Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

Глава 1. Исследование свойств корневых множеств классов целых и голоморфных в полуплоскости функций
- 1. 1. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка
- 1. 2. Описание корневых множеств функций из класса Н (А,+оо) и построение их факторизационного представления
- 1. 3. О вещественных нулях аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка
- 1. 4. Об условии Бляшке в полуплоскости
- 1. 5. Об одной теореме Н. В. Говорова
- 1. 6. О росте бесконечного произведения типа Вейерштрасса в полуплоскости
Глава 2. Факторизационное представление и оценки в среднем классов голоморфных в круге функций, допускающих рост вблизи граничной окружности
- 2. 1. О факторизации аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка
- 2. 2. О нулях аналитических в круге функций с мажорантой первого порядка
- 2. 3. Факторизационные представления и Lp- оценки производных аналитических функций

Актуальность темы

Хорошо известно, что исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений различных классов аналитических функций играют важнейшую роль в общей теории функций комплексного переменного и её приложениях. Исследование этих вопросов привлекало внимание классиков комплексного анализа ещё в начале прошлого столетия. В этой связи отметим классические работы К. Вейерштрасса, Ж. Адамара, Ф. Бореля, Е. Линделёфа, О. Пикара и др. о нулях целых функций, имеющих заданный рост вблизи бесконечно удалённой точки, а также работы Р. Неванлинна и В. Н. Смирнова о внешне-внутренней факторизации классов Харди и классов функций ограниченного вида в единичном круге. Эти вопросы остаются в центре внимания современных авторов, для этого достаточно отметить работы Б. И. Левина ([26]), М. М. Джрбашяна ([20]—[23]), Н. В. Говорова ([14]- [15]), Б. А. Тейлора ([51]), Л. А. Рубеля ([50]- [51]), А. А. Гольдберга ([19]), И. В. Островского ([19]), A.M. Седлецкого ([28]), Ф. А. Шамояна ([34]- [35]), Н. А. Широкого ([55]), Б. И. Коренблюма ([46]), К. Сейпа ([52]), Б. Н. Хабибуллина ([30]) и других математиков, посвящённые исследованиям свойств корневых множеств и построению факторизационных представлений ряда важнейших классов голоморфных функций.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы, для этого введём необходимые обозначения и определения.

Пусть С— комплексная плоскость, Я (С) — множество всех целых функций, Л— монотонно возрастающая, положительная функция на R+. Введём в рассмотрение классы функций.

Н (Л, +оо) = |/ е Я (С): In |/(z)| <Cf-Л (|z|), zeC} (0.1) и H^,+cc) = {fGH (?).nf (z)< +оо 5 то рассматриваемые классы функций Н (Л, +оо) и.

Н (Л,+ оо) совпадают, а если = хр, х е М+, то они совпадают с классом целых функций конечного порядка р и нормального типа. Однако при ах = +оо это уже не так, например, в случаях когда.

Л (0 = ехрехр. ехр (tp), /eR+, peR+ или Я (0 = ехр (Ы)р, р> 1. и.

Если = р е М+, то класс Н (Л,+ со) обозначим через Н (р,+со).

В дальнейшем будем считать, что если / е#©, то Z/ будет обозначать мноdef жество всех нулей функции /, то есть Zf =.

Хорошо известно следующее свойство корней функции из класса.

Н (р,+ оо): последовательность можно представить в виде Z = Zf, р 0 тогда и только тогда, когда n® = [card zk: zk < г} < Cf • rp. (0.3).

Но при р е N наряду с условием (0.3) возникает еще условие Е. Линделёфа (см. [19], [26]): существует М> 0, такое что.

Z4.

7Р zk.

М, re.

Используя последнее условие, нетрудно построить последовательность {z*}ITi> пРичём Zf={zkYZ1″ /еЯ (А-ко), ре N, такую, что для любой функции geH (p,+ со) из условия Zg=Zf, где Zf —, следует, что g (z) = 0, ze С, то есть множество Zf не представимо в виде Zg ни при каких g s H (p,+ oo), peN, 0. Примером такой последовательности может быть.

I ikx 1 последовательность i к е р Г к=1.

