Rnd (x)

Tobs = -1 / nyu * Log (x)

Tosv = Tpost + Tobs

Tsis = Tsis + Tobs

GoTo 10

Else

Voj = Tosv — Toch (1)

For i = 1 To Noch — 1

Toch (i) = Toch (i + 1)

Next i

Noch = Noch — 1

Toj = Toj + Voj

x = Rnd (x)

Tobs = -1 / nyu * Log (x)

Tsis = Tsis + Tobs + Voj

Tosv = Tosv + Tobs

Kobs = Kobs + 1

GoTo 30

End If

100: Kpr = Tnezan / Tsis

Potk = Kotk / k

q = 1 — Potk

Ab = q * L

j = j + 1

List1.AddItem (Str (j) + «-е испытание при:»)

List1.AddItem («Лямбда=» + Str (lyamda) + «Нью=» + Str (nyu) + «L=» + Str (L))

List1.AddItem («Количество заявок в» + Str (j) + «испытании = «+ Str (k) + «и потраченное время =» + Str (Tsis))

List1.AddItem («Вероятность отказа=» + Str (Potk))

List1.AddItem («Коэффициент простоя=» + Str (Kpr))

List1.AddItem («Относительная пропускная способность» + Str (q))

List1.AddItem («Обсолютная пропускная способность» + Str (Ab))

List1.AddItem (««)

List1.AddItem (««)

a (j) = (lyamda + nyu + L) * Toj

List2.AddItem («a (» + Str (j — 1) + «)=» + Str (a (j)))

Next L

Next nyu

Next lyamda

Label1.Caption = «Tож = «+ Str (a (1)) + «+ «+ Str (a (2)) + «lymda» + «+ «+ Str (a (3)) + «nyu» + «+ «+ Str (a (4)) + «L»

End Sub