Основы построения математических моделей на микроуровне

При анализе адекватности, эффективности и точности отдельных математических моделей используются некоторые численные оценки. Получение этих оценок почти всегда связано с большими трудностями, так как требует проведения натурных (на объекте-оригинале) или вычислительных (по реализациям по более точной модели) экспериментов. Иногда такие эксперименты требуют больших материальных и временных затрат, но проводить их необходимо, поскольку это единственный способ оценить качество математических моделей. 3]Истинные значения параметров обычно отождествляются с экспериментально полученными. Однако погрешности натурного эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностями математических моделей, а иногда заметно их превышают. Пусть на выходе объекта измеряются m переменных Y (рис. 3, а). При исследовании на математической модели получились m модельных переменных Yм. Вектор погрешностей есть разница полученных векторов Δ = Y — Yм. В целом погрешность математической модели можно оценить по норме вектора погрешностей Δ:.Часто используют евклидову норму и среднеквадратическую погрешность. В качестве других характеристик математических моделей иногда называют экономичность (по затратам) и универсальность (применимость к группе объектов).Модели на микроуровне

Рассмотрим модели технических систем на микроуровне. В большинстве случаев это распределенные модели (объекты с распределенными параметрами) и они представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных. При создании математических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фундаментальном виде. Такой подход обеспечивает наиболее адекватное описание объектов, протекания процессов и явлений окружающего нас мира. 2]Фундаментальными физическими законами в первую очередь являются законы сохранения массы, количества движения, энергии. Эти законы можно сформулировать в одном общем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через поверхность элементарного объема. Субстанцией служат масса, количество движения, энергия.

Эта формулировка остается справедливой и для некоторых других субстанций, например, количества теплоты, количества зарядов, количества элементарных частиц и др. Если внутри элементарного объема происходит генерация или уничтожение рассматриваемой субстанции, то к сумме притока-стока нужно добавить соответствующий член, отражающий данное явление. В этом случае общий вид уравнений, составляющих основу большинства распределенных моделей, будет следующим, где φ - некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (плотность, энергию и т. п.);- поток фазовой переменной;G — скорость генерации субстанции; t — время. [ 1]Поток фазовой переменной φ есть вектор = (Jx, Jy, Jz).

Дивергенция (расходимость) этого вектора определяется общим соотношением, является скалярной величиной и характеризует сумму притока-стока через поверхность элементарного объема. Рассмотрим основные уравнения некоторых физических процессов.

1) Уравнение непрерывности гидродинамики

В течении жидкости или газа имеем в любой точке M определенное значение скорости движущейся частицы, т. е. векторное поле скорости. Обозначим через ρ плотность жидкости в данной точке. Понятие дивергенции позволяет описать поведение этой плотности в отдельной точке:.Это уравнение описывает закон сохранения массы и называется уравнением непрерывности. При одномерном исполнении.

2) Уравнение теплопроводности

Связь изменения температуры во времени и пространстве со свойствами среды описывается с помощью уравнения теплопроводности. Это уравнение вытекает из закона сохранения энергии: изменение во времени количества теплоты в элементарном объеме равно сумме притока-стока теплоты и изменения теплоты за счет ее превращения в другие виды энергии в том же объеме: [3], где Q — количество теплоты;- вектор плотности теплового потока;GQ — количество теплоты, выделяемой в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме.

2) Уравнение непрерывности электрического тока

Движение электрических зарядов через поверхность элементарного объема записывается в виде, где ρ - объемная плотность электрических зарядов;- вектор плотности тока проводимости и смещения. Заключение

Любой материальный объект характеризуется бесчисленным множеством свойств, признаков и характеристик, но наши знания о материальном объекте конечны и относительны на любом этапе развития. В процессе познания у человека (субъекта) формируется мысленный образ объекта, который обладает присущими этому объекту свойствами (цвет, запах, размеры, вес, изменчивость во времени и др.). Такой мысленный образ есть мысленная (идеальная) модель объекта. Познавательный процесс человека носит целенаправленный характер, а именно: во всех случаях субъект решает некоторую задачу для достижения своих целей. Задача выделяет из бесконечного множества свойств объекта конечную совокупность и дает возможность перейти к обозримому по своим масштабам «заместителю» объекта — модели. Задача — это фильтр, позволяющий отсеять из всей информации об объекте несущественную. Таким образом, задача определяет характер формируемой модели. В практике моделирования выделяют так называемые жесткие ограничения, которые являются абсолютными (например, угол поворота лопатки турбины — «до упора»), и ограничения мягкие, допускающие кратковременные нарушения установленной границы значений переменной (например, верхнего предела рабочего напряжения на электродвигателе).В общем случае данные об ограничениях на переменные входят в состав модели как обязательная составная часть. Приведенные примеры показывают однотипность математических моделей на микроуровне, но в то же время использование математических моделей объектов в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных возможно для простых технических систем, так как их решение наталкивается на значительные трудности. Методы дискретизации пространства (конечных разностей и конечных элементов), которые используются для приближенного решения этих уравнений, приводят к решению систем с числом уравнений 106 и более.

Список литературы

Головицына М. В. Информационные технологии проектирования радиоэлектронных средств БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий — ИНТУИТ.ру, 2008

Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко.

— М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. — 496 с. Плетнев Г. П. Автоматическоеуправление и защита теплоэнергетических установок электорстанций. 1986 г.