Иными словами, для представления последовательности (zkJ'^l=Z = Z важен не только рост функции п (г), но и расположение [zk}+k2{ по аргументам.

Определение. Скажем, что некоторое множество X целых функций удовлетворяет условию Линделёфа, если существует функция / е X, f Ф О,.

Zf~{zkXZ> такая> что из условия geX, Zg-Zf, где Z/={|zjtследует, что g (z) — 0 при всех z е С.

Из вышеизложенного следует, что класс Н (р,+ оо) при peN удовлетворяет условию Линделёфа, а при р? N не удовлетворяет ему. Естественно, возникает вопрос, а что происходит при остальных Л, например, при Я (0 = ехр (//>), t еК+, или МО = ехрехр. ехр (/р), t <=Ш+, реЖ+ ИЛи п.

Л (t) = exp (lnt)p, teR+, р> 1?

Исследованию свойств корневых множеств функций из класса Я (А,+оо) посвящено множество работ. В работах JI.A. Рубеля и Б. А. Тейлора (см. [50]— [51]), применяя методы теории рядов Фурье, получено описание корневых множеств функций класса Н (Л, +оо). Приведём этот результат. с ¦ +00.

Пусть Z = javjv=1— последовательность, отличных от нуля комплексных чисел, av-> со при v —" +оо, Л — функция вышеуказанного типа. Для чисел k g N и г > 0 определим функцию если гх > г2, то к.

S (r"r2,k, Z) = S (r"k, Z)-S (r2,k, Z). f / t-f.

Положим также n (r, Z) = {card ak: ak < г} и N (r, Z) = J——dt. о *.

Основной результат в вышеуказанных работах JI.A. Рубеля и Б. А. Тейлора формулируется следующим образом: для того чтобы последовательность акУк= можно было представить в виде Zf, / а>), / ф О, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа А, В и С, такие, что при всех гх и г2 выполнялись оценки ч Л (ВгЛ Л (Вг2).

S (r"r2,k, Z) rx>r2, k = 1,2,. и N{r, Z)

Исследования корневых множеств классов аналитических в круге функций, имеющих конечный порядок роста вблизи единичной окружности было начато в работах В. В. Голубева (см. [16]-[17]). Эти результаты почти через десять лет были переоткрыты немецким математиком Ф. Беурманом (см. [37]).

В работах Н. В. Говорова получена полная характеризация корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в полуплоскости функций конечного порядка р. В последние десятилетия довольно интенсивно развивалось исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений классов аналитических в круге функций, принадлежащих классам С. Бергмана или имеющих степенной рост при приближении к единичной окружности. Эти результаты подытожены в монографиях [40] и [46].

В работах А. И. Хейфица (см. [33]) и И. О. Хачатряна (см. [31]) было найдено каноническое представление классов аналитических в полуплоскости функций типа Н (Л., +со).

М.М. Джрбашяном (см. [20]—[23]) были построены формулы типа формул Пуассона-Иенсена, на этой основе исследовались корневые свойства и факторизационные представления функций, мероморфных в круге, имеющих заданную Та — характеристику.

В работах Ф. А. Шамояна (см. [34]-[35]) получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи единичной окружности при условии, что степенной порядок роста мажоранты строго больше единицы.

Классы субгармонических в полуплоскости функций с заданной мажорантой в окрестности бесконечно удалённой точки рассмотрены А. Гришиным и Т. Малютиной (см. [42]). Цель работы.

1) Изучить свойства корневых множеств целых функций с мажорантой бесконечного порядка.

2) Получить полное описание корневых множеств весовых классов целых функций и построить их факторизационное представление при условии, что вес имеет бесконечный степенной порядок.

3) Охарактеризовать корневые множества классов голоморфных в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.

4) Оценить в среднем производную голоморфной в круге функции посредством средних самой функции.

Общая методика исследования. В диссертационной работе используются общие методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы геометрической теории функций комплексного переменного. В диссертации важную роль сыграли теоремы типа теоремы JI.B. Альфорса и С. Е. Варшавского об оценках конформно отображающих функций криволинейных полос на стандартные области